Autor Tema: Dictado del Curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013

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24 Julio, 2011, 09:58 pm
Respuesta #10

argentinator

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Sección 5. Productos Cartesianos Generalizados.


\(  \bullet \) Con \( \{1,\cdots,n\} \) se denotará al conjunto de enteros positivos \( x \) tales que \(  1\leq x \leq n \).

\(  \bullet \) Dado un conjunto \( X \) decimos que una \( m \)-upla de elementos de \( X \) es una función \( \mathbf x:\{1,\cdots,n\}\to X \).
En esta situación, en vez de escribir \( \mathbf x(i) \), se suele usar la notación \( x_i \), y la función se describe completamente así: \( (x_1,\cdots,x_m) \).

Se denota \( X^m \) al conjunto de todas las \( m \)-uplas de elementos de \( X \).

\(  \bullet \) Producto cartesiano de \( m \) conjuntos. Sea \( \{A_1,\cdots,A_m\} \) una colección de conjuntos. Sea \( X=A_1\cup\cdots \cup A_m \). El producto cartesiano de esta colección indexada de conjuntos se denota por \( \prod_{i=1}^m A_i \) ó bien por \( A_1\times \cdots \times A_m \), y está definida como el conjunto de todas las \( m \)-uplas de elementos de \( X \) tales que para todo \( i=1,\cdots,n \): \( x_i\in A_i \).

Ahora tenemos dos definiciones para el producto cartesiano de 2 conjuntos: \( A\times B \). Si se las mira de cerca, se ve que son muy parecidas.
Podemos pasar de la una a la otra mediante una biyección muy obvia.
En general, vamos a tratar de pensar todo producto cartesiano de la forma en que recién hemos definido. Así, cuando hay 2 factores, pensaremos en colecciones de \( 2 \)-uplas.


En general, el producto cartesiano no es ni asociativo ni conmutativo, como es  fácil verificar con algún ejemplo.
Sin embargo, mediante biyecciones triviales uno puede identificar, por ejemplo, \( (A\times B)\times C \) con \( A\times (B\times C) \), y del mismo modo identificaríamos, biyección mediante, a \( A\times B \) con \( B\times A \).

Sin embargo, en general trataremos de no hacer este tipo de operaciones "arriesgadas" con los productos cartesianos, y nos atendremos a la precisión de cada caso particular.


\(  \bullet \) Se puede generalizar lo anterior a sucesiones.

  • Sea \( X \) un conjunto. Un \( \omega \)-tuple de elementos de \( X \) es una función \( \mathbf x:\mathbb Z_+\to X \).
    Una tal función se llama también sucesión (infinita).
  • Si \( \mathbf x \) es un \( \omega \)-tuple, en vez de \( \mathbf x(i) \) se suele denotar \( x_i \), y a \( \mathbf x \) mismo en la forma \( (x_1,x_2,\cdots) \), o bien \( (x_n)_{n\in \mathbb Z_+} \).
  • Se denota \( X^\omega \) al conjunto de todos los \( \omega \)-tuples de elementos de \( X \).
  • Si \( (A_n)_{n\in \mathbb Z_+} \) es una colección de conjuntos indexada con enteros positivos, y \( X=\bigcup_{n\in \mathbb Z_+}A_n \), se denota su producto cartesiano por \( \prod_{n\in\mathbb Z_+}A_n \) o bien \( A_1\times A_2\times\cdots \), y se define como el conjunto de todos los \( \omega \)-tuples \( (x_1,x_2,\cdots) \) de elementos de \( X \) tales que para cada \( n \): \( x_n\in A_n \)

\(  \bullet \) Ejemplo. \( \mathbb R^m \) es el espacio euclidiano \( m \)-dimensional, y \( \mathbb R^\omega \) es el espacio euclidiano infinito-dimensional.

Ahora pasamos a mayores generalizaciones.

\(  \bullet \) Sea \( \mathcal A \) una colección de conjuntos. Una función de indexación para \( \mathcal A \) es una función suryectiva de algún conjunto \( J \), llamado el conjunto de índices, hacia \( \mathcal A \). La colección \( \mathcal A \) junto con la función de indexación \( f \), se llama una familia indizada de conjuntos.
En vez de escribir \( f(\alpha) \) para \( \alpha\in J \), usaremos la notación \( A_\alpha \), y la familia indexada de conjuntos se describirá simplemente así: \( \{A_\alpha\}_{\alpha\in J} \).

La suryectividad se pide simplemente para que no queden "elementos sueltos" en \( \mathcal A \).  Justamente, lo que se busca es dar una descripción que tenga en cuenta todos los elementos de la colección \( \mathcal A \).

No se pide inyectividad, así que puede haber dos índices distintos a los que les correspondan conjuntos repetidos de la colección.


\(  \bullet \) Uniones e intersecciones arbitrarias. Sea \( \{A_\alpha\}_{\alpha\in J} \) una familia indexada de conjuntos. Se definen:

\( \displaystyle \bigcup_{\alpha\in J}A_J=\{x|\exists{\alpha\in J}:(x\in A_\alpha)\} \)
\( \displaystyle \bigcap_{\alpha\in J}A_J=\{x| \forall{}{\alpha\in J}:(x\in A_\alpha)\} \)

\(  \bullet \) Sea \( J \) un conjunto de índices. Dado un conjunto \( X \), se define una \( J \)-upla de elementos de \( X \) a toda función \( \mathbf x:J\to X \). Si \( \alpha\in J \), en vez de escribir \( \mathbf x(\alpha) \), preferiremos la notación \( x_\alpha \), y a \( \mathbf x \) mismo lo anotaremos en la forma \( (x_\alpha)_{\alpha\in J} \).

