Autor Tema: Dictado del Curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013

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24 Julio, 2011, 08:20 pm
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argentinator

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Curso de Teoría de Conjuntos

Objetivos: Desarrollar teoría y práctica hasta adquirir dominio de todos los conceptos fundamentales de Teoría de conjuntos.

Bibliografía de base: Topology, Munkres, 2ed., capítulo 1.



Bibliografía adicional: Introducción a la Teoría de Conjuntos, Lía Oubiña..

Responsable: Argentinator (y algún otro que tenga ganas).

Conocimientos previos requeridos para iniciar el curso: Algo de práctica con aritmética y álgebra.

¿Qué debieras saber antes de comenzar?

Se supone que este curso está abierto a todos los niveles de estudiantes. Desde básico hasta avanzados.

Se va a trabajar en la teoría axiomática estándar de conjuntos hoy aceptada,
que es el ZFC (sistema de Zermelo-Fraenkel con Axioma de Elección).

Sin embargo no vamos a trabajar con el formalismo estricto de esa teoría,
ni nos vamos a preocupar por su fundamentación,
sino que será el punto de partida y también será la base "legal" que dirima cualquier disputa sobre el significado o veracidad de una afirmación.

El modo de trabajo será más bien el de la teoría "intuitiva" de conjuntos,
pero cuidaremos siempre las bases lógicas de fondo, para no perder rigor.

La idea del curso es dejarlo abierto para mayores profundizaciones en los temas específicos de conjuntos, que son más específicos: cardinales, ordinales, teoría de tipos de orden, entre otros temas.

[cerrar]

Para participar del curso hay que inscribirse, lo cual es muy sencillo: hacer clic en el siguiente thread y postear un mensaje que diga "Me inscribo al curso de teoría de conjuntos", o algo por el estilo.

>> Organización e inscripciones al curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013

Para realizar comentarios, consultas, presentar ejercicios, etc., traten de ponerlos en el siguiente enlace:

>> Consultas y otros comentarios del curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013



Inscriptos al 1/Agosto/2011:

Máthêma, javier m


Gracias por vuestra participación.   :)



¿Qué es la Teoría de Conjuntos?

Cerca del año 1900 George Cantor desarrolló una teoría "intuitiva" de conjuntos, con la cual expresaba en forma general propiedades de "colecciones de objetos matemáticos".

A estas colecciones se las llamó "conjuntos", y muchos simpatizaron con ellos porque daban a la matemática un lenguaje uniforme y concreto con el que expresar cualquier teoría.

También los conjuntos comienzan caminando en paralelo con la lógica misma, ya que las operaciones de unión, intersección y diferencia son análogas a la disyunción, la conjunción y la negación lógicas.
No obstante, los conjuntos permiten generalizar el "lenguaje" a familias infinitas de elementos,
y además de un modo más bien gráfico, fácil de interpretar.

El modo clásico de enseñar conjuntos en la escuela primaria es a través de los diagramas de Venn, entre otras formas.

Russell rápidamente advirtió que no se le puede llamar "conjunto" a "cualquier colección de objetos", porque esto deviene en paradojas lógicas inevitables, que destruyen toda la matemática (por decirlo escandalosamente).

La teoría de conjuntos necesita, pues, un diseño teórico cuidadoso, y sobretodo tras haberse convertido en el lenguaje en que hoy día se escribe la matemática.
El análisis de la correcta fundamentación de la teoría de conjuntos va en paralelo con el problema de una sólida fundamentación de la matemática.

En la primer parte del curso, sin embargo, no vamos a encontrarnos con estos dilemas, por más interesantes que sean...

Solamente basta saber que colecciones demasiado generales están "prohibidas", o sea, no pueden considerarse conjuntos.
Por ejemplo, no puede haber un conjunto de todos los conjuntos.
[cerrar]


Vamos a desarrollar los temas en el orden en que aparecen en el primer capítulo de un libro de Munkres, llamado Topology, 2da edición.

Si bien es un libro de topología, su primer capítulo introduce todas las cuestiones tanto básicas como avanzadas necesarias para trabajar a fondo con la teoría de conjuntos.

Hay principalmente dos razones por las cuales he elegido este libro para el curso:

* La exposición de Munkres es bastante clara, sistemática y completa.
* Acá en el foro ya he usado el Munkres para el curso de Topología, así que voy a tomar la parte correspondiente al capítulo 1 y la voy a poner acá, ahorrando mucho tiempo y trabajo.

He notado que hay gente que necesita o desea más bien práctica con los temas específicos de conjuntos, y no con el tema más específico de topología.
Así que finalmente pondré el tema de conjuntos por sí solo en este apartado.

Aunque el curso nace así, está abierto a futuros agregados, que pueden tomarse de otros libros.
Si les gusta alguno, avisen.

Pautas de numeración de los ejercicios

Los ejercicios seguirán varias pautas de numeración.
Los ejercicios del Munkres se numerarán tal cual aparecen.
Los ejercicios agregados por mí tendrán algún mote, como "Anexo", y los enumeraré en tandas.
Esto permite que, si se me ocurre agregar nuevas tandas de ejercicios, no se arme tanto lío con la numeración.

[cerrar]


Método de trabajo:

* Hagan teoría o práctica, y pregunten o comenten lo que quieran.
* Si nos vamos mucho por las ramas, sacaré un enlace a un nuevo hilo de discusión, fuera del curso.
* Sugieran cambios o agregados de su interés.
* Ni se les ocurra tener vergüenza para preguntar.

* Toda pregunta o comentario va en la sección de "Comentarios del Curso".
* Cuestiones relativas a la generalidad del curso, apuntes, libros, sugerencias, van en la parte de "Organización del Curso".




Temario del Capítulo 1: Teoría de Conjuntos y Lógica,
del libro Topology, de Munkres

  • Sección 1. Conceptos Fundamentales
  • Sección 2. Funciones
  • Sección 3. Relaciones
  • Sección 4. Los Enteros y los Números Reales
  • Sección 5. Productos Cartesianos
  • Sección 6. Conjuntos Finitos
  • Sección 7. Conjuntos Numerables y No-Numerables
  • Sección 8. El Principio de Definición Recursiva
  • Sección 9. Conjuntos Infinitos y el Axioma de Elección
  • Sección 10. Conjuntos Bien-ordenados
  • Sección 11.  El Principio del Máximo
  • Ejercicios Suplementarios: Buena Ordenación

24 Julio, 2011, 08:54 pm
Respuesta #1

argentinator

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Índice Maestro

Debido a que en este curso presentaremos varios enfoques, autores, y los temas puede que se repitan de modos distintos, parece prudente poner un índice maestro que enlace a cada una de las partes del curso.

También hay aquí enlace a material suplementario.


24 Julio, 2011, 09:01 pm
Respuesta #2

argentinator

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24 Julio, 2011, 09:06 pm
Respuesta #3

argentinator

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En este post incluyo notas personales sobre temas básicos de conjuntos.

Tómenlas a modo "introductorio", como para entrar en calor.

Seguiremos un desarrollo más preciso en los posts siguientes, cuando sigamos la trayectoria del texto de Munkres.



Resumen de hechos fundamentales de Teoría de conjuntos.

Nota: La mayor parte de los contenidos del Tema 1 son opcionales. Aquellos que no se sientan demasiado confiados con las cuestiones de teoría de conjuntos, podrían echar una mirada a ver qué necesitan ajustar, o simplemente repasar.
Los contenidos necesarios se irán "rellenando" de a poco.

Repasemos algunos conceptos de teoría de conjuntos.

Subconjuntos.

Dados dos conjuntos \( A \) y \( B \), se dice que \( A \) es subconjunto de \( B \), y se escribe \( A  \subset  B \), siempre que se cumpla la siguiente implicación, para todo \( x \):

\( x\in A \Rightarrow{x\in B}. \)

Cuando queremos comprobar si un conjunto es subconjunto de algún otro, lo que tenemos que hacer es demostrar que, cualquiera sea el elemento \( x \) que se tome en \( A \), éste \( x \) también está en \( B \).

Ley transitiva de inclusión de conjuntos: Si \( A,B,C \) son tres conjuntos tales que \( A\subset B \) y \( B\subset C \), entonces \( A\subset C \).
Esto es fácil de demostrar. Es un hecho que usaremos asiduamente.

Observación: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.



Igualdad

Se dice que dos conjuntos \( A \) y \( B \) son iguales entre sí, y se escribe \( A = B \), si se cumple la doble inclusión:

\( A\subset  B, B\subset  A \)

La igualdad de dos conjuntos debe en general demostrarse, pues, mediante dos pasos obligatorios.
Primero, probar la implicación \( x\in A \Rightarrow{ x\in B} \),
segundo, probar la implicación \( x\in B \Rightarrow{ x\in A}. \)



Conjunto vacío y conjuntos disjuntos.

Clic para ver definiciones
El conjunto que no tiene elemento alguno es el conjunto vacío, y se lo denota \( \emptyset \). Lo podemos definir por medio de:

\( \emptyset := \{x:x\neq x\} \)

Está clara que todo elemento \( x \) imaginable es igual a sí mismo, así que ningún \( x \) puede pertenecer al conjunto arriba definido.

El vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto. Esto puede demostrarse mediante cuidadosas implicaciones lógicas, o bien tomarlo como axioma, para evitar demasiadas discusiones filosóficas.

Si dos conjuntos no tienen elementos en común se dicen disjuntos, o sea: \( A \) y \( B \) son disjuntos si y sólo si todo elemento \( x \in A \) no está en \( B \), y también todo \( x\in B \) no está en \( A \).
[cerrar]



Familias de conjuntos.

Agrego aquí una exposición algo extensa sobre las ideas y notaciones que se usan al referirse a familias de conjuntos. Lo coloco en un spoiler.

Cómo comprender la noción de familias de conjuntos, y su uso

Un conjunto puede contener varios objetos: X = {1, 3, triángulo(ABC), punto(O)},
y en ese caso se conocen sus elementos por simple enumeración.
Se dice que el conjunto se ha definido por extensión.

En otros casos, un conjunto se puede definir mediante propiedades:
\( P = \{n:n\textsf{\ es un número entero par}\} \)
En un caso así, se dice que el conjunto se ha definido por comprensión.

Observemos que el conjunto \( P \) no puede expresarse por extensión,
porque esto involucraría la explícita mención en el papel de todos los elementos de P:
2, 4, 6, 8, 10, 12,...
y la lista no acaba nunca, es infinita.
Está claro que no podemos escribir una lista infinita.

Así que hay conjuntos que sólo pueden definirse por comprensión.

Pero ahora pasamos a otro tipo de cuestión.
¿Puede un conjunto contener a su vez a otros conjuntos?
La respuesta es afirmativa.
En tal caso se suele decir que un conjunto de conjuntos es una familia de conjuntos.

En la teoría axiomática de conjuntos no hace falta hacer este tipo de distinciones, porque todo objeto de dicha teoría es un conjunto.
La distinción entre conjuntos y familias es, por tanto, con fines de mejor exposición.

Supongamos que tenemos una lista finita de conjuntos \( A, B, C, D \).
Podemos formar la familia de conjuntos \( \mathcal F=\{A,B,C,D\} \).
Pongamos un ejemplo gráfico.
A = un cierto cardumen
B = una cierta jauría
C = un cierto ganado vacuno
D = un cierto bosque

El conjunto A es un conjunto de peces.
El conjunto B es un conjunto de perros.
El conjunto C es un conjunto de vacas.
El conjunto D es un conjunto de árboles.

El conjunto ó familia \( \mathcal F  \) es ahora un conjunto de conjuntos.
Si tomo un árbol del bosque, dicho árbol es un elemento de D, pero no de \( \mathcal F \).
Por otro lado, el bosque D es un elemento individual que pertenece a la familia \( \mathcal F \).

En matemáticas nos interesa poder hablar no sólo de conjuntos infinitos como el P de más arriba,
sino también de familias infinitas de conjuntos.
¿Cuál es la manera adecuada de hacerlo?
Si considero una familia de conjuntos \( \mathcal F \) infinita, no voy a poder enumerar sus elementos de uno en uno.

Lo que se hace es usar la técnica de subíndices.
Veamos esta técnica para el caso de familias de conjuntos finitas.

