[pierrot]

También podrías haberlo pensado así:

c) Ése está equivocado. Puede pensarse como la cantidad de funciones sobreyectivas de un conjunto de 5 elementos en otro de 3.

Si se llama \( \displaystyle \textit{Sob}(m,n)=\sum_{i=0}^n(-1)^n\binom{n}{i}(n-i)^m \) el resultado sería \( \textit{Sob}(5,3) \).

CORREGIDO

[mitor]

Pues...

Entonces esa fórmula me da otra respuesta que no es la que tengo yo en mi solucionario, ni la que he hallado yo, ni la del post inicial, ni la de el_manco; siendo además todas éstas distintas entre sí.

[pierrot]

Entonces esa fórmula me da otra respuesta que no es la que tengo yo en mi solucionario, ni la que he hallado yo, ni la del post inicial, ni la de el_manco; siendo además todas éstas distintas entre sí.

Sí, disculpa. Me había faltado alternar el signo con el \( (-1)^n \) (la demostración de esa fórmula es sumando y restando de acuerdo al principio de inclusión-exclusión). Así:

\( \begin{align*}\textit{Sob}(5,3)=\sum_{i=0}^3(-1)^i\binom{3}{i}(3-i)^5&=\binom{3}{0}(3-0)^5-\binom{3}{1}(3-1)^5+\binom{3}{2}(3-2)^5-\binom{3}{3}(3-3)^5\\&=1\cdot 3^5-3\cdot 2^5+3\cdot 1^5-1\cdot 0^5\\&=243-96+3\\&=150\end{align*} \)

Ya quedó corregido.

Saludos.

[mitor]

Gracias.

En cualquier caso, ¿Me podéis explicar por qué mi razonamiento está equivocado? ¿Qué es lo que estoy haciendo mal?

[Luis Fuentes]

Hola

 Cuando calculas las de tipo 1 tu razonas:

 - Primero cuento las formas de distribuir una bola en cada caja. Cinco opciones para la caja \( A \); cuatro para la \( B \) y tres para la \( C \):

\(  V_{5,3}=5\cdot 4\cdot 3 \)

 - Por cada una de esas distribuciones eliges la caja triple donde meterás las dos bolas restantes y de ahí obtienes:

\( 3\cdot V_{5,3}=3\cdot 5\cdot 4\cdot 3=180 \)

 El problema es que de esta forma estás contanto varias veces la misma distribución. Estás considerando que es distinto:

 - Primero meter en la caja A la bola 1, en la B la 2, en la C la 3 y luego elegir como caja triple la A.

 - Y primero meter en la caja A la bola 4, en la B la 2, en la C la 3 y luego elegir como caja triple la A.

 En ambos casos la distribución final es: caja A (1,4,5), caja B (2), caja C(3). Pero tu las cuentas como diferentes.

 En las de tipo 2 ni siquiera entiendo bien como razonas.

Saludos.

[mitor]

Entendido ahora.