\(  \bullet \) Al conjunto de todas las \( J \)-uplas de \( X \) lo denotamos \( X^J \). Es el conjunto de todas las funciones de \( J \) en \( X \).

\(  \bullet \) Producto cartesiano generalizado. Sea \( \{A_\alpha\}_{\alpha\in J} \) una familia indizada de conjuntos; sea \( X=\bigcup_{\alpha\in J}A_\alpha \). El producto cartesiano de \( \{A_\alpha\}_{\alpha\in J} \), denotado por \( \prod_{\alpha\in J}A_\alpha \), es el conjunto de todas las \( J \)-tuplas \( (x_\alpha)_{\alpha\in J} \) de elementos de \( X \), tales que para cada \( \alpha\in J \): \( x_\alpha\in A_\alpha \).

Si todos los factores \( A_\alpha \) son iguales a un conjunto \( X \), el producto cartesiano coincide con \( X^J \).

Ejercicios Sección 5

  • Ejercicio 5.1. Muestre que hay una correspondencia biyectiva de \( A\times B \) con \( B\times A \).
  • Ejercicio 5.2.

    • (a) Muestre que si \( n>1 \), hay una correspondiencia biyectiva de \( A_1\times A_2\times\cdots \times A_n \) con \( (A_1\times\cdots\times A_{n-1})\times A_n \).
    • (b) Sea \( J \) un conjunto de índices; escriba \( J=K\cup L \), donde \( K,L \) son disjuntos y no vacíos.
      Muestre que hay una correspondencia biyectiva de

      \( \displaystyle\prod_{\alpha\in J}A_\alpha \) con \( \displaystyle\big(\prod_{\alpha\in K}A_\alpha\big)\times\big(\prod_{\alpha\in L}A_\alpha\big). \)


  • Ejercicio 5.3. Sea \( J \) un conjunto no vacío de índices. Considere dos familias indizadas \( \{A_\alpha\}_{\alpha\in J},\{B_\alpha\}_{\alpha\in J} \). Demuestre:

    • (a) Si \( A'_\alpha\subset A_\alpha \), todo \( \alpha\in J \), entonces \( \prod_{\alpha\in J}A'_\alpha\subset\prod_{\alpha\in J}A_\alpha. \)
    • (b) La recíproca de (a) vale si \( \prod_{\alpha\in J}A'_\alpha \) es no vacío.
    • (c) \( (\prod_{\alpha\in J}A_\alpha)\cap(\prod_{\alpha\in J}B_\alpha)=\prod_{\alpha\in J}(A_\alpha\cap B_\alpha). \)
    • (d) \( (\prod_{\alpha\in J}A_\alpha)\cup(\prod_{\alpha\in J}B_\alpha)\subset\prod_{\alpha\in J}(A_\alpha\cup B_\alpha). \)
    • (e) Si al menos uno de los \( A_\alpha=\emptyset \), entonces \( \prod_{\alpha\in J}A_\alpha=\emptyset \).
      Si cada uno de los \( A_\alpha \) es no vacío. ¿Puede usted asegurar que \( \prod_{\alpha\in J}A_\alpha \) es no vacío?
      (Si está confundido, espere a llegar a la Sección 9).


  • Ejercicio 5.4. Sean \( m,n\in \mathbb Z_+ \). Sea \( X\neq\emptyset. \)

    • (a) Si \( m \leq n \) halle una función inyectiva \( f:X^m\to X^n \).
    • (b) Halle una función biyectiva \(  g:X^m\times X^n\to X^{m+n} \).
    • (c) Halle una función inyectiva \(  h:X^n\to X^\omega \).
    • (d) Halle una función biyectiva \(  k:X^m\times X^\omega\to X^{\omega} \).
    • (e) Halle una función biyectiva \(  l:X^\omega\times X^\omega\to X^{\omega} \).
    • (f) Si \( A\subset B \) halle una función inyectiva \( m:X^A\to X^B \).

  • Ejercicio 5.5. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de \( R^\omega \) pueden expresarse como el producto cartesiano de subconjuntos de \( \mathbb R \)?

    • (a) \( \{\mathbf x| x_i\textsf{\ es entero para todo\ }i\}. \)
    • (b) \( \{\mathbf x| x_i \geq i\textsf{\ para todo\ }i\}. \)
    • (c) \( \{\mathbf x| x_i\textsf{\ es un entero para todo\ }i \geq 100\}. \)
    • (d) \( \{\mathbf x| x_2=x_3\}. \)


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24 Julio, 2011, 09:59 pm
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Sección 6. Conjuntos Finitos.

Hay al menos un par de alternativas a la hora de definir las nociones de conjunto finito e infinito.
Sin entrar en demasiada polémica, vamos a usar de aquí en adelante las definiciones tal como aparecen en el texto de Munkres, y quizá en algún momento discutamos alguna alternativa.


\(  \bullet \) Definición. Sección inicial de enteros positivos. Se denomina sección o sección inicial de enteros positivos a todo conjunto de enteros positivos \( S_n \), para algún \( n \) entero positivo, donde:

\( S_n=\{1,2,\cdots,n\}. \)

\(  \bullet \) Un conjunto \( A \) se dice finito si, o bien es vacío, o bien existe una función biyectiva \( f:A\to\{1,\cdots,n\} \) para algún entero positivo \( n \). En el primer caso, se dice que \( A \) tiene cardinal \( 0 \), y en el último caso se dice que \( A \) tiene cardinal \( n \).

En particular, el conjunto \( \{1,\cdots,n\} \) es un ejemplo trivial de cardinalidad \( n \), por ser biyectivo consigo mismo, que es la sección \( S_n \).