Sea \( A_1,A_2,...,A_n \) una lista finita de conjuntos dados.
Podemos definir la familia que contiene a esos conjuntos como elementos por extensión, así:

\( \mathcal F=\{A_1,A_2,\cdots,A_n\} \)

Podemos reformular esto escribiéndolo por \( "comprensión" \), considerando el conjunto de índices \(  \{1,2,\cdots,n\} \), con esta notación:

\( \mathcal F=\big\{A_k: k\in \{1,2,\cdots,n\}.\big\} \)

Pero vayamos un pasito más allá, y definamos una función \( f \), cuyo dominio es el conjunto de índices \( I=\{1,2,\cdots,n\} \) y cuya imagen contiene a los elementos \( \{A_1,A_2,\cdots,A_n\} \), de la siguiente manera:

\( f(k)=A_k, \qquad k=1,2,\cdots,n \)

Podemos reescribir la descripción de la familia \( \mathcal F \) así:

\( \mathcal F=\big\{f(k):k\in\{1,2,\cdots,n\}\big\} \)

Lo que hemos logrado es expresar la familia mediante una función.

Con esto en mente, podemos usar esta idea de función para expresar una familia de conjuntos que puede contener tantos elementos como uno quiera, incluso infinitos.
Supongamos que \( I \) es un conjunto, cuyos elementos vamos a usar como "índices".
Supongamos que se ha definido una función \( f \) tal que a cada elemento \( k\in I \) le hace corresponder algún conjunto, digamos \( A_k \).
En ese caso, tenemos que \( f(k)=A_k \), para cada \( k\in I \).

Definimos ahora la familia de conjuntos:

\( \mathcal F=\{f(k):k\in I\} \)

Esto quiere decir: "\( \mathcal F \) consta de todos aquellos elementos \( f(k) \), tal que \( k \in I \)".
La idea es que el índice \( k \) "recorre" todos los elementos del conjunto de índices \( I \).

El conjunto de índices \( I \) puede ser un conjunto arbitrario.
Aunque en cada ejemplo que se estudie habrá que especificar con precisión, claro está.
Sin embargo, en las demostraciones de hechos generales, el conjunto \( I \) queda sin especificar, y por eso se dirá "arbitrario".

Bueno, hasta ahí la definición.
Pero resulta que en la práctica vamos a usar otras maneras de notación para las familias de conjuntos.

Por ejemplo, para una familia finita de conjuntos \( \mathcal F \), en vez de escribir \( \{A_1,\cdots,A_n\} \)
se puede escribir \( \{A_k\}_{k=1}^n \).
En el caso de que el conjunto de índices \( I \) conste de los números naturales \( 1, 2, 3, \cdots \), se suele escribir así: \( \{A_k\}_{k=1}^\infty \).

Cuando el conjunto de índices \( I \) es arbitrario, se suele usar esta notación para la familia \( \mathcal F \): \( \mathcal F=\{A_k\}_{k\in I} \).
Esto es equivalente a escribir: \( \mathcal F=\{A_k:k\in I\} \).

Una moraleja de todo esto es que, si bien la noción de familia de conjuntos involucra el uso de una función \( f \) que asigna a cada \( k\in I \) un elemento \( A_k \), resulta que en la escritura corriente de familias de conjuntos la función \( f \) no se especifica, ni se le da un nombre, ni una letra que la designe, etc.

[cerrar]



Unión de conjuntos.

Dados dos conjuntos \( A \) y \( B \), su unión se define por:

\( A\cup B := \{x:x\in A\textsf{\ ó\ }x\in B\} \)

Esto quiere decir que, para que un elemento x esté en la unión, es suficiente conque pertenezca al menos a uno de los dos conjuntos.
Si tenemos una lista finita de conjuntos \( A_1,...,A_n \), se puede generalizar la anterior definición:

\( A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:x\in A_1\textsf{\ ó\ }x\in A_2\textsf{\ ó\ }\cdots \textsf{\ ó\ }x\in A_n\} \)

Esta última definición reformulémosla en un modo algo más "interesante", en términos del cuantificador existencial:

\( A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:\exists{k\in\{1,2,\cdots,n\}}(x\in A_k)\} \)

Si leemos en castellano la igualdad anterior, nos está diciendo que la unión de los conjuntos \( A_1,\cdots, A_n \) está definido como el conjunto de todos aquellos elementos \( x \) tales que existe algún índice \( k \) en el conjunto finito \( \{1,2,\cdots,n\} \) tal que \( x\in A_k \).

Ejercicio: Observar las dos definiciones de la unión finita \( A_1\cup A_2\cup \cdots A_n \) hasta comprender que son lógicamente equivalentes. Luego dudar un poquito, y volver a mirar hasta volver a convencerse. Reflexionar.

Esta forma del cuantificador existencial permite una inmediata generalización del concepto de unión para familias infintias de conjuntos.
En vez de la lista \( \{1,2,\cdots,n\} \) consideramos ahora un conjunto I de índices cualquiera, que puede ser finito o infinito, como uno prefiera.
Supongamos además que por cada índice \( \iota \in I \) hemos especificado algún conjunto \( A_\iota  \).
Nos queda definida una familia de conjuntos \( \mathcal A=\{A_\iota \}_{\iota \in I} \).
Ahora queremos definir la unión de todos los elementos que pertenecen a la familia \( \mathcal A \). Lo hacemos así:

\( \bigcup_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\exists{\iota \in I}(x\in A_\iota )\} \)

En otras palabras, un elemento \( x \) pertenece a la gran unión siempre y cuando haya al menos un elemento de la familia \( \{A_\iota \}_{\iota \in I} \) al cual \( x \) pertenezca.



Intersección.

La intersección de dos conjuntos \( A \) y \( B \) se define de la siguiente manera:

\( A\cap  B=\{x:x\in A\textsf{\ y\ }x\in B\} \)

O sea, para que un elemento \( x \) esté en la intersección debe ocurrir que esté al mismo tiempo en los dos conjuntos \( A \) y \( B \).
Se puede generalizar al caso de intersecciones finitas, e incluso con un conjunto arbitrario de índices.
Para practicar un poco, se los dejo como ejercicio (basta copiar la idea de lo que se hizo para las uniones):

  • Ejercicio Anexo.1.1.a: Definir la intersección de una lista finita de conjuntos \( A_1,A_2,\cdots A_n \), generalizando el caso de intersección de dos conjuntos.
  • Ejercicio Anexo.1.1.b: Reformular la definición anterior usando ahora el cuantificador universal "\( \forall{} \)".
  • Ejercicio Anexo.1.1.c: Definir la intersección de una familia arbitraria de conjuntos \( \{A_\iota \}_{\iota \in I} \) para algún conjunto de índices \( I \) cualquiera.
  • Ejercicio Anexo.1.1.d. Demostrar que dos conjuntos \( A, B \) son disjuntos si, y sólo si, \( A\cap  B = \emptyset \).
    (Esto también podría tomarse como definición de disjuntez)



Uniones e interseccoines sobre familias vacias de conjuntos

Supongamos que tenemos una familia de conjuntos \( \mathcal A=\{A_\iota \}_{\iota \in I} \).
¿Qué pasa cuando el conjunto de índices \( I \) es el conjunto vacío?

¿Está definida la unión de los elementos de \( \mathcal A \)?
Respuesta: sí. ¿Cuánto da el resultado de la unión vacía? Respuesta: el mismo conjunto vacío.

¿Está definida la intersección de los elementos de \( \mathcal A \)?
Respuesta: no.

Este tipo de cosas tienen que ver con las sutilezas de la teoría de conjuntos.
Digamos, sin entrar en detalles, que la intersección de la familia vacía da como resultado la clase universal, que no es un conjunto. En ciertas teorías de conjuntos, como la de Zermelo-Fraenkel, no hay clases que no sean conjuntos, y así la intersección quedaría indefinida.
[cerrar]



Diferencia de conjuntos.

Dados dos conjuntos \( A \) y \( B \), su diferencia se define como:

\( A-B :=\{x:x\in A\textsf{\ y\ }x\not\in B\} \)

  • Ejercicio Anexo.1.2.a. Sean \( A = \{3, 4, \pi, -1\}, B = \{1, 2, 3, -1\} \). ¿Cuál de los siguientes es su diferencia \( A - B \)?

    \( C = \{2, 2, 0.141592653589..., 0\}, D = \{4, \pi, 1, 2\}, E = \{4,\pi \} \)

  • Ejercicio Anexo.1.2.b. ¿Si al conjunto vacío le restamos cualquier otro conjunto, cuál es el resultado?

Complementos.

Supongamos que \( X \) es un conjunto que dejamos fijo por un rato.

Si \( A \) es un subconjunto de \( X \), se define el complemento de \( A \) respecto a \( X \) como la diferencia \( X-A \), y lo denotamos así:

\( A^{cX} = X-A \)

Cuando se sabe ya quién es el conjunto \( X \) de referencia, se puede dejar de escribirlo en el exponente, y se anota la forma más abreviada siguiente:

\( A^c = X-A \)



Propiedades algebraicas de las operaciones de conjuntos.

Recordar que para demostrar igualdades de conjuntos, se ha de usar la doble inclusión.
Dejamos como ejercicios demostrar las siguientes propiedades elementales:

  • Ejercicio Anexo.1.3.a. \( A\cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C) \)
  • Ejercicio Anexo.1.3.b.\( A\cup (B\cap  C)=(A\cup  B)\cap (A\cup C) \)
  • Ejercicio Anexo.1.3.c.\( (A\cup B)^c=A^c\cap  B^c \)
  • Ejercicio Anexo.1.3.d.\( (A\cap B)^c=A^c\cup  B^c \)
  • Ejercicio Anexo.1.3.e.\( (\bigcup_{\iota \in I}A_\iota )^c=\bigcap_{\iota \in I}A_\iota ^c \)
  • Ejercicio Anexo.1.3.f.\( (\bigcap_{\iota \in I}A_\iota )^c=\bigcup_{\iota \in I}A_\iota ^c \)

Las primeras propiedades son las leyes distributivas.
Las últimas propiedades son las leyes de De Morgan.

Para reflexionar: ¿Se pueden generalizar las leyes distributivas a familias infinitas de conjuntos? ¿Cuándo y cómo?



Partición de un conjunto.

Esto que sigue es sólo una reflexión.
Supongamos que tenemos un conjunto prefijado \( X \), y sean \( A, B \) dos subconjuntos de \( X \) cualesquiera.
Entonces \( X \) puede particionarse en cuatro conjuntos disjuntos:

\( X = (A\cap B)\cup (A^c\cap B)\cup (A\cap B^c)\cup (A^c\cap B^c) \)

Nota: El complemento \( A^c, B^c \), lo estamos tomando respecto a X.
Queda como ejercicio demostrar que los cuatro conjuntos \( A\cap B,A^c\cap B,A\cap B^c,A^c\cap B^c \), son disjuntos tomados de a pares,
y que \( X \) es la unión de todos ellos.

  • Pregunta-ejercicio Anexo.1.4.1: ¿Cómo se puede particionar \( X \) respecto una familia finita de subconjuntos \( A_1,A_2,\cdots,A_n \)?
  • Pregunta-ejercicio Anexo.1.4.2: ¿Cómo se puede particionar \( X \) respecto una familia numerable de subconjuntos \( \{A_\iota \}_{\iota \in N} \), con \( N=\{1,2,3,\cdots\} \)?



Para practicar la notación de familias de conjuntos y las operaciones con uniones e intersecciones infinitas, ahí va otro ejercicio:

  • Ejercicio Anexo.1.5.a.
    Para cada número natural \( n=1, 2, 3,\cdots \) definamos el conjunto

    \( A_n = \{x: x\textsf{\ es un número real tal que su n-ésimo dígito detrás del punto decimal es 0.}\} \)

    Cada conjunto \( A_n \) definido consta de números reales, como se puede apreciar.

    Esto nos deja definida una familia de conjuntos \( \{A_n\}_{n\in N} \), donde \( N \) es el conjunto de índices \( N=\{1,2,3,\cdots\} \), o sea, todos los números naturales.

    Ahora definamos otra familia de conjuntos cuyo conjunto de índices será el conjunto finito \( I=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \) mediante:

    \( C_k = \{x: x\textsf{\ es un número real tal que todo dígito detrás del punto decimal es mayor o igual que\ } k.\} \)

    (Estamos suponiendo la manera estándar de denotar números reales, en la que no se permite que todos los dígitos terminales sean "9"s).

    Se pide verificar si es cierta o no la igualdad de conjuntos siguiente:
    \( \bigcup_{n\in N}A_n = \bigcap_{k\in I}C_k^c. \)

    La moraleja de este ejercicio es que de un lado tengo un conjunto de índices infinito, y del otro uno finito, y en ambos casos se obtiene el mismo resultado.
  • Ejercicio Anexo.1.5.b. Sea \( N \) el conjunto de números naturales, y sea \( I \) el conjunto finito \( I = \{0,1,2\} \).
    Definimos la familia de conjuntos \( \{A_n\}_{n\in N} \) mediante:

    \( A_n = \{x:x \textsf{\ es un número entero que da el mismo resto que n al dividir por 3}\}. \)

    Definimos la familia de conjuntos \( \{B_j\}_{j=0}^2 \) mediante:
    \( B_j = \{x:x \textsf{\ es un número entero que al dividirlo por 3 da resto j}\}. \)

    Se pide demostrar que \( \{A_n\}_{n\in N}=\{B_j\}_{j=0}^2 \).

    La prueba es casi directa.
    Lo que se pretende es mostrar que aunque la familia de índices puede ser infinita,
    la familia de conjuntos en realidad puede que sea finita.
    O sea, la notación de "índices" para familias de conjuntos permite "repeticiones".




En el Munkres hay una lista de ejercicios para practicar propiedades de las operaciones con conjuntos.
Si ustedes lo desean, las podemos ir agregando, o me las consultan, como quieran.
Incluso pueden preguntar cosas sobre operaciones de conjuntos que hayan sacado de cualquier otro libro.



Pares ordenados.

Los pares ordenados \( (a,b) \) son objetos de la teoría de conjuntos que tienen la propiedad siguiente:
Los pares \( (a,b) \) y \( (c,d) \) son iguales si y sólo si \( a= c \) y \( b=d \).

Detalles teóricos sobre pares ordenados
En un conjunto de dos elementos, da igual que se escriba \( \{a,b\} \) ó \( \{b,a\} \).
Ambos conjuntos son el mismo porque tienen los mismos elementos.
En cambio, los pares \( (a,b) \) y \( (b,a) \) son, en general, distintos, porque el orden en que se escriben las componentes \( a, b, \) es importante.

Una manera estándar de construir pares ordenados con el mero uso de conjuntos, es como sigue:

Se define el par \( (a,b) \) como el conjunto \( \{a,\{a,b\}\} \).
Esto es: construimos el conjunto \( c= \{a,b\} \), y formamos el conjunto \( \{a,c\} \).
Este último es el par \( (a,b) \).

Los pares así formados tienen la propiedad de igualdad de pares ordenadas antes indicada.
[cerrar]



Productos cartesianos.

Dados dos conjuntos \( A, B, \) el producto cartesiano de \( A \) y \( B \) se denota \( A\times B \), y se define como el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de \( A \) y \( B \), en ese orden, más precisamente:

\( A\times B =\{(a,b):a\in A, b\in B\}. \)

Ejemplito: Si \( A \) es un conjunto de señoritas, y \( B \) es un conjunto de caballeros, el producto cartesiano \( A\times B \) muestra todas las maneras posibles de casar una señorita de \( A \) con un caballero de \( B \).



Relaciones.

Una relación \( \mathcal R \) entre objetos de un par de conjuntos \( A, B \), es todo subconjunto del producto cartesiano \( A\times B \).
Si \( (x,y)\in\mathcal R \), podemos escribir también \( x \mathcal R y \), y decir que \( x \) está \( \mathcal R \)-relacionado con \( y \).
Más detalles en el desplegable que sigue:

Detalles sobre relaciones

Las relaciones tienen la intención de especificar si dos objetos dados en un universo de discurso tienen alguna propiedad que los une. Por ejemplo "A es el padre de B", "\( r \) y \( s \) son rectas paralelas entre sí", "\( m \) es divisor de \( n \)", "\( T \) es un astro que orbita alrededor de \( S \)", "el señor \( N \) es presidente del país \( P \)", "los animales de la especie \( E \) se comen a los de la especie \( F \)", y así sucesivamente.
¿Cómo se indica esto con el lenguaje de la teoría de conjuntos?

En teoría de conjuntos la cosa se hace muy simple: una relación \( \mathcal R \) es el conjunto de todos los pares \( (x, y) \) tales que \( x \) está \( \mathcal R \)-relacionado con \( y \).
Así, la relación "es padre de" se especifica enumerando todos los pares \( (x,y) \) tales que \( x \) es padre de \( y \).
No hay más misterios que eso.

Como acabamos de ver, el conjunto de todos los pares ordenados de un par de conjuntos dados se llama producto cartesiano.
Si la relación se establece entre objetos de un conjunto \( A \) y objetos de un conjunto \( B \), la relación será algún subconjunto del producto cartesiano \( A\times B \).

Es muy común que las relaciones se establezcan entre objetos de un mismo conjunto \( A \). En ese caso la relación es un subconjunto del producto cartesiano \( A\times A \).

Ejemplos de relaciones:

  • Si \( A = \{\textsf{Juan, Pedro, María, Lorena}\} \), la relación \( \mathcal R \) dada por "\( x \) está enamorado/a de \( y \)" podría ser:

    \( \mathcal R = \{\textsf{(Juan,María),(María, Pedro),(Pedro, Lorena),(Lorena, Pedro)}\}. \)

    Más allá de que he puesto a esas pobres personas en un enredo amoroso, observemos que \( \mathcal R\subset A\times A \).
    Decir que Juan está enamorado de María se indica simplemente \( \textsf{(Juan, María)}\in\mathcal R \).
    También es posible escribir esto: \( \textsf{Juan\ }\mathcal R\textsf{María} \).

  • Si \( \mathbb{Z} \) es el conjunto de números enteros, definimos \( m\mathcal R n \) como la relación "\( m \) es divisor de \( n \)". En símbolos, tenemos:

    \( \mathcal R=\{(m,n)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}: \exists{k\in \mathbb{Z}}:mk=n\} \)

    Esta relación se suele denotar más bien como \( m|n \), o sea, en lugar de una \( \mathcal R \) se utiliza el símbolo \( | \).
  • Sea A un conjunto no vacío cualquiera y observemos la relación \( \mathcal R=\{(a,a):a\in A\}. \) ¿Qué relación es esta?
    Si reflexionamos un poco, un par \( (a,b) \) está en \( \mathcal R \) si, y sólo si, \( a= b \).
    Así que, naturalmente, esta es la relación de igualdad. Tenemos que \( a\mathcal R b si \), y sólo si, \( a=b \).
  • El producto cartesiano \( A\times A \) es un subconjunto de sí mismo. ¿Puede ser \( A\times A \) una relación? Claro que sí, aunque no nos dice mucho.
  • En los conjuntos de números, tenemos la relación de orden \( x<y \).
  • El conjunto vacío es trivialmente una relación, pero no nos dice mucho.

Terminología: En general, si una relación \( \mathcal R \) es subconjunto de \( A\times B \), se dice que \( A \) es el dominio de la relación \( \mathcal R \), y que \( B \) es la imagen de \( \mathcal R \). Se denota esto así:

\( \textsf{Dom}(\mathcal R)=A,\qquad\textsf{Im}(\mathcal R)=B. \)

Si agrandamos el dominio y la imagen, pero no agregamos más pares a la relación, obtenemos la misma relación.
Pero en este caso tenemos una posible ambiguedad en la noción de dominio e imagen.
Para evitar esto, podemos tomar varios caminos:
  • Decir que una relación en realidad es una lista \( (\mathcal R,(A,B)) \) donde \( A \) y \( B \) son conjuntos que harán las veces de dominio de \( \mathcal R \).
  • Considerar que el dominio es el mínimo conjunto posible, vale decir, el conjunto de todas las primeras componentes que figuran en los pares de la relación. Y asimismo, la imagen sería el conjunto de todas las segundas componentes que figuran en la relación.
  • No escribir igualdades como \( A=textsf{Dom}(\mathcal R) \), y simplemente decir que un conjunto \( A \) sirve como dominio para la relación \( \mathcal R \), o que el dominio mínimo está incluido en \( A \).
    En tal caso se hace una relajación del lenguaje y se dice simplemente: \( A \) es "el" dominio de \( \mathcal R \), cuando sabemos que en relidad en vez de "el" debiera decirse "un".
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Funciones.

Una función \( f \) de un conjunto \( A \) en un conjunto \( B \) se define como una relación con dominio \( A \) e imagen \( B \), con las siguientes propiedades:
  • Dominio efectivo: Todo elemento \( x \in A \) tiene al menos una imagen \( y\in B \) tal que (x,y)\in f
  • Unicidad de la imagen: \( (x,y),(x,z)\in f\Longrightarrow{y=z} \).

Para indicar que el dominio y la imagen de \( f \) son \( A \) y \( B \) respectivamente, se escribe \( f:A\to B \).
Para indicar que \( (x,y)\in f \) se suele escribir mejor \( y=f(x) \). La notación de igualdad no es contradictoria ni ambigua porque a cada \( x\in A \) le corresponde por \( f \) un, y sólo un elemento \( y\in B \).
También se puede escribir \( x\to y \), o bien \( x\to f(x) \), etc.

A diferencia de las relaciones, el dominio de una función está claramente determinado.

Otras notaciones para funciones: Se pueden usar subíndices. Supongamos una función \( \alpha:I\to B \). En vez de escribir \( \alpha(\iota) \) para la imagen de \( \iota\in I \) por la función \( \alpha \), podemos más bien describir la función como \( \{\alpha_\iota\}_{\iota\in I} \). En este caso I se llama conjunto de índices.
En vez de decir \( \alpha:I\to B, \iota\to\alpha(\iota) \), podemos anotar de forma más compacta \( \{\alpha_\iota\}_{\iota\in I}\subset B \).

Más detalles sobre funciones en el desplegable:

Más comentarios sobre funciones
A menudo nos interesa indicar que a un objeto le aplicamos una transformación para convertirlo en otro, o bien indicar que a los elementos de un conjunto se le asocian objetos de otro conjunto, en forma unívoca. Este tipo de asociación o de aplicación, origina el concepto de función.

Si uno reflexiona un poco, se da cuenta que uno puede indicar funciones como pares ordenados (x,y) en los que al elemento x se lo ha transformado en y.
Esto de "transformar" o "aplicar" son sólo términos intuitivos.
Matemáticamente, una función es una colección de pares ordenados con la propiedad de que a la primer componente se le asocia sólo una segunda componente.
O sea, si al objeto \( x \) lo transformamos en \( y \), \( y \) también en \( z \), para que la transformación esté bien definida es necesario que siempre dé el mismo resultado, es decir, que \( y=z \).

En resumen, una función se puede especificar como una relación especial, en la cual se tiene la propiedad unicidad de la imagen.
También se exige que todo objeto del dominio tenga imagen.


Ejemplos de funciones:

  • Si \( D \) es el conjunto de todos los dientes, y \( M \) es el conjunto de todos los mamíferos, podemos definir la función \( f:D\to M \) que asigna a cada diente \( x\in D \) su dueño \( f(x) \).
  • Dado el conjunto \( C \) de todos los círculos en el plano, y \( R \) el conjunto de los números reales, podemos considerar la función \( f:C\to R \) que asigna a cada círculo su radio.
  • Dado un conjunto \( A \) de números, y \( \mathbb{C} \) el conjunto de números complejos, podemos definir una función \( f:A\to \mathbb{C} \) que a cada \( x\in A \) asigna su cuadrado \( f(x)=x^2 \).
  • Dado un conjunto \( X \) cualquiera, podemos definir la función identidad en \( X \), dada por \( f:X\to X, f(x)=x \).

Observación: Toda función es una relación, pero no siempre sucede a la inversa.

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Productos cartesianos generalizados.

Volvamos a los productos cartesianos.

Discusión general sobre la construcción correcta de productos cartesianos de un número finito de factores

Discusión: ¿Es el producto cartesiano una operación asociativa?
O sea, dados tres conjuntos \( A, B, C \), ¿son iguales los productos \( (A\times B)\times C \) y \( A\times(B\times C) \)?