Por ser demasiado obvio a nuestra experiencia cotidiana, se nos ha pasado por alto quizá un tecnicismo matemático importante.
Hemos dado por obvio que dos conjuntos finitos que tienen cardinales distintos, tienen en verdad distinta "cantidad" de elementos, sin precisar demasiado bien lo que esto significa.
Y también hemos dejado entrever que si dos conjuntos finitos no son biyectivos entre sí, entonces sus cardinales son distintos.
¿Pero es esto cierto?


Digamos que dos conjuntos finitos tienen el mismo cardinal si son biyectivos entre sí, o sea, si hay una biyección entre ambos. Esta misma definición se usa también para el caso de conjuntos que no son finitos, pero lo veremos más adelante.
Munkres no define este término de equicardinalidad en esta sección, pero me parece apropiado hacerlo.


Aquellas cuestiones que nos parecen obvias sobre los números y los cardinales finitos, son susceptibles de ser demostradas matemáticamente, y en tal caso la prueba debe darse y estudiarse con seriedad.
Las pruebas en sí mismas ilustran sutilezas del trabajo matemático mismo, y es esa su importancia.


\(  \bullet \) Lema 1. Sea \( n \) un entero positivo. Sea \( A \) un conjunto; sea \( a_0\in A \). Entonces existe una biyección \( f \) de \( A \) con \( \{1,\cdots,n+1\} \) si, y sólo si, hay una biyección \( g \) del conjunto \( A-\{a_0\} \) con \( \{1,\cdots,n\} \).

La demostración queda como ejercicio, como es costumbre en estas proposiciones de fácil deducción.
Aunque no duden en preguntar si no sale, o no se entiende.
Tan sólo recordar que como es una demostración con "si, y sólo si", requiere de dos partes, una "de ida" y otra "de vuelta".
Primero se supone que efectivamente existe la biyección \( g \) y se procura construir la biyección \( f \).
Y luego se parte de suponer la existencia de \( f \) y se construye \( g \), reordenando los elementos si hiciera falta, o sea, "rebuscándosela" para que la construcción funcione.

\(  \bullet \) Teorema 2. Sea \( A \) un conjunto; suponer que existe una biyección \( f:A\to\{1,\cdots,n\} \) para algún \( n\in \mathbb Z_+ \). Sea \( B \subsetneqq A \). Entonces no existe biyección alguna \( g:B\to\{1,\cdots,n\} \); pero si \( B\neq\emptyset \), existe una biyección \( h:B\to\{1,\cdots,m\} \) para algún \( m<n \).

De nuevo, la demostración queda como ejercicio. Demos, sin embargo, algunas indicaciones de cómo proceder con la prueba. Se comienza estudiando el caso en que B es un conjunto vacío. Este caso es trivial, y es bueno descartarlo de entrada por ser diferente a los otros.
Luego se realiza una prueba por inducción en el número \( n \) del enunciado del Teorema (que corresponde al cardinal del conjunto de "llegada" de la biyección \( f \)).
Se forma la colección \( C \) de enteros positivos para los cuales el Teorema es cierto, y luego se procura demostrar que \( C \) es un conjunto inductivo. Es decir, que primero se debe demostrar que el Teorema es cierto cuando \( n=1 \). A continuación se supone que el Teorema es válido para un valor \( n \) genérico, y se procura demostrar que bajo ese supuesto, aún es cierto el Teorema para el valor \( n+1 \). En este paso inductivo se debe usar el Lema 1.
Se requiere un poco de reflexión y trabajo hasta que la prueba sale bien, pero tras unos minutos de atención, las cuentas salen sin dificultad.
En el texto de Munkres está completa, y si no, como siempre, pueden consultar si no sale o no se entiende.
Les recomiendo que presten mucha atención a los hechos que el Teorema exige demostrar, y que lo hagan con el detalle pertinente. Nada de dejar cabos sueltos. Es un ejercicio de exactitud, antes que todo, y por ello se requiere paciencia.

\(  \bullet \) Corolario 3. Si \( A \) es finito, no existe una biyección de \( A \) con un subconjunto propio de sí mismo.

La demostración es un sencillo ejercicio, que consiste en hacer una prueba por reducción al absurdo, y aplicando el Teorema 2. Es, de nuevo, más tecnicismo.

La moraleja de este último resultado es que todo conjunto que es biyectivo con una parte propia de sí mismo, no puede ser finito.

Por esta razón, Dedekind tomó el camino de usar estas propiedades como base para definir las nociones de conjunto finito e infinito.
Decimos que un conjunto \( A \) es Dedekind-finito si es vacío o no existe biyección con una parte propia de sí mismo.

El Corolario anterior nos estaría diciendo ahora que un conjunto es finito si, y sólo si, es Dedekind-finito.
O sea, ambas definiciones resultan lógicamente equivalentes.
¿Y entonces para qué preocuparse? ¿Por qué no dejar la definición más clara de finitud, que habla de tener un cardinal \( n \), y punto?
Bueno, la ventaja de la definición de Dedekind es que el concepto de finitud no está atado a la existencia de un sistema como el de los enteros positivos.


\(  \bullet \) Corolario 4. \( \mathbb{Z}_+ \) no es finito.

Esto se deduce del simple hecho de que existe una biyección de \( \mathbb{Z}_+ \) con un subconjunto propio, digamos \( \mathbb{Z}_+-\{1\} \). ¿Cuál sería? ;)

\(  \bullet \) Corolario 5. La cardinalidad de un conjunto finito \( A \) está unívocamente determinada por \( A \).

Esa manera tan pintoresca de enunciar un Corolario tan sólo significa que si \( A \) tiene asociado dos cardinales \( m,n, \) entonces en realidad son necesariamente el mismo, vale decir, \( m=n \).
La prueba se deja como ejercicio, y basta considerar por ejemplo el caso en que \( m<n \) y jugar con biyecciones, hasta obtener una contradicción con el Corolario 4.