La respuesta es negativa, por cuanto los elementos de \( (A\times B)\times C \) son de la forma \( ((a,b),c) \) y los de \( A\times(B\times C) \) son de la forma \( (a,(b,c)) \).
Si esos elementos fueran iguales, se tendría que \( ((a,b),c)=(a,(b,c)) \).
Por la definición de igualdad de pares ordenados se tendría que cumplir que \( (a,b)=a \) y que \( c=(b,c) \).

No obstante esto no es posible. ¿Por qué? Tan sólo digamos que en la teoría axiomática de conjuntos existe un axioma (llamado de regularidad) que impide que un conjunto sea elemento de sí mismo, y en particular esto implica que un par ordenado sea elemento de sí mismo.

Esta contradicción muestra que, en general, no es lo mismo asociar los productos cartesianos de una forma que de otra.

Por lo tanto, algo como \( A\times B\times C \) tendría una definición ambigua.
¿Cómo se soluciona?

Lo que se hace es ampliar la noción de igualdad para ternas ordenadas de elementos cualesquiera, diciendo por ejemplo que \( ((a,b),c) \) y \( (a,(b,c)) \) son "equivalentes", y se escribirían ambas indistintamente como la terna \( (a,b,c) \).
Ahora sí que tendríamos que los productos \( (A\times B)\times C \) y \( A\times (B\times C) \) son "iguales" en este sentido en el que sus ternas componentes son "equivalentes", y escribimos sin ambigüedad \( A\times B\times C \).

De esta suerte, es posible generalizar a listas ordenadas de un número finito de elementos \( (a_1,a_2,\cdots,a_n) \), diciendo que todas las formas posibles de asociar sus elementos como pares... son equivalentes.
Así que es posible definir sin ambigüedad ahora productos cartesianos de \( n \) factores \( A_1, A_2,\cdots, A_n \).

\( A_1\times A_2\times\cdots \times A_n=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n):a_1\in A_1,a_2\in A_2,\cdots,a_n\in A_n\} \)

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En el desplegable anterior se explica la manera de enfrentarse al problema de definir correctamente el producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntos \( A_1,A_2,\cdots, A_n \).

Se pueden evitar todas las complicaciones allí comentadas apelando a otro modo de construir o visualizar las cosas. Para ello, reformularemos la manera de definir listas ordenadas de \( n \) elementos. Los detalles, en el siguiente desplegable:

Reformulación de la noción de producto cartesiano de n conjuntos
Consideremos las funciones cuyo dominio es el conjunto \( \{1,2,\cdots,n\} \) y cuya imagen está contenida en cierto conjunto \( W \).
Tomemos una lista de elementos \( a_1,a_2,\cdots,a_n\in W \).
Definamos la función \( f \) mediante \( f(i) = a_i \), para cada \( i=1,2,\cdots,n \).
Si ahora tenemos otros elementos \( b_1,b_2,\cdots,b_n \), y una función \( g \) dada por \( g(i)=b_i \), \( i=1,2,\cdots,n \), nos preguntamos bajo qué condiciones \( f \) y \( g \) son iguales.

Para que dos funciones sean iguales, para cada elemento del dominio ha de coincidir su imagen.
Esto implica que, para cada \( i\in\{1,2,\cdots,n\} \) se ha de cumplir la condición \( f(i)=g(i) \).
Pero esto implica ahora que \( a_i=b_i \), para todo \( i\in\{1,2,\cdots,n\} \).

Esto nos está sugiriendo que una forma adecuada de definir listas ordenadas de \( n \) elementos es por medio de funciones, por cuanto se cumpliría la propiedad de que dos listas son iguales si, y sólo si, lo son una a una sus componentes.

De modo que estaríamos definiendo la lista ordenada \( (a_1,a_2,\cdots,a_n) \) como el "objeto" \( f \), o sea, una función con dominio \( \{1,2,\cdots,n\} \) cuyos valores van recorriendo a los elementos \( a_1,a_2,\cdots,a_n \).

¿Cómo se define ahora el producto cartesiano de \( n \) conjuntos \( A_1,A_2,\cdots,A_n \)?
Lo hacemos diciendo que \( A_1\times A_2\times \cdots\times A_n \) es el conjunto de todas las funciones cuyo dominio es \( \{1,2,\cdots,n\} \), y cuyas imágenes van recorriendo todos los elementos de \( A_1,A_2,\cdots,A_n \).

Eso dicho así está algo impreciso, y tenemos que concretar mejor formalmente. Ya vamos.
Antes tenemos que preguntarnos ¿cuál es el conjunto imagen de esas "funciones" que estamos tomando como elementos del producto así definido?
Para simplificar la definición, conviene poner como conjunto de llegada a uno que sea lo bastante grande como para contener todos los elementos necesarios.
Si miramos un rato, vemos que la imagen de cada función \( f \) de las antes comentadas necesita que su imagen \( W \) contenga elementos de cada uno de los conjuntos \( A_1,A_2,\cdots,A_n \).

Pero no necesita más que eso.
Así que el conjunto imagen \( W \) que puede tomarse es la unión de \( A_1,A_2,\cdots,A_n \).
Basta que tomemos, pues:

\( W=\bigcup_{i=1}^n A_i. \)

Ahora sí ya podemos completar la definición de producto cartesiano:

\( A_1\times A_2\times \cdots\times A_n=\{f|f\textsf{\ función con dominio\ }\{1,2,\cdots,n\}\textsf{\ e imagen\ }\bigcup_{i=1}^n A_i,\textsf{\ tal que\ }f(i)\in A_i, i=1,2,\cdots,n\}. \)

Si \( f \) representa la lista \( (a_1,a_2,\cdots,a_n) \), se tiene \( f(i)=a_i \),
y así la condición exigida de que \( f(i)\in A_i \) significa lo que ya esperábamos, a saber, que \( a_i \) sea un elemento del conjunto \( A_i \), y no de cualquier otro conjunto de la lista.

Esta propiedad de las funciones \( f \), de que cada \( f(i) \) pertenezca a \( A_i \), para \( i=1,2,\cdots,n \), lo que hace, a fin de cuentas, es "elegir" un elemento de cada conjunto \( A_i \), y formarse una lista con todos los elegidos.
Por ello se las suele llamar funciones de elección.

[cerrar]

Lo que hemos hecho es un "cambio de paradigma" en la noción de producto cartesiano.
Una vez acostumbrados a este paradigma, veremos que es muy útil para poder generalizar la noción de producto cartesiano al caso de infinitos factores.

En efecto, en vez de tomar como dominio a un conjunto finito \( \{1,2,\cdots,n\} \), me permito ahora tomar un conjunto de índices cualquiera \( I \).
Ahora tomo además una familia de conjuntos \( \{A_\iota\}_{\iota\in I} \), o sea, una familia tal que a cada \( \iota\in I \) le corresponde algún conjunto \( A_\iota \).

Ahora decimos que \( f \) es una función de elección de la familia \( \{A_\iota\}_{\iota\in I} \) si :
  • El domino de la función \( f \) es el conjunto de índices \( I \).
  • Los valores de llegada de \( f \) están contenidos en el conjunto imagen \( W \) dado por:

    \( \displaystyle W=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota. \)
  • Para cada \( \iota\in I \) se cumple que \( f(\iota)\in A_\iota \).

Ahora se define el producto cartesiano de todos los elementos de la familia \( \{A_\iota\}_{\iota\in I} \) mediante:

\( \displaystyle\prod_{\iota\in I}A_\iota :=\big\{f:f\textsf{\ es una función de elección de\ }\{A_\iota\}_{\iota\in I}\big\} \)

En la exposición cotidiana, puede que uno escriba estas cosas usando esta otra notación intuitivamente más clara:

\( \displaystyle\prod_{\iota\in I}A_\iota =\big\{\{a_\iota\}_{\iota\in I}:a_\iota\in A_\iota,\iota\in I\big\} \)

Observación: El producto cartesiano de \( n \) factores iguales \( A,A,\cdots,A \) es el conjunto de todas las funciones de \( \{1,2,\cdots,n\} \) en \( A \).
En tal caso, se escribe:

\( A^n = \underbrace{A\times A\times \cdots \times A}_{n} \).

¿Qué pasa si tenemos un producto cartesiano de infinitos factores iguales?
Bueno, en este caso recurrimos al último paradigma y cambiamos el conjunto de índices \( \{1,2,\cdots,n\} \) por un conjunto de índices arbitrario \( J \), que puede ser finito o infinito.

Si por cada \( \iota\in J \) tenemos que \( A_\iota = A \), o sea, todos los elementos de la familia de conjuntos son el mismo \( A \), entonces se puede demostrar que el producto cartesiano de todos ellos coincide con el conjunto de todas las funciones de \( J \) en \( A \).
A este conjunto se lo suele denotar como \( A^J \).

Debemos advertir que hay aquí dos notaciones distintas para el caso finito:

\( A^n=A^{\{1,2,\cdots,n\}}. \)

Se usa comunmente la primera por brevedad.

Si \( J \) y \( K \) son dos conjuntos disjuntos, se puede demostrar que \( A^J\times A^K=A^{J\cup K} \).
Cuando \( J, K \), no son disjuntos, se los debe "maquillar" para que sean considerados disjuntos.
Esto se puede lograr de varias maneras, que no voy a explicar aquí.

En particular, se tiene la sugestiva igualdad:

\( A^m\times A^n = A^{m+n} \).



En los posts siguientes retomaremos todo esto, pero en otro estilo y con más precisión, siguiendo el esquema de contenidos de Munkres. También hay más ejercicios.




>> Clic aquí para Opiniones, preguntas y otros comentarios del curso: Teoría de Conjuntos 2011

24 Julio, 2011, 09:09 pm
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24 Julio, 2011, 09:12 pm
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24 Julio, 2011, 09:56 pm
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Teoría de Conjuntos y Lógica (Topology, Munkres, 2da. ed., Capítulo 1)

(Puse poca teoría del texto, pero se puede ir agregando más al correr las semanas)


Sección 1. Conceptos Fundamentales.

Hechos y observaciones sobre la parte teórica del texto:

\(  \bullet \) Significado de la conjunción "ó": En matemáticas, la conjunción "ó" siempre se interpreta de forma inclusiva: P ó Q significa: "P es cierta, o Q es cierta, o ambas son ciertas". Cuando se desea indicar que la conjunción es no inclusiva, se debe agregar la partícula "pero no son ciertas ambas a la vez", o más breve: "pero no ambas".

\(  \bullet \) Tablas de verdad para las operaciones lógicas elementales, tautologías y reglas de inferencia. Las resumimos en el desplegable:

Tablas de verdad

Dadas dos proposiciones lógicas \( p,q \), las operaciones de negación, disyunción, conjunción, implicación y doble implicación satisfacen las siguientes tablas de cálculo de sus valores de verdad (\( V \) = verdadero, \( F \) = falso):
\( p \)
no \( p \)


\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)

\( p \)
\( q \)
\( p \) ó \( q \)



\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( V \)
\( F \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)

\( p \)
\( q \)
\( p \) y \( q \)



\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)

\( p \)
\( q \)
\( p \Longrightarrow{}q \)



\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)

\( p \)
\( q \)
\( p \Longleftrightarrow{}q \)



\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)

Dadas variables proposicionales \( p,q,r \), etc., una expresión lógica formada como combinación de las operaciones anteriores involucrando a estas variables es una tautología si, para todos los valores de verdad posibles de \( p,q,r \), etc, en la columna final de la tabla de verdad se obtienen resultados todos V (verdaderos).

Un razonamiento tiene la forma simbólica

\( h_1,h_2,\cdots,h_n\xrightarrow[conclusion]\,{t}, \)

en donde las premisas \( h_1,h_2,\cdots,h_n \) son premisas que se llaman hipótesis y \( t \) es una premisa que se llama tesis.

Un razonamiento \( h_1,h_2,\cdots,h_n\xrightarrow[conclusion]\,{t}, \) es válido si la siguiente expresión es una tautología:

\( (h_1\textsf{\ y }h_2\textsf{\ y }\cdots\textsf{\ y}h_n)\Longrightarrow{t} \)

Razonamiento Modus Ponens: Dadas dos premisas \( p,q \), el razonamiento Modus Ponens es de la forma: \( p,p\Longrightarrow{q}\longrightarrow{q} \).
Esto se lee "Si \( p \), entonces \( q \)", o bien "De \( p \), se deduce \( q \)", o bien "\( q \) es consecuencia de \( p \)", o "\( p \) es suficiente para \( q \)", o "\( q \) es necesario para \( p \)".