\(  \bullet \) Corolario 6. Si  \( A \) es un conjunto finito, y si \( B\subset A \), entonces \( B \) es finito. Si \( B \subsetneqq A \), entonces la cardinalidad de \( B \) es menor que la cardinalidad de \( A \).

\(  \bullet \) Corolario 7. Sea \( B \) un conjunto no vacío. Entonces las siguientes aserciones son equivalentes:
  • (1) \( B \) es finito.
  • (2) Hay una función suryectiva de una sección de los enteros positivos sobre \( B \).
  • (3) Hay una función inyectiva de \( B \) en una sección de los enteros positivos.

Demostración

Cuando hay varias equivalencias, es práctico probarlas equivalencias "en círculo" para ahorrar trabajo.
Demostraremos que \( (1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(1) \).

\( (1)\Rightarrow(2): \) Por definición de conjunto finito, como \( B\neq\emptyset \), existe una biyección \( f:\{1,\cdots,n\}\to B \) para algún entero positivo \( n \). Esta biyección sirve como suryección, y la prueba termina aquí.

\( (2)\Rightarrow(3): \) Si \( f:\{1,\cdots,n\}\to B \) es suryectiva, definir \( g:B\to\{1,\cdots,n\} \) por medio de la ecuación:

\( g(b)=\textsf{el elemento mínimo de\ } f^{-1}(\{b\}). \)

Como \( f \) es suryectiva, el conjunto \( f^{-1}(\{b\}) \) es no vacío; entonces la propiedad de buena-ordenación de \( \mathbb{Z}_+ \) implica que \( g(b) \) está bien definida y en forma unívoca.
Probemos que \( g \) es inyectiva. Si \( b\neq b' \), entonces los conjuntos \( f^{-1}(\{b\}) \) y \( f^{-1}(\{b'\}) \) son disjuntos, luego sus elementos mínimos han de ser necesariamente diferentes entre sí.

\( (3)\Rightarrow(1): \) Si \( g:B\to\{1,\cdots,n\} \) es inyectiva, entonces cambiando el rango de \( g \) se obtiene una biyección de \( B \) con un subconjunto de \( \{1,\cdots,n\} \). Se sigue del Corolario 6 que \( B \) es finito.



La prueba del Lema anterior es un calco de la dada en Munkres, y no ví razón para cambiarla.
Sin embargo, es posible apuntar aquí una sutil observación en lo que respecta a la prueba de que \( (2)\Rightarrow(3) \).
Notemos cómo es que allí se pudo obtener una inyección a partir de una suryección, con una aplicación de la propiedad de buena ordenación de \( \mathbb{Z}_+ \).
¿Hubiera sido posible dar una demostración similar sin recurrir a una propiedad como esa?
¿Qué es lo que esto significa?
En subsecuentes secciones veremos que la buena ordenación es equivalente al axioma de elección, un principio matemático muy controvertido.
Pareciera que un Corolario tan sencillo como el que estamos analizando aquí no puede "cerrarse" sin apelar a hechos "fuertes" como la buena ordenación.
Y después de todo, ¿qué es lo que hace que la buena ordenación haga el trabajo aquí?
Lo que realmente hace falta en la prueba es una regla que permita definir la función \( g \), de forma concreta. Algún "algoritmo" o "ley" que determine, a fin de cuentas, una "función" \( g \) bien construida, y que unívocamente determine un "valor" \( g(x) \) para cada \( x \) del dominio.


Al trabajar con funciones "suryectivas" surge el inconveniente de que las preimágenes no son necesariamente "únicas". Así que, ¿con qué criterio elegir una preimagen concreta para formar una nueva función? Si uno tiene una forma de hacerlo, bienvenido sea. Pero no siempre será así, y en el contexto general de la teoría de conjuntos sólo se puede echar mano de principios generales, como la propiedad de buena ordenación y sus equivalentes.

[cerrar]

\(  \bullet \) Corolario 8. Uniones finitas y productos cartesianos finitos de conjuntos finitos, son de nuevo finitos.

Demostración

Dejamos los detalles como ejercicio, pero demos el esquema de la prueba.

Primero se debe probar que, si \( A,B \), son dos conjuntos finitos, su unión \( A\cup B \) es finita.
El caso en que se tienen conjuntos vacíos es trivial, y pasamos rápidamente a suponer que ambos \( A,B \), son no vacíos.
Se obtienen biyecciones \( f:\{1,\cdots,n\}\to A \) y \( g:\{1,\cdots,m\}\to B \), para ciertos \( n,m\in\mathbb{Z}_+ \), y luego se aprovechan para construir una suryección \( h:\{1,\cdots,m+n\}\to A\cup B \). Se aplica el Corolario 7 para decir que \( A\cup B \) es finito.

Nótese que es muy natural obtener ahí una suryección antes que una biyección. ¿Por qué?

Ahora, para una unión \( A_1\cup A_2\cup\cdots \cup A_k \) se procede por inducción en el índice \( k \).

Si \( A,B \), son finitos, se analiza lo que ocurre con \( A\times B \). Para ello es posible aprovechar lo hecho para las uniones.
Tomamos primero un elemento individual \( a\in A \), y observamos que el producto \( \{a\}\times B \) es obviamente finito. ¿Por qué?.
Si ahora hacemos \( A\times B=\bigcup_{a\in A}\{a\}\times B \), hemos logrado escribir el producto \( A\times B \) como una unión finita de conjuntos finitos.
Por el párrafo precedente, esto es un conjunto finito.

Finalmente, para un producto finito \( A_1\times A_2\times\cdots\times A_k \) de conjuntos finitos, se procede por inducción en el índice \( k \).

[cerrar]



Ejercicios Sección 6

  • Ejercicio 6.1
    • (a) Hacer una lista de todas las funciones inyectivas \( f:\{1,2,3\}\to\{1,2,3,4\} \).
      Muestre que ninguna es biyectiva.
    • (b) ¿Cuántas funciones inyectivas \( f:\{1,\cdots,8\}\to\{1,\cdots,10\} \) hay?
  • Ejercicio 6.2 Muestre que si \( B \) no es finito y \( B\subset A \), entonces \( A \) no es finito.
  • Ejercicio 6.3 Sea \( X=\{0,1\} \). Halle una biyección entre \( X^\omega \) y un subconjunto propio de sí mismo.
  • Ejercicio 6.4 Sea \( A \) un conjunto finito no vacío simplemente ordenado (estrictamente).
    • (a) Muestre que \( A \) tiene un elemento máximo. (Ayuda: proceda por inducción en el cardinal de \( A \)).
    • (b) Muestre que \( A \) tiene el tipo de orden de una sección de los enteros positivos.
  • Ejercicio 6.5 Si \( A\times B \) es finito, ¿se deduce que \( A \) y \( B \) son también finitos?
  • Ejercicio 6.6
    • (a) Sea \( A=\{1,\cdots,n\} \). Mostrar que hay una biyección de \( \mathcal{P}(A) \) con el producto cartesiano \( X^n \), donde \( X \) es el conjunto \( X=\{0,1\} \).
    • (b) Muestre que si \( A \) es finito, entonces \( \mathcal{P}(A) \) es finito.
  • Ejercicio 6.7 Si \( A,B \) son finitos, mostrar que el conjunto de todas las funciones \( f:A\to B \) es finito.

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Sección 7. Conjuntos Numerables y No Numerables.

\(  \bullet \) Definición. Un conjunto \( A \) se dice infinito si no es finito. Se dice que es infinito enumerable si hay una función biyectiva \( f:A\to\mathbb{Z}_+ \).

\(  \bullet \) Ejemplo 1. El conjunto \( \mathbb{Z} \) de los enteros es infinito enumerable. ¿Qué biyección serviría para demostrarlo?

\(  \bullet \) Ejemplo 2. El conjunto \( \mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+ \) es infinito enumerable. Para probarlo, sea \( A=\{(x,y)\in\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+|x \leq y\} \), y defínanse las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\to A \), \( f(x,y)=(x+y-1,y) \), y \( g:A\to\mathbb{Z}_+ \), \( g(x,y)=\frac12(x-1)x+y \). Esas dos funciones son biyectivas (probarlo), y su composición es la biyección buscada.

\(  \bullet \) Un conjunto se dice contable o numerable o enumerable si es finito o bien infinito enumerable. Si un conjunto no es numerable, se dice no-numerable.

Munkres enuncia y demuestra aquí un Teorema que, a fin de cuentas, necesita de una propiedad de los números enteros positivos denominada Principio de Definición Recursiva.
Lo que haremos nosotros es enunciarlo antes del Teorema, para que la estructura de la Sección sea más idónea.
Dicho Principio se da sin demostración, pero puede probarse. La prueba se da en la Sección 8.
La manera en que se enuncia este Principio a continuación es algo informal.


\(  \bullet \) Principio de Definición Recursiva. Sea \( A \) un conjunto. Dada una fórmula que define \( h(1) \) como un elemento único de \( A \), y para \( i>1 \) define \( h(i) \) unívocamente como un elemento de \( A \) en términos de los valores de \( h \) para enteros positivos menores que \( i \), resulta que esta fórmula determina una única función \( h:\mathbb{Z}_+\to A \).

Este Principio permite utilizar ciertas fórmulas de recurrencia para definir algunas funciones cuyo dominio es \( \mathbb{Z}_+ \).
Cuando esto se lleva a cabo, suele decirse que se hace una definición por inducción o por recurrencia.
Sin un Principio de Definición por Recurrencia, las definiciones recursivas no podrían aceptarse.


\(  \bullet \) Teorema 1. Sea \( B\neq\emptyset \). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
  • (1) \( B \) es enumerable.
  • (2) Hay una función suryectiva \( f:\mathbb{Z}_+\to B \).
  • (3) Hay una función inyectiva \( g:B\to\mathbb{Z}_+ \).

Demostración

La demostración requiere seguir pasos similares al Corolario 7 de la Sección 6.
Sin embargo, en algunos casos conviene separar el análisis según que el conjunto \( B \) sea finito o no.

\( (1)\Rightarrow(2): \) El caso infinito es sencillo, y en el caso finito basta tomar una biyección entre alguna sección \( \{1,\cdots,n\} \) y \( B \) y "rellenarla" poniendo algún elemento arbitrario de \( B \) como valor de \( f(k) \) si  \( k > n \).

\( (2)\Rightarrow(3): \) Se repite lo hecho en la Sección 6.

\( (3)\Rightarrow(1): \) Dada la inyección \( g \), se puede reducir su codominio para obtener una biyección entre \( B \) y un subconjunto \( C \) de \( \mathbb{Z}_+ \).
Como todo subconjunto de \( \mathbb{Z}_+ \) es numerable (este hecho lo probaremos en el Lema 2), resulta que \( C \) es numerable.
Esto implica que \( B \) es numerable.

[cerrar]


\(  \bullet \) Lema 2. Si \( C \) es un subconjunto infinito de \( \mathbb{Z}_+ \), entonces \( C \) es infinito enumerable.

Demostración

Se debe definir una biyección \( h:\mathbb{Z}_+\to C \). El procedimiento es bastante típico, y se hace recursivamente.
Se pone \( h(1)=\textsf{minimo}(C) \), y asumiendo que los valores \( h(1),\cdots,h(n) \) han sido definidos, se estipula que \( h(n+1)=\textsf{minimo}(C-\{h(1),\cdots,h(n)\}) \).