Para comprobar que cierta premisa \( q \) es verdadera usando un razonamiento modus ponens, es necesario comprobar que hay alguna premisa \( p \) tal que son ciertas \( p \) y \( p\Longrightarrow{q} \).

Se dice que dos premisas \( p,q \) son equivalentes si se cumple que \( p\Longleftrightarrow{q} \) es verdadera.

Dada una premisa de la forma \( p\Longrightarrow{q} \) reconocemos estas premisas asociadas:
  • Directa: \( p\Longrightarrow{q} \)
  • Recíproca: \( q\Longrightarrow{p} \)
  • Contrapositiva: \( \textsf{no-}q\Longrightarrow{\textsf{no-}p} \)

Hay varias más, pero no las nombramos...

Se tiene la siguiente equivalencia lógica, para cualesquiera premisas \( p,q \):

\( (p\Longrightarrow{q})\Longleftrightarrow{(\textsf{no-}q\Longrightarrow{\textsf{no-}p})} \)

O sea, una premisa es equivalente a su contrapositiva, y así se puede probar una demostrando la otra, da igual.


Además, recordemos esta útil equivalencia:

\( (p\Longrightarrow{q})\Longleftrightarrow{(\textsf{no-}p\textsf{\ ó\ }q)}. \)

[cerrar]

\(  \bullet \) Funciones proposicionales y Cuantificadores. Una función proposicional \( p(x) \) es una premisa lógica cuyo valor de verdad depende de la variable \( x \).  Los detalles sobre esto, y el uso de cuantificadores, en el siguiente desplegable:

Proposiciones lógicas y cuantificadores

Si para toda sustitución posible de la variable \( x \) la proposición \( p(x) \) es verdadera, se escribe:

\( \forall{x}:p(x) \)

Si para al menos una sustitución de todas las posibles de la variable \( x \) la proposición \( p(x) \) es verdadera, se escribe:

\(  \exists{x}:p(x) \)

Las expresiones \( q=\forall{x}:p(x) \) y \( r= \exists{x}:p(x) \) son ellas mismas proposiciones lógicas.
Su valor de verdad o falsedad es siempre el mismo, no depende ya de la variable x, sin embargo, sí que depende de la estructura de la función proposicional \( p \).

El símbolo \( \forall{} \) se llama cuantificador universal, y
el símbolo \( \exists{} \) se llama cuantificador existencial.

El símbolo \( \forall{} \) puede verse como una conjunción "y" generalizada a un número arbitrario de casos.
El símbolo \(  \exists{} \) puede verse como una disyunción "ó" generalizada a un número arbitrario de casos.


Algunas operaciones entre proposiciones, cuantificadores y negaciones:
  • \( \big[\forall{x}:p(x)\big]\Longleftrightarrow{\big[\textsf{no-}\exists{x}:(\textsf{no-}p(x))\big]} \)
  • \( \big[ \exists{}{x}:p(x)\big]\Longleftrightarrow{\big[\textsf{no-} \forall{}{x}:(\textsf{no-}p(x))\big]} \)
  • \( \big[\forall{x}:\textsf{no-}p(x)\big]\Longleftrightarrow{\big[\textsf{no-}\exists{x}:( p(x))\big]} \)
  • \( \big[ \exists{}{x}:\textsf{no-}p(x)\big]\Longleftrightarrow{\big[\textsf{no-} \forall{}{x}:( p(x))\big]} \)

[cerrar]

\(  \bullet \) Definición de unión: \( A\cup B=\{x|x\in A\textsf{\ ó\ }x\in B\} \).

\(  \bullet \) Definición de intersección: \( A\cap B=\{x|x\in A\textsf{\ y\ }x\in B\} \).

\(  \bullet \) Definición de diferencia: \( A- B=\{x|x\in A\textsf{\ y\ }x\not\in B\} \).

\(  \bullet \) Conjunto potencia: La colección de todos los subconjuntos de A se denota \( \mathcal P(A) \):

\( \mathcal P(A)=\{S|S\subset A\} \)

Si \( a \) es un elemento de \( A \), el conjunto que tiene sólo al elemento \( a \) es \( \{a\} \) (conjunto unitario) y se tiene que:

\( a\in A\qquad,\{a\}\subset A,\qquad\{a\}\in \mathcal P(A) \)

\(  \bullet \) Uniones e intersecciones generalizadas:

\( \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal B}A=\{x|\exists{A\in\mathcal B}:x\in A\} \)
\( \displaystyle \bigcap_{A\in\mathcal B}A=\{x| \forall{A\in\mathcal B}:x\in A\} \)

\(  \bullet \) Producto cartesiano. \( A\times B=\{(x,y)|x\in A,y\in B\} \).

Al parecer a Munkres le "incomoda" la notación \( (x,y) \) para los pares ordenados.
En algunos casos "dice" que va a usar una notación como \( x\times y \).
A mí esto último me parece horriblemente fatal. Trataré de no usar semejante notación, jamás.


La lista de ejercicios del libro, abriendo el desplegable:

Ejercicios Sección 1

  • Ejercicio 1.1: Verificar las leyes distributivas de \( \cup,\cap \), y las leyes de De Morgan.
  • Ejercicio 1.2: Determinar cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para todos los conjuntos A,B,C,D.
    Si falla alguna doble implicación, determine si una implicación en un sentido o en otro es aún cierta.
    Si una igualdad falla, determine si una inclusión, en un sentido o en otro, aún vale.

    • (a) \( A\subset B \textsf{\ y\ }A\subset C\Longleftrightarrow{A\subset(B\cup C)} \)
    • (b) \( A\subset B \textsf{\ ó\ }A\subset C\Longleftrightarrow{A\subset(B\cup C)} \)
    • (c) \( A\subset B \textsf{\ y\ }A\subset C\Longleftrightarrow{A\subset(B\cap C)} \)
    • (d) \( A\subset B \textsf{\ ó\ }A\subset C\Longleftrightarrow{A\subset(B\cap C)} \)
    • (e) \( A-(A-B)=B \)
    • (f) \( A-(B-A)=A-B \)
    • (g) \( A\cap(B-C)=(A\cap B)-(A \cap C) \)
    • (h) \( A\cup(B-C)=(A\cup B)-(A \cup C) \)
    • (i) \( (A\cap B)\cup(A- B)=A \)
    • (j) \( A\subset C\textsf{\ y\ }B\subset D\Longrightarrow{(A\times B)\subset(C\times D)} \)
    • (k) La recíproca de (j).
    • (l) La recíproca de (j) asumiendo que \( A \) y \( B \) no son vacíos.
    • (m) \( (A\times B)\cup(C\times D)=(A\cup C)\times(B\cup D) \)
    • (n) \( (A\times B)\cap(C\times D)=(A\cap C)\times(B\cap D) \)
    • (o) \( A\times(B-C)=(A\times B)-(A\times C) \)
    • (p) \( (A-B)\times(C-D)=(A\times C-B\times C)-A\times D \)
    • (q) \( (A\times B)-(C\times D)=(A-C)\times (B-D) \)

  • Ejercicio 1.3:

    • (a) Escriba el contrapositivo y el recíproco de la siguiente afirmación:
      "Si \( x<0 \) entonces \( x^2-x>0 \)"
      y determine cuál de las tres afirmaciones es cierta.
    • (b) Haga lo mismo para la afirmación:
      "If \( x>0 \) entonces \( x^2-x>0 \)".

  • Ejercicio 1.4: Sean \( A, B \), conjuntos de números reales. Escriba la negación de cada una de las siguientes afirmaciones:

    • (a) Para todo \( a\in A \), es cierto que \( a^2\in B \).
    • (b) Para al menos un \( a\in A \), es cierto que \( a^2\in B \)
    • (c) Para todo \( a\in A \), es cierto que \( a^2\not\in B \).
    • (d) Para al menos un \( a\not\in A \), es cierto que \( a^2\in B \)

  • Ejercicio 1.5: Sea \( \mathcal A \) una colección no vacía de conjuntos. Determine si son ciertas las siguientes afirmaciones y sus recíprocas:

    • (a) \( \displaystyle x\in\bigcup_{A\in\mathcal A} A\Longrightarrow{x\in A} \) para al menos un \( A\in \mathcal A \).
    • (a) \( \displaystyle x\in\bigcup_{A\in\mathcal A} A\Longrightarrow{x\in A} \) para todo \( A\in \mathcal A \).
    • (a) \( \displaystyle x\in\bigcap_{A\in\mathcal A} A\Longrightarrow{x\in A} \) para al menos un \( A\in \mathcal A \).
    • (a) \( \displaystyle x\in\bigcap_{A\in\mathcal A} A\Longrightarrow{x\in A} \) para todo \( A\in \mathcal A \).

  • Ejercicio 1.6: Escriba el contrapositivo de cada una de las afirmaciones del Ejercicio 5.
  • Ejercicio 1.7: Dados conjuntos \( A,B,C \), exprese cada uno de los siguientes conjuntos en términos de \( A,B,C \), usando los símbolos \( \cup,\cap,- \).

    \( D=\{x|x\in A\textsf{\ y\ }(x\in B\textsf{\ ó\ }x\in C)\}, \)
    \( E=\{x|(x\in A\textsf{\ y\ }x\in B)\textsf{\ ó\ }x\in C\}, \)
    \( F=\{x|x\in A\textsf{\ y\ }(x\in B \Rightarrow{}x\in C)\}, \)

  • Ejercicio 1.8: Si un conjunto \( A \) tiene dos elementos, muestre que \( \mathcal P(A) \) tiene cuatro elementos.
    ¿Cuántos elementos tiene \( \mathcal P(A) \) si \( A \) tiene un elemento¿? ¿Tres elementos? ¿Ningún elemento?
    ¿Por qué se llama a \( \mathcal P(A) \) el conjunto potencia de \( A \)?
  • Ejercicio 1.9: Formular y demostrar las leyes de De Morgan para uniones e intersecciones generalizadas.
  • Ejercicio 1.10: Denote \( R \) el conjunto de números reales. Para cada uno de los siguientes subconjuntos de \( R\times R \), determine si es igual al producto cartesiano de algún par subconjuntos \( A,B \), de \( R \).

    • (a) \( \{(x,y)| x\textsf{\ es un entero}\} \)
    • (b) \( \{(x,y)|0<y \leq1\} \)
    • (c) \( \{(x,y)|y>x\} \)
    • (d) \( \{(x,y)|x\textsf{ no es un entero y\ } y\textsf{\ es un entero}\} \)
    • (e) \( \{(x,y)|x^2+y^2=1\} \)


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24 Julio, 2011, 09:57 pm
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argentinator

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Sección 2. Funciones.

Munkres introduce el concepto de función pasando previamente por el de regla de asignación.

\(  \bullet \) Regla de asignación. Es un subconjunto \( r \) del producto cartesiano \( C\times D \) de dos conjuntos, tal que cada elemento de \( C \) aparece como la primer coordenada o componente de a lo sumo un par ordenado perteneciente a \( r \). Para una tal regla se pueden definir en forma unívoca los conjuntos dominio e imagen:

\( \begin{align*}
   \textsf{dominio}(r) &=\{c|\exists{d\in D:(c,d)\in r}\},\\
   \textsf{imagen}(r) &=\{c|\exists{c\in C:(c,d)\in r}\}.
\end{align*} \)

\(  \bullet \) Función. Es una regla de asignación \( r \), junto con un conjunto \( B \) que contiene a la imagen de \( r \). El dominio de y la imagen de \( r \) se llaman también dominio e imagen de \( f \). El conjunto \( B \) lo llamaremos codominio de \( f \).

Para expresar que una función tiene dominio \( A \) y codominio \( B \) escribimos \( f:A\to B \).

Codominio y Munkres
Munkres no usa la palabra codominio para el conjunto \( B \) de llegada de una función, sino que usa la palabra rango.
Esto es funesto, porque la mayoría de los textos usa la palabra rango para referirse a lo que aquí estamos llamando imagen de la función.

Así que nunca voy a usar la palabra rango en el sentido que lo usa Munkres.