Para que esta definición funcione, se requiere comprobar que es correcta, o sea, bien definida. Vale decir: el conjunto sobre el cual se está tomando el mínimo en cada paso debe ser no vacío.
Luego se debe comprobar que \( h \) es biyectiva, lo cual se hace chequeando por separado que es inyectiva y suryectiva.

Dejamos los detalles como ejercicio.

[cerrar]

\(  \bullet \) Corolario 3. Un subconjunto de un conjunto enumerable es enumerable.

La demostración queda como ejercicio.

\(  \bullet \) Corolario 4. El conjunto \( \mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+ \) es infinito numerable.

Demostración

Debido al Teorema 1, es suficiente construir una función inyectiva \( f:\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \). Definimos \( f \) como \( f(n,m)=2^n3^m \).

Es fácil verificar que \( f \) es inyectiva, y se deja como ejercicio (usar la paridad de las potencias de 2 y de 3).

[cerrar]

\(  \bullet \) Ejemplo. El conjunto \( \mathbb{Q}_+ \) de números racionales positivos es infinito enumerable. Se deja como ejercicio. Digamos al menos que se puede aprovechar la función suryectiva \( g:\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Q}_+ \) dada por \( g(n,m)=m/n \).

\(  \bullet \) Teorema 5. Una unión numerable de conjuntos numerables es numerable.

Demostración (se dan dos pruebas alternativas, y se discute el uso del Axioma de Elección)

Sea \( \{A_n\}_{n\in J} \) una familia de conjuntos numerables, donde el conjunto de índices \( J \) es \( \{1,\cdots,N\} \) o bien \( \mathbb{Z}_+ \).
Asumir que cada conjunto \( A_n\neq\emptyset \) (si se tuvieran en cuenta los conjuntos vacíos, no se agregaría elemento alguno a la unión total).
Como cada \( A_n \) es numerable, podemos elegir para cada \( n \) una función suryectiva \( f_n:\mathbb{Z}_+\to A_n \). Similarmente, podemos elegir una función suryectiva \( g:\mathbb{Z}_+\to J \).

Ahora definimos
\( \displaystyle h:\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\to\bigcup_{n\in J}A_n;\qquad\qquad h(k,m)=f_{g(k)}(m). \)

La función \( h \) es suryectiva (verificarlo).
Como hay una biyección entre \( \mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+ \) y \( \mathbb{Z}_+ \), la numerabilidad de la unión se sigue del Teorema 1.



En esta demostración se utiliza una "elección" bastante arriegada.
Es cierto que para cada \( n \) existe una suryección \( f_n:\mathbb{Z}_+\to A_n \), pero no sabemos cuántas hay, o claramente cuáles son todas, y así, "elegir" una de ellas sin una "regla concreta" es algo que no podría hacerse, eventualmente.
Para poder hacerlo se ha de recurrir al Axioma de Elección.
Por un lado, este axioma es controvertido, pero por otro lado, se usa muy comunmente en matemática, y más aún en topología. Así que nosotros lo utilizaremos sin mayores pruritos.

Sin embargo, tengo una objeción de usar el Axioma de Elección en este punto. ¿Por qué? Bueno, por la sencilla razón de que el texto de Munkres introduce y estudia el Axioma de Elección en secciones posteriores.
¿Sería posible evitar el uso del Axioma de Elección, al menos en este punto?
Mi opinión es que esto no se puede conseguir.

Sin embargo, planteo una prueba alternativa, que busca aislar mejor dónde está el inconveniente, o sea, el punto crucial donde el Axioma de Elección se hace claramente inevitable.
Eso es lo que haré en los párrafos que siguen en color azul.


Segunda demostración del mismo Teorema.
Ciertamente, si definimos \( B_n=\bigcup_{m \leq n} A_n \), es posible demostrar por inducción que cada conjunto \( B_n \) es numerable. Más aún, forman una familia creciente de conjuntos: \( B_1\subset B_2\subset \cdots \).

Puede que se tenga una lista finita de estos conjuntos \( B_1,\cdots, B_N \), o bien que a partir de cierto índice \( N \) todos los conjuntos sean iguales: \( B_N=B_{N+1}=\cdots \)
En cualquier caso, la unión de la familia \( \{A_n\}_{n\in J} \) es igual a \( B_N \), que resulta pues numerable.

Supongamos el caso restante, a saber, que \( B_n  \subsetneqq B_{n+1} \), todo \( n\in\mathbb{Z}_+ \).
Denotemos \( V=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}_+} B_n \).
Ciertamente \( V \) debe ser un conjunto infinito (por qué).
Esto implica que existe algún \( n\in\mathbb{Z}_+ \) tal que \( B_{n} \) es infinito (¿por qué?).
Por buena ordenación de \( \mathbb{Z}_+ \), hay un mínimo \( n_0\in\mathbb{Z}_+ \) con esta propiedad.
Vamos a suponer, para simplificar la exposición, que \( B_1 \) es ya infinito, o sea, \( n_0=1 \), ya que la unión total \( V \) tendrá, después de todo, a todos los elementos que estamos considerando, pues la unión es "creciente".
/color]

Ahora definimos una función \( \beta:V\to\mathbb{Z}_+ \) que indica el mínimo índice \( n \) al que pertenece cada \( x\in V \), así:

\( \beta:V\to\mathbb{Z},\qquad\beta(x)=\min\{n|x\in B_n\}. \)

Como cada \( B_n \) ahora es infinito numerable, para cada \( n \) existen funciones biyectivas de \( B_n \) en \( \mathbb{Z}_+ \) .
Denotemos \( \mathcal{F}_n \) a la familia de todas las funciones biyectivas \( f:B_n\to\mathbb{Z}_+ \).
Consideremos ahora una sucesión de funciones \( \sigma=\{f_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+} \) tal que \( f_n\in \mathcal{F}_n \).
Hemos "elegido" un elemento \( f_n \) para cada \( n \) del conjunto infinito \( \mathbb{Z}_+ \).
O sea, hemos hecho uso del Axioma de Elección, aunque notemos que la colección \( \{\mathcal{F}_n|n\in\mathbb{Z}_+\} \) es sólo infinita numerable, por lo tanto es suficiente una versión numerable del Axioma de Elección
.

Vamos a construir una función \( g_\sigma:V\to\mathbb{Z}_+ \) de la siguiente manera:
Para cada \( x\in V \), hacemos

\( g_\sigma(x)=f_{\beta(x)}(x). \)

Esta definición tiene pleno sentido, porque todo \( x\in V \) está presente en \( B_{\beta}(x) \), en cuyo caso \( x \) está en el dominio de \( f_{\beta(x)} \).
Ahora construyamos otra función \( h_\sigma:V\to\mathbb{Z}_+ \) de la siguiente manera:

\( h_\sigma(x)=2^{\beta(x)}3^{g_\sigma(x)}. \)

Probemos que cualquiera de estas funciones es inyectiva. Sean pues \( x,y\in V \), y supongamos que \( h_\sigma(x)=h_\sigma(y) \).
Obtenemos que \( 2^{\beta(x)}3^{g_\sigma(x)}=2^{\beta(y)}3^{g_\sigma(y)} \).
Como los números 2 y 3 son coprimos entre sí, resulta que \( 2^{\beta(x)}=2^{\beta(y)} \), y \( 3^{g_\sigma(x)}=3^{g_\sigma(y)} \).

De la igualdad \( 2^{\beta(x)}=2^{\beta(y)} \), inferimos que \( \beta(x)=\beta(y) \).
Esto significa que el mínimo índice \( n \) tal que \( x\in B_n \) es el mismo para el que \( y\in B_n \).
O sea, existe un \( n_0 \) tal que \( x,y\in B_{n_0} \), y además \( n<n_0 \) implica que \( x,y\not\in B_n \).
En particular, las funciones \( f_{\beta(x)} \) y \( f_{\beta(y)} \) son iguales, o sea, "son" la función \( f_{n_0} \), siendo iguales sus dominios al conjunto \( B_{n_0} \).

Ahora, de la igualdad \( 3^{g_\sigma(x)}=3^{g_\sigma(y)} \), inferimos que \( {g_\sigma(x)}={g_\sigma(y)} \).
Pero esto quiere decir, por definición de \( g_\sigma \), que \( f_{\beta(x)}(x)=f_{\beta(y)}(y) \).
Mas, dado que \( f_{\beta(x)}=f_{n_0}=f_{\beta(y)} \), tenemos que \( f_{n_0}(x)=f_{n_0}(y) \).
Como \( f_{n_0} \) es una función biyectiva, esto demuestra que \( x=y \).

Ahora bien. Hemos probado que existe una función inyectiva \( h_\sigma \) de \( V \) en \( \mathbb{Z}_+ \).
Esto implica por el Teorema 1 que \( V \) es un conjunto numerable.


[cerrar]

\(  \bullet \) Teorema 6. El producto finito de conjuntos numerables es numerable.

Demostración
Primero se prueba que el producto de dos conjuntos numerables \( A,B \) es numerable, y luego se procede por inducción en el número de factores.

Si alguno de los conjuntos \( A,B \) es vacío, todo es trivial, así que supongamos que son no vacíos.
Existen funciones suryectivas \( f:\mathbb{Z}_+\to A, g:\mathbb{Z}_+\to B \). Entonces la función \( h:\mathbb{Z}_+\times \mathbb{Z}_+\to A\times  B \), dada por \( h(n,m)=(f(n),g(m)) \) es suryectiva, y así \( A\times  B \) es numerable.

El caso general de \( n \) factores \( A_1\times \cdots\times A_n \) se demuestra por inducción en \( n \), y se deja como ejercicio.

[cerrar]



¿Es cierto que el producto cartesiano numerable de conjuntos numerables es también numerable? Respuesta: NO.

\(  \bullet  \) Teorema 7. Sea \( X=\{0,1\} \). Entonces \( X^\omega \) es un conjunto no-numerable.

Demostración
La prueba puede hacerse con el típico procedimiento diagonal de Cantor.
También puede usarse el hecho de que \( X^\omega  \) es biyectivo con \( \mathcal{P}(\mathbb{Z}_+) \), y aprovechar el conocido hecho de la teoría de conjuntos, que afirma que toda función de un conjunto \( Z \) en su conjunto de partes \( \mathcal{P}(Z) \) no puede ser jamás sobreyectiva.

En virtud del Teorema 1, parte (2), basta demostrar que toda función \( g:\mathbb{Z}_+\to X^\omega  \) no puede ser sobreyectiva.
Vamos a construir un elemento \( \mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots)\in X^\omega  \) que no pertenece a la imagen de \( g \).
Para cada \( n \), el valor de \( g(n) \) es una sucesión \( \mathbf{x}^n\in X^\omega  \), y podemos denotar a sus elementos como \( \mathbf{x}^n=(x^n_{1},x^n_2,\cdots) \).
Definimos finalmente \( y_n=1-x_^n_n \).

Dejamos como ejercicio comprobar que \( \mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots) \) no puede ser igual a \( g(n) \), cualquiera sea \( n\in\mathbb{Z}_+ \).