[cerrar]

\(  \bullet \) Restricción. Si \( f:A\to B \) y si \( A_0\subset A \), la restricción de \( f \) a \( A_0 \) es la función \( g:A_0\to B \) cuya regla es \( \{(a,f(a))|a\in A_0\} \). Se denota a \( g \) como \( f|A_0. \)

\(  \bullet \) Imágenes y preimágenes de conjuntos por una función.
Spoiler

Sea \( f:A\to B \) una función.

Si \( A_0\subset A \), se define

\( f(A_0):=\{b|\exists{a\in A_0}:b=f(a)\}. \)

El conjunto \( f(A_0) \) se llama imagen de \( A_0 \) bajo \( f \).

Si \( B_0\subset B \), se define

\( f^{-1}(B_0):=\{a|f(a)\in B_0\}. \)

El conjunto \( f^{-1}(B_0) \) se llama preimagen de \( B_0 \) bajo \( f \).
También se puede llamar imagen inversa.

  • Para todo \( A_0\subset A \) vale: \( f^{-1}(f(A_0))\supset A_0 \).
  • Para todo \( B_0\subset B \) vale: \( f(f^{-1}(B_0))\subset A_0 \).

[cerrar]

\(  \bullet \) Composición de funciones. Dadas \( f:A\to B,g:B\to C \), definimos la composición de \( f \) y \( g \) como la función \( g \circ f:A\to C \) dada por la regla \( (g \circ f)(a)=g(f(a)) \).

\(  \bullet \) La composición de las funciones \( f, g \), sólo está definida cuando el codominio de \( f \) es igual al dominio de \( g \).

\(  \bullet \) Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas.
Spoiler

Sea una función \( f:A\to B \). Se dice que:

  • \( f \) es inyectiva si \( f(a)=f(a')\Longrightarrow{a=a'}. \)
  • \( f \) es suryectiva si \( b\in B\Longrightarrow{(\exists{a\in A:b=f(a)})}. \)
  • \( f \) es biyectiva o una correspondencia 1-1 si es inyectiva y suryectiva.

  • La composición de funciones inyectivas es inyectiva.
  • La composición de funciones suryectivas es suryectiva.
  • La composición de funciones biyectivas es biyectiva.

Si \( f \) es biyectiva, existe una función \( f^{-1}:B\to A \) tal que \( f^{-1}(b) \) es igual al único elemento \( a\in A \) tal que \( b=f(a) \).
Se cumple que \( f^{-1}(f(a))=a, \qquad f(f^{-1}(b))=b \).

Si \( f \) es biyectiva, entonces \( f^{-1} \) también es biyectiva.


Si \( f \) es biyectiva, la preimagen de un subconjunto \( B_0 \) de \( B \) por \( f \) y la imagen de la función inversa \( f^{-1} \) del conjunto \( B_0 \), son iguales, y ambas se denotan como \( f^{-1}(B_0) \).

[cerrar]

\(  \bullet \) Lema 2.1. Sea \( f:A\to B \). Si existen funciones \( g:B\to A,h:B\to A \) tales que \( \forall{a\in A}:g(f(a))=a \) y \( \forall{b\in B:f(h(b))=b} \), entonces \( f \) es biyectiva y \( g=h=f^{-1} \).


Ejercicios Sección 2

  • Ejercicio 2.1. Sean \( f:A\to B, A_0\subset A,B_0\subset B \).

    • (a) Muestre que \( f^{-1}(f(A_0))\supset A_0 \), y que la igualdad vale si \( f \) es inyectiva.
    • (b) Muestre que \( f(f^{-1}(B_0))\supset B_0 \), y que la igualdad vale si \( f \) es suryectiva.

  • Ejercicio 2.2. Sean \( f:A\to B,A_1\subset A,A_2\subset A,B_1\subset B,B_2\subset B \).
    Mostrar que \( f^{-1} \) preserva inclusiones, uniones, intersecciones y diferencias de conjuntos.

    • (a) \( B_0\subset B_1\Longrightarrow{f^{-1}(B_0)\subset f^{-1}(B_1)}. \)
    • (b) \( f^{-1}(B_0\cup B_1)=f^{-1}(B_0)\cup f^{-1}(B_1). \)
    • (c) \( f^{-1}(B_0\cap B_1)=f^{-1}(B_0)\cap f^{-1}(B_1). \)
    • (d) \( f^{-1}(B_0- B_1)=f^{-1}(B_0)- f^{-1}(B_1). \)

    Muestre que \( f \) preserva inclusiones y uniones:
    • (e) \( A_0\subset A_1\Longrightarrow{f(A_0)\subset f(A_1)}. \)
    • (f) \( f(A_0\cup A_1)=f(A_0)\cup f(A_1). \)
    • (g) \( f(A_0\cap A_1)\subset f(A_0)\cap f(A_1). \)
    • (h) \( f(A_0 - A_1)\supset f(A_0) - f(A_1). \)

  • Ejercicio 2.3. Muestre que (b), (c), (d) y (g) del Ejercicio 2 valen para uniones e intersecciones arbitrarias.
  • Ejercicio 2.4. Sean \( f:A\to B, g:B\to C. \)

    • (a) Si \( C_0\subset C_1 \), muestre que \( (g \circ f)^{-1}(C_0)=f^{-1}(g^{-1}(C_0)). \)
    • (b) Si \( f,g, \) son inyectivas, muestre que \( g \circ f \) es inyectiva.
    • (c) Si \( g \circ f \) es inyectiva, ¿qué se puede decir de la inyectividad de \( f \) y de \( g \)?
    • (d) Si \( f,g, \) son suryectivas, muestre que \( g \circ f \) es suryectiva.
    • (e) Si \( g \circ f \) es suryectiva, ¿qué se puede decir de la suryectividad de \( f \) y de \( g \)?
    • (f) Recolecte las respuestas (b)-(e) en la forma de un Teorema.

  • Ejercicio 2.5. En general, denotemos la función identidad para un conjunto \( C \) como \( i_C \). O sea, \( i_C:C\to C \) está dada por \( i_C(x)=x \), todo \( x\in C \).
    Dada \( f:A\to B \), decimos que una función \( g:B\to A \) es la inversa a la izquierda de \( f \) si  \( g \circ f=i_A \);
    y decimos que una función \( h:B\to A \) es la inversa a la derecha de \( f \) si  \( f \circ h=i_B \).

    • (a) Muestre que si \( f \) tiene una inversa izquierda, \( f \) es inyectiva; y si \( f \) tiene una inversa derecha, \( f \) es suryectiva.
    • (b) Dé un ejemplo de una función que tiene una inversa izquierda pero no inversa derecha.
    • (c) Dé un ejemplo de una función que tiene una inversa derecha pero no inversa izquierda.
    • (d) ¿Puede una función tener más que una inversa izquierda? ¿Más que una inversa derecha?
    • (e) Muestre que si \( f \) tiene tanto una inversa izquierda \( g \) como una inversa derecha \( h \), entonces \( f \) es biyectiva y \( g=h=f^{-1} \).


  • Ejercicio 2.6. Sea \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) la función \( f(x)=x^3-x \). Restringiendo el dominio y el codominio de \( f \) apropiadamente, obtenga desde \( f \) una función biyectiva \( g \). Dibuje los gráficos de \( g \) y \( g^{-1} \). (Hay muchas posibles elecciones para \( g \)).

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24 Julio, 2011, 09:57 pm
Respuesta #8

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Sección 3. Relaciones.

\(  \bullet \) Relación. Una relación en un conjunto \( A \) es un subconjunto \( C \) del producto cartesiano \( A\times A \).

\(  \bullet \) Si \( C \) es una relación en \( A \), usamos la notación \( xCy \) para indicar \( (x,y)\in C \).

\(  \bullet  \) Las reglas de asignación y/o las funciones definidas en \( A\times A \) son también relaciones en \( A \).

\(  \bullet \) Relaciones equivalencia. Una relación de equivalencia sobre un conjunto \( A \) es una relación \( C \) en \( A \) que satisface, para cualesquiera \( x,y,z\in A \):

  • Reflexividad:     \( xCx \)
  • Simetría:          \( xCy\Longrightarrow{yCx} \)
  • Transitividad:    \( xCy,yCz\Longrightarrow{xCz} \)

En vez de letras, se suelen usar los símbolos \( \sim{,\approx{,\equiv{}}} \), etc., para denotar relaciones de equivalencia.

\(  \bullet \) Dada una relación de equivalencia \( \sim{} \) en A, para cada x\in A se define la clase de equivalencia \( E_x \) determinada por \( x \) como el conjunto de todos los elementos de \( A \) equivalentes a \( x \): \( E_x :=\{y\in A|y\sim{x}\}. \)

\(  \bullet \) Lema 3.1 Dos clases de equivalencia \( E,E' \), o son disjuntas o son iguales.

La demostración queda como un ejercicio.

Significado: si \( \mathcal E \) es el conjunto de todas las clases de equivalencia determinadas por la relación \( \sim{} \) en \( A \), entonces los elementos de \( \mathcal E \) que sean distintos, son disjuntos entre sí.

\(  \bullet \) Una partición de un conjunto \( A \) es una de colección de subconuntos disjuntos de \( A \), cuya unión es todo \( A \).

\(  \bullet \) Lo dicho antes permite afirmar que toda relación de equivalencia en \( A \) induce una partición en \( A \).

\(  \bullet \) También es cierto lo recíproco: dada una partición \( \mathcal D \) en \( A \), hay una relación de equivalencia en \( A \) cuya familia de clases de equivalencia coincide con \( \mathcal D. \)

\(  \bullet \) Relación de orden. Una relación \( C \) en un conjunto \( A \) se llama una relación de orden (estricto, ver comentarios abajo) en \( A \) (o también orden simple, o un orden lineal), si para cualesquiera \( x,y,z \in A \) satisface:

  • Comparabilidad. Si \( x\neq y \), entonces \( xCy \) ó bien \( yCx. \)
  • Irreflexividad: Nunca vale \( xCx \).
  • Transitividad: \( xCy, yCz\Longrightarrow{ xCz}. \)

Como ocurre con todos los libros que definen relaciones de orden, cada cual hace lo que se le da la gana.
Recordemos los "órdenes" \( < \) y \(  \leq \) entre números reales.
El primero de ellos es irreflexivo, porque nunca se cumple que \( x<x \) para números.
El segundo es siempre reflexivo, porque siempre se cumple que \( x \leq x \) para números.
Muchos autores prefieren seguir el modelo de \(  \leq \) para definir relación de orden, o sea, piden reflexividad.
Otros, como Munkres mismo, se basan en el modelo de \( < \), y exigen irreflexividad.

En el caso de que haya reflexividad ( \( \leq \)) el orden se suele llamar no-estricto, y en caso de que no haya (\( < \)) el orden se suele llamar estricto.

Hay otros enredos con la terminología.
Hay autores que no exigen la propiedad de comparabilidad para un orden.
En cuyo caso, si un orden satisface además la comparabilidad, se le llama orden total u orden lineal, etc.


Para poder extrapolar todo esto a cualquier otro contexto en nuestra futura y larga vida, vamos a usar durante el curso una terminología que no se preste a confusión.

Ya que Munkres admite el uso de la terminología orden lineal como posible, cada vez que hagamos referencia a un orden en la manera en que se ha definido, vamos a decir, todo el tiempo, hasta el hartazgo: orden lineal estricto, lo cual será sinónimo de comparabilidad, irreflexividad y transitividad.


\(  \bullet \) Para denotar órdenes totales estrictos se suelen usar mejor símbolos como \( <,\prec \), o similares. Así, las propiedades anteriores quedarían así:

  • \( x\neq y\Longrightarrow{x<y} \) ó \( y<x. \)
  • \( x\not<x. \)
  • \( x<y, y<z\Longrightarrow x<z . \)

\(  \bullet \) Dado un orden lineal estricto \( < \) en un conjunto \( A \), se define la relación  \( \leq \) en \( A \) mediante: \( x \leq y \) si, y sólo si, \( x<y \) ó bien \( x=y \).

\(  \bullet \) La abreviatura \( x<y<z \) significa \( x<y \), y \( y<z \).

\(  \bullet \) Si \( X \) es un conjunto, \( < \) es un orden lineal estricto en \( X \), y si \( a, b\in X \), son tales que \( a<b \), se define el intervalo abierto \( (a,b) \) como el conjunto:

\( (a,b)=\{x\in X|a<x<b\}. \)

Si \( (a,b)= \emptyset \) significa que no hay elementos intermedios en \( X \) que estén entre \( a \) y \( b \).
En ese caso, se dice que \( a \) es el predecesor inmediato de \( b \), y que \( b \) es el sucesor inmediato de \( a \).

\(  \bullet \) Sean \( A,B \), conjuntos y sean \( <_A, <_B \), respectivos órdenes lineales totales sobre \( A \) y \( B \). Se dice que \( A \) y \( B \) tienen el mismo tipo de orden si hay una función biyectiva \( f:A\to B \) tal que para cualesquiera \( a_1,a_2\in A \):

\( a_1<_A a_2\Longrightarrow{f(a_1)<_B f(a_2)}. \)

Ejemplos: (la prueba la dejamos como ejercicio.)

  • En la recta real, el intervalo \( (-1,1) \) tiene el mismo tipo de orden que toda la recta.
  • En la recta real, el subconjunto \( \{0\}\cup(1,2) \) tiene el mismo tipo de orden que [0,1)=\{x|0 \leq x<1\}.

\(  \bullet \) Orden de diccionario. Sean \( A, B \), un par de conjuntos con respectivas relaciones de orden lineal estricto \( <_A,<_B \). Se define una relación \( < \) en \( A\times B \) por medio de la condición:

\( {\color{blue}(}a_1,b_1{\color{blue})}<{\color{blue}(}a_2,b_2{\color{blue})} \), si y sólo si, \( a_1<_A a_2 \) o bien: \( a_1=a_2 \) y \( b_1<b_2. \)

Munkres tiene conflictos emocionales cada vez que en cierto contexto puede confundirse un par ordenado \( (a,b) \) con el intervalo \( (a,b) \). La solución de notación que ofrece me parece una catástrofe peor que el problema en sí.
Por eso, cada vez que sea necesario distinguir entre ambas situaciones, usaremos una convención propia, a saber: indicar los pares ordenados con paréntesis azules: \( {\color{blue}(}a,b{\color{blue})} \), y a los intervalos simplemente \( (a,b) \).


\(  \bullet \) Ejercicio. Verificar que el orden de diccionario \( < \) definido en \( A\times B \) es un orden lineal estricto en \( A\times B \).

\(  \bullet \) Ejercicio Explique cómo funciona el orden de diccionario en el plano \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \), siendo \( \mathbb{R} \) la recta real.

\(  \bullet \) Ejemplo/ejercicio. Considere el intervalo de la recta real \( [0,1) \) y el conjunto \( \mathbb{Z}_+ \) de enteros positivos, ambos con sus órdenes lineales estrictos usuales.
Verifique que \( \mathbb{Z}_+\times[0,1) \) con el orden de diccionario tiene el mismo tipo de orden que el conjunto \( \mathbb{R}_+ \) de reales positivos.
La biyección que ha de usarse es \( f({\color{blue}(}n,t{\color{blue})})=n+t-1 \).
En cambio \( [0,1)\times\mathbb{Z}_+ \) tiene un tipo de orden diferente a \( \mathbb{R}_+ \) (reflexionar un poco, fijarse si hay elementos que tengan sucesores inmediatos, dibujar o esquematizar alguna cosa).

\(  \bullet \) Elementos máximos, mínimos, cotas superiores e inferiores (detalles en el desplegable):
Spoiler

Sea \( A \) un conjunto con un orden lineal estricto \( < \).
Sea \( A_0 \) un subconjunto de \( A \).

  • Un elemento \( b\in A \) es el máyor elemento de \( A_0 \) o el máximo de \( A_0 \), si

    • \( b\in A_0, \)
    • \( x\in A_0\Longrightarrow{x \leq b} \)

  • Un elemento \( a\in A \) es el menor elemento de \( A_0 \) o el mínimo de \( A_0 \), si

    • \( a\in A_0, \)
    • \( x\in A_0\Longrightarrow{a \leq x} \)

  • \( A_0 \) tiene cota superior o está acotado superiormente o está acotado por arriba, si existe \( b\in A \) tal que \( x\in A_0\Longrightarrow{x \leq b}. \)
    Al elemento \( b \) se le llama una cota superior de \( A_0 \).
  • \( A_0 \) tiene cota inferior o está acotado inferiormente o está acotado por debajo, si existe \( a\in A \) tal que \( x\in A_0\Longrightarrow{a \leq x}. \)
    Al elemento \( a \) se le llama una cota inferior de \( A_0 \).
  • Si el conjunto de todas las cotas superiores de \( A_0 \) tiene un mínimo elemento, se le llama mínima cota superior de \( A_0 \), o también supremo de \( A_0 \), y se lo denota \( \sup A_0. \)
  • Si el conjunto de todas las cotas inferiores de \( A_0 \) tiene un máximo elemento, se le llama máxima cota superior de \( A_0 \), o también ínfimo de \( A_0 \), y se lo denota \( \inf A_0. \)

[cerrar]

\(  \bullet \) Un conjunto ordenado (lineal y estrictamente) \( A \) se dice que tiene la propiedad de la mínima cota superior si todo subconjunto no vacío \( A_0 \) de \( A \), acotado superiormente, tiene un supremo.
Un conjunto ordenado (lineal y estrictamente) \( A \) se dice que tiene la propiedad de la máxima cota inferior si todo subconjunto no vacío \( A_0 \) de \( A \), acotado inferiormente, tiene un ínfimo.

\(  \bullet \) Ejercicio. Estudiar casos y dar ejemplos de conjuntos con la propiedad de la mínima cota superior, subconjuntos que tengan supremo pero no máximo, etc. Por ejemplo, considerar \( A =(-1,1) \) con el orden heredado de \( \mathbb{R} \), y su subconjunto\(  \{-1/2n|n=1,2,3,\cdots\} \); y luego ver qué pasa en \( B=(-1,0)\cup(0,1) \).


Ejercicios Sección 3

  • Ejercicio 3.1. Defina que dos puntos \( (x_0,y_0),(x_1,y_1) \) del plano \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) son equivalentes si \( y_0-x_0^2=y_1-x_1^2. \) Verifique que esto es una relación de equivalencia y describa las relaciones de equivalencia.
  • Ejercicio 3.2. Sea \( C \) una relación sobre un conjunto \( A \). Si \( A_0\subset A, \) defina la restricción de \( C \) a \( A_0 \) como la relación \( C\cap(A_0\times A_0) \).
    Muestre que la restricción de una relación de equivalencia es también una relación de equivalencia.
  • Ejercicio 3.3. A continuación damos una prueba falsa de que toda relación \( C \) que es simétrica y transitiva es también reflexiva:

    "Como \( C \) es simétrica, \( aCb\Longrightarrow bCa \). Como \( C \) es transitiva, \( aCb \) y \( bCa \) juntas implican \( aCa \)."

    Encuentre el error en ese argumento.

  • Ejercicio 3.4. Sea \( f:A\to B \) una función suryectiva. Definamos una relación \( \sim \) en \( A \) diciendo que \( a_0\sim a_1 \) si \( f(a_0)=f(a_1) \):

    • (a) Muestre que esta es una relación de equivalencia.
    • (b) Sea \( A^* \) el conjunto de las clases de equivalencia. Muestre que hay una función biyectiva entre \( A^* \) y \( B \).

  • Ejercicio 3.5. Sean \( S \) y \( S' \) los siguientes subconjuntos del plano \( \mathbb R\times\mathbb R \):

    \( S=\{(x,y)|y=x+1 \textsf{\ y \ }0<x<2\}, \)
    \( S'=\{(x,y)|y-x\textsf{\ es entero}.\} \)

    • (a) Muestre que \( S' \) es una relación de equivalencia sobre la recta real y que \( S'\supset S \). Describa las clases de equivalencia de \( S \).
    • (b) Muestre que dada cualquier colección de relaciones de equivalencia sobre un conjunto \( A \) su intersección sigue siendo una relación de equivalencia sobre \( A \).
    • (c) Describa la relación de equivalencia \( T \) sobre la recta real que es la intersección de todas las relaciones de equivalencia sobre la recta real que contienen a \( S \). Describa las clases de equivalencia de \( T \).

  • Ejercicio 3.6. Defina una relación sobre el plano diciendo que \( (x_0,y_0)< (x_1,y_1) \) si \( y_0-x_0^2< y_1-x_1^2 \) ó \( y_0-x_0^2= y_1-x_1^2 \) y \( x_0< x_1 \).
    Muestre que ésta es una relación de orden (estricto y lineal) sobre el plano y descríbala geométricamente.
  • Ejercicio 3.7. Muestre que la restricción de una relación de orden (estricto y lineal) es una relación de orden (estricto y lineal).
  • Ejercicio 3.8. Verifique que la relación \( C \) en la recta real, definida por \( xCy \) si \( x^2< y^2 \) o si \( x^2=y^2 \) y \( x< y \), es una relación de orden (estricto y lineal).
  • Ejercicio 3.9. Verifique que el orden de diccionario es una relación de orden (estricto y lineal).
  • Ejercicio 3.10.

    • (a) Muestre que la función \( f:(-1,1)\to\mathbb{R} \),

      \( f(x)=\dfrac{x}{1-x^2} \)

      preserva el orden.

    • (b) Muestre que la ecuación

      \( g(y)=\dfrac{2y}{1+(1+4y^2)^{1/2}} \)

      define una función \( g:\mathbb{R}\to(-1,1) \) que es inversa izquierda y derecha de \( f \).


  • Ejercicio 3.11. Muestre que un elemento en un conjunto (estrica y linealmente) ordenado tiene a lo sumo un sucesor inmediato, y a lo sumo un predecesor inmediato.
    Muestre que un subconjunto de un conjunto (estricta y linealmente) ordenado tiene a lo sumo un elemento mínimo y a lo sumo un elemento máximo.
  • Ejercicio 3.12. Sea \( \mathbb{Z}_+ \) el conjunto de enteros positivos. Considere las siguientes relaciones de orden sobre \( \mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+ \):

    • (i) El orden de diccionario.
    • (ii) \( (x_0,y_0)<(x_1,y_1) \) si \( x_0-y_0<x_1-y_1, \) ó \( x_0-y_0=x_1-y_1 \) y \( y_0<y_1 \)
    .
    • (iii) \( (x_0,y_0)<(x_1,y_1) \) si \( x_0+y_0<x_1+y_1, \) ó \( x_0+y_0=x_1+y_1 \) y \( y_0<y_1 \).

    En estas relaciones de orden, ¿cuáles elementos tienen predecesores inmediatos?
    ¿Tiene el conjunto un elemento mínimo?
    Muestre que los trestipos de orden son diferentes.

  • Ejercicio 3.13. Pruebe lo siguiente:

    • Teorema. Si un conjunto (estrica y linealmente) ordenado tiene la propiedad de la mínima cota superior, entonces tiene la propiedad de la máxima cota inferior.

  • Ejercicio 3.14. Si \( C \) es una relación de orden (estricto y lineal) sobre un conjunto \( A \), defina una nueva relación \( D \) sobre \( A \) por medio de la condición: \( (b,a)\in D\Longleftrightarrow{(a,b)}\in C \).

    • (a) Muestre que \( C \) es simétrica si, y sólo si, \( C=D \).
    • (b) Muestre que si \( C \) es una relación de orden (estricto y lineal) entonces \( D \) también es una relación de orden (estricto y lineal).
    • (c) Pruebe que recíproca del Teorema del Ejercicio 13.

  • Ejercicio 3.15. Asuma que la recta real tiene la propiedad de la mínima cota superior.

    • (a) Muestre que los siguientes conjuntos tienen la propiedad de la mínima cota superior:

      \( [0,1]=\{x|0 \leq x \leq 1\}, \)
      \( [0,1)=\{x|0 \leq x < 1\}. \)

    • ¿Tiene \( [0,1]\times[0,1] \) en el orden de diccionario la propiedad de la mínima cota superior? ¿Qué ocurre con \( [0,1]\times[0,1) \)? ¿Qué ocurre con \( [0,1)\times[0,1] \)?


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24 Julio, 2011, 09:58 pm
Respuesta #9

argentinator

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Sección 4. Los Números Reales y los Enteros.

\(  \bullet \) Operación binaria. Una operación binaria sobre un conjunto \( A \) es una función \( f:A\times A\to A \).

Para las operaciones binarias suelen usarse símbolos como \( +,\cdot,\circ,* \), etc., y en vez de la notación \( *(a,b) \) de función, se usa esta otra: \( a*b \), por ejemplo.

A partir de los Axiomas de la teoría de conjuntos es posible construir un conjunto que tenga las propiedades conocidas de los números reales.
Detalles de esto en el siguiente thread:

Construcción de los Sistemas Numéricos

Nosotros asumiremos que existe ya un sistema que satisface los Axiomas de los números reales, por ejemplo, y consideraremos a los números naturales, enteros y racionales desde el punto de visto de que son subsistemas de los reales.
Ver desplegable:

Spoiler
Más exactamente, asumimos que existen un conjunto \( \mathbb{R} \), llamado de números reales, dos operaciones binarias \( +,\cdot, \) sobre \( \mathbb{R} \), llamadas adición y multiplicación, y una relación de orden \( < \) sobre \( \mathbb{R} \), tales que para cualesquiera \( x,y,z\in\mathbb{R} \), las siguientes propiedades valen:

  • (1) \( (x+y)+z=x+(y+z),\qquad (x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z). \)
  • (2) \( x+y=y+x,\qquad x\cdot y=y\cdot x. \)
  • (3) Existe un único elemento de \( \mathbb{R} \), llamado cero, y denotado \( 0 \), tal que \( x+0=x \) (es el mismo para todo \( x \)).
    Existe un único elemento de \( \mathbb{R} \), llamado uno, y denotado \( 1 \), tal que \( x\cdot1=x \) (es el mismo para todo \( x \)).
  • (4) Para cada \( x\in\mathbb{R} \) existe un único \( y\in\mathbb{R} \) tal que \( x+y=0 \), se llama el negativo de \( x \), y se denota \( -x \).
    Para cada \( x\in\mathbb{R},x\neq0, \) existe un único \( y\in\mathbb{R} \) tal que \( x\cdot y=1 \), se llama el recíproco de \( x \), y se denota \( x^{-1} \).
  • (5) \( x\cdot(y+z)=x\cdot y+ x\cdot z \)
  • (6) \( x>y\Longrightarrow{x+z>y+z}. \)
    \( x>y,z>0\Longrightarrow{x\cdot z> y\cdot z} \)
  • (7) La relación de orden (estrico y lineal) \( < \) tiene la propiedad de la mínima cota superior.
  • (8) Si \( x<y \), existe algún elemento \(  z \) tal que \( x<z<y \).

Se define la resta como \( x-y=x+(-y) \).
Se define la división como \( x/y=x\cdot y^{-1} \).

Un número \( x \) se dice positivo si \(  x>0 \).
Un número \( x \) se dice negativo si \(  x<0 \).
El conjunto de números reales positivos lo denotaremos \( \mathbb R_+ \).
El conjunto de números reales no negativos lo denotaremos \( \mathbb{\bar R}_+ \).

En general, un sistema que satisface las propiedades (1) a (5) se llama cuerpo o campo. Si se agrega la propiedad (6) se llama cuerpo/campo ordenado.

Cualquier conjunto con una relación de orden (lineal y estricto) que cumple (7) y (8) suele llamarse un continuo lineal.

\(  \bullet \) El producto \( x \cdot y \) se anota en forma más breve como \( xy \).

[cerrar]

Vamos a definir el conjunto de enteros positivos como un subconjunto de \( \mathbb R \). Para ello, usaremos la clásica intersección de conjuntos inductivos:

\(  \bullet \) Conjuntos inductivos. Sea \( A\subset\mathbb R \). Se dice que \( A \) es un conjunto inductivo si para todo \( x\in A \), también \( x+1\in A \).

Observemos que hay al menos un conjunto inductivo, por ejemplo, el mismo conjunto total \( \mathbb R \).

\(  \bullet \) Ejercicio. Demostrar que la intersección de una familia no vacía de conjuntos inductivos vuelve a dar un conjunto inductivo.

\(  \bullet \) Enteros positivos. Sea \( \mathcal A \) la colección de todos los conjuntos inductivos de \( \mathbb R \) que contienen al elemento \( 1 \). Se define al conjunto de enteros positivos como el conjunto resultado de la siguiente intersecciòn:

\( \displaystyle \mathbb Z_+=\bigcap_{A\in \mathcal A}A. \)

Más detalles abriendo el desplegable:

Enteros positivos, Enteros, Racionales

Las propiedades básicas de \( \mathbb Z_+ \) son:

  • (1) \( 1\in \mathbb Z_+ \)
  • (2) \( \mathbb Z_+ \) es inductivo.
  • (3) Principio de inducción: Si \( Z_0\subset \mathbb Z_+ \) es un conjunto inductivo y si \( 1\in Z_0 \), entonces \( Z_0=\mathbb Z_+ \).

\(  \bullet \) El conjunto \( \mathbb Z \) de números enteros se define como el conjunto que contiene a los enteros positivos, el \( 0 \) y a los negativos de cada elemento de \( \mathbb Z_+ \).

\(  \bullet \) El conjunto \( \mathbb Q \) de números racionales se define como el conjunto de todos aquellos números que se obtienen como cociente \( p/q \), donde \(  p,q \) son enteros y \(  q\neq 0 \).

\(  \bullet \) Dado un entero \( n \), no hay números enteros entre \( n \) y \( n+1 \).
En cambio, entre cualesquiera dos números racionales \( x,y \), \( x<y \), hay siempre algún otro número racional \( z \), tal que \( x<z<y \).

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\(  \bullet \) Teorema 4.1 (Propiedad de Buena Ordenación). Todo subconjunto no vacío de \( \mathbb Z_+ \) tiene un elemento mínimo.

La demostración la dejamos como ejercicio.
Lleva trabajo, pero no es difícil.


\(  \bullet \) Propiedad Arquimediana. El conjunto \( \mathbb Z_+ \) de enteros positivos no está acotado superiormente en la recta real.

La demostración la dejamos como ejercicio. Es por reducciòn al absurdo.

Una manera más tradicional de enunciar la propiedad arquimediana sería:

\(  \bullet \) Dados \( x,y\in\mathbb R, x>0 \), existe algún \( n\in\mathbb Z_+ \) tal que \( x\cdot n>y \).

Ejercicios de la Sección 4

  • Ejercicio 4.1  :-X
  • Ejercicio 4.2  :-X
  • Ejercicio 4.3

    • (a) Muestre que si \( \mathcal A \) es una colección de conjuntos inductivos, entonces la intersección de los elementos de \( \mathcal A \) es un conjunto inductivo.
    • (b) Demuestre las propiedades básicas (1) y (2) de \( \mathbb Z_+ \).

  • Ejercicio 4.4

    • (a) Probar por inducción que dado \( n\in\mathbb{Z}_+ \) todo subconjunto de \( \{1,\cdots,n\} \) tiene un elemento máximo.
    • (b) Explique por qué usted no puede concluir a partir de (a) que todo subconjunto de \( \mathbb{Z}_+ \) tiene un elemento máximo.

  • Ejercicio 4.5 Pruebe las siguientes propiedades de \( \mathbb{Z} \) y \( \mathbb{Z}_+ \):

    • (a) \( a,b\in\mathbb{Z}_+\Longrightarrow{a+b\in\mathbb{Z}_+} \) (Sugerencia: Muestre que, dado \( a\in \mathbb{Z}_+ \), el conjunto \( \{x\in\mathbb{R}|a+x\in \mathbb{Z}_+\} \)) es inductivo.
    • (b) \( a,b\in\mathbb{Z}_+\Longrightarrow{a\cdot b\in \mathbb{Z}_+} \).
    • (c) Muestre que \( a\in\mathbb{Z}_+\Longrightarrow{a-1\in \mathbb{Z}_+\cup\{0\}} \) (Sugerencia: muestre que \( \{x\in\mathbb{R}|x-1\in\mathbb{Z}_+\cup\{0\}\} \)) es inductivo.
    • (d) \( c,d\in \mathbb{Z}\Longrightarrow{c+d\in\mathbb{Z}},c-d\in \mathbb{Z} \).
    • (e) \( c,d\in \mathbb{Z}\Longrightarrow{c\cdot d\in\mathbb{Z}} \).

  • Ejercicio 4.6 Fórmulas de los exponentes. Sea \( a\in\mathbb{R} \). Definir inductivamente:

    \( a^1=a,\qquad a^{n+1}=a^n\cdot a,\qquad\textsf{para\ }n\in\mathbb{Z}_+. \)

    Muestre que para \( n,m\in\mathbb{Z}_+ \) y \( a,b\in\mathbb{R} \):

    \( a^na^m=a^{n+m},\qquad (a^n)^m=a^{nm},\qquad (ab)^n=a^nb^n. \)

  • Ejercicio 4.7 Sea \( a\in\mathbb{R},a\neq 0 \). Defina \( a^0=1 \) y \( a^{-n}=(a^n)^{-1},n\in\mathbb{Z}_+ \). Muestre que las leyes de los exponentes aún valen para \( a,b\neq 0 \), y \( n,n\in\mathbb{Z} \).
  • Ejercicio 4.8

    • (a) Muestre que \( \mathbb{R} \) tiene lapropiedad de la máxima cota inferior.
    • (b) Muestre que \( \inf\{1/n|n\in \mathbb{Z}_+=0\} \).
    • (c) Muestre que dado \( a, \) con \( 0<a<1 \), \( \inf\{a^n|n\in\mathbb{Z}_+\}=0. \)
      (Sugerencia: Hacer \( h=(1-a)/a \) y mostrar que \( (1+h)^n \geq 1+nh. \))

  • Ejercicio 4.9
    • (a) Muestre que todo subconjunto no vacío de \( \mathbb{Z} \) que está acotado, tiene un elemento máximo.
    • (b) Muestre que si \( x\not\in\mathbb{Z} \), existe un único \( n\in\mathbb{Z} \) tal que \( n<x<n+1 \).
    • (c) Si \( x-y>1 \), muestre que existe al menos un \( n\in\mathbb{Z} \) tal que \( y<n<x \).
    • (d) Si \( y<x \), muestre que hay al menos un racional \( z \) tal que \( y<z<x \).

  • Ejercicio 4.10 Muestre que todo número positivo \( a \) tiene una raíz cuadrada, siguiendo los siguientes pasos:

    • (a) Muestre que si \( x >0 \) y \( 0 \leq h<1 \), entonces:

      \( (x+h)^2 \leq x^2+h(2x+1). \)
      \( (x-h)^2 \geq x^2-h(2x). \)

    • (b) Sea \( x>0 \). Muestre que si \( x^2<a \), entonces \( (x+h)^2<a \) para algún \( h>0 \); y
      si \( x^2>a \), entonces \( (x-h)^2>a \), para algún \( h>0. \)

    • (c) Dado \( a>0 \), sea \( B \) el conjunto de todos los número reales \( x \) tales que \( x^2<a \).
      Muestre que \( B \) es acotado por arriba y que tiene al menos un número positivo.
      Sea \( b=\sup B \). Muestre que \( b^2=a \).

    • (d) Muestre que si \( b \) y \( c \) son positivos, y si \( b^2=c^2 \), entonces \( b=c \).

  • Ejercicio 4.11 Dado \( m\in\mathbb{Z} \), diremos que \( m \) es par si \( m/2\in\mathbb{Z} \), y diremos que es impar en caso contrario.

    • (a) Muestre que si \( m \) es impar, entonces \( m=2n+1 \) para algún \( n\in\mathbb{Z} \).
      Pista: Elegir \( n \) tal que \( n<m/2<n+1 \).
    • (b) Muestre que si \( p,q \), son impares, entonces también lo son \( p\cdot q \) y \( p^n \), cualquier \( n\in\mathbb{Z}_+ \).
    • (c) Muestre que si \( a>0 \) es racional, entonces \( a=m/n \) para ciertos \( m,n\in\mathbb{Z} \), y de tal manera que \( m,n \) no son ambos pares al mismo tiempo.
      Sugerencia: Tener en cuenta el número \( n=\min\{x|x\in\mathbb{Z}_+,x\cdot a\in\mathbb{Z}_+\}. \)
    • (d) El número \( \sqrt{2} \) es irracional (usar los ítems precedentes para ir armando el razonamiento).


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