[cerrar]


\(  \bullet  \) Ejercicio. Demostrar que si \( B\neq\emptyset  \), y \( f:B\to C \) es inyectiva, entonces existe una función sobreyectiva \( g:C\to B \). ¿Cómo se construye \( g \)?

El siguiente Teorema da otro ejemplo de conjunto no-numerable, con \( A=\mathbb{Z}_+ \), por ejemplo.

\(  \bullet  \) Teorema 8. Sea \( A \) un conjunto. No existe aplicación inyectiva \( f:\mathcal{P}(A)\to A \), y tampoco existe aplicación sobreyectiva \( g:A\to \mathcal{P}(A) \).

Demostración

En virtud del Ejercicio precedente, basta probar que una aplicación \( g:A\to\mathcal{P}(A) \) no puede ser sobreyectiva.

Así que supongamos por el absurdo que sí existe una tal \( g \) sobreyectiva.

Notemos que las imágenes de la función \( g \) son subconjuntos de \( A \).
Si \( a\in A \), se tiene que, o bien \( a\in g(a) \), o bien \( a\not\in g(a) \).
Sea
\( B=\{a|a\in A-g(a)\}. \)

Se deja como ejercicio demostrar que \( B \) no está en la imagen de \( g \), o sea, no existe \( a_0\in A \) tal que \( f(a_0) \) es igual a \( B \).

(Si no sale, avisen, y completo con más detalles...)

[cerrar]

En un capítulo posterior se demostrará que \( \mathbb{R} \) es un conjunto no-numerable.
No se hace aquí, porque sólo hemos dado los axiomas de los números reales, y faltaría agregar una larga serie de construcciones para tener más claro cómo proceder.

Ejercicios Sección 7

  • Ejercicio 7.1 Demostrar que \( \mathbb{Q} \) es infinto numerable.
  • Ejercicio 7.2 Muestre que las funciones \( f,g \) de los Ejemplos 1 y 2 son biyecciones.
  • Ejercicio 7.3 Sea \( X=\{0,1\} \). Muestre que existe una biyección entre el conjunto \( \mathcal{P}(\mathbb{Z}_+) \) y el producto cartesiano \( X^\omega \).
  • Ejercicio 7.4
    • (a) Un número real \( x \) se dice algebraico (sobre los racionales) si satisface alguna ecuación polinomial de grado positivo.

      \( x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0 \)

      con coeficientes racionales \( a_i \).
      Asumiendo que cada ecuación polinomial tiene sólo un número finito de raíces, mostrar que el conjunto de números algebraicos es numerable.
    • (b) Un número real se dice trascendente si no es algebraico.
      Asumiendo que los números reales son no-numerables, mostrar que los números trascendentes son no-numerables.

  • Ejercicio 7.5 Determine, para cada uno de los siguientes conjuntos, si son o no numerables. Justifique sus respuestas:
    • (a) El conjunto \( A \) de todas las funciones \( f:\{0,1\}\to \mathbb{Z}_+ \).
    • (b) El conjunto \( B_n \) de todas las funciones \( f:\{1,\cdots,n\}\to\mathbb{Z}_+ \).
    • (c) El conjunto \( C=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+}B_n \).
    • (d) El conjunto \( D \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \).
    • (e) El conjunto \( E \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\{0,1\} \).
    • (f) El conjunto \( F \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to \{0,1\} \) que son eventualmente cero (esto significa que existe un entero positivo \( N \) tal que \( f(n)=0 \) para todo \( n \geq N \)).
    • (g) El conjunto \( G \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \) que son eventualmente \( 1 \).
    • (h) El conjunto \( H \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \) que son eventualmente constantes.
    • (i) El conjunto \( I \) de todos los subconjuntos de 2 elementos de \( \mathbb{Z}_+ \).
    • (j) El conjunto \( J \) de todos los subconjuntos finitos de \( \mathbb{Z}_+ \).

  • Ejercicio 7.6 Decimos que dos conjuntos \( A,B \) tienen la misma cardinalidad si hay una biyección de \( A \) con \( B \).
    • (a) Muestre que si \( B\subset A \) y si hay una inyección \( f:A\to B \), entonces \( A \) y \( B \) tienen la misma cardinalidad.
      Ayuda: Utilice una definición recursiva para construir conjuntos \( A_1=A,B_1=B \) y para \( n>1 \), \( A_n=f(A_{n-1}),B_n=f(B_{n-1}) \).
      Luego observe que \( A_1\supset B_1\supset A_2\supset B_2\supset A_3\supset\cdots \).
      Finalmente defina la biyección \( h:A\to B \) mediante:

      \( h(x)=\begin{cases}f(x),&x\in \bigcup_n (A_n-B_n),\\ x,&\textsf{en otro caso.}\end{cases} \)
    • (b) Teorema (de Schroeder-Bernstein). Si hay inyecciones \( f:A\to C \) y \( g:C\to A \), entonces \( A \) y \( C \) tienen la misma cardinalidad.

  • Ejercicio 7.7 Muestre que los conjuntos \( D,E \) del Ejercicio 5 tienen la misma cardinalidad.
  • Ejercicio 7.8 Denotemos \( X=\{0,1\} \); sea \( \mathcal{B} \) el conjunto de todos los subconjuntos numerables de \( X^\omega \). Muestre que \( X^\omega \) y \( \mathcal{B} \) tienen la misma cardinalidad.
  • Ejercicio 7.9
    • (a) La fórmula
      \( (*)\qquad h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad  n\geq2 \)

      no es una a la cual se aplica el principio de definición recursiva.
      Muestre que no existe una función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R} \) que satisface esta fórmula.
      Ayuda: Reformule \( (*) \) tal que el principio pueda aplicarse y requiera que \( h \) sea positiva.
    • (b) Muestre que la fórmula \( (*) \) de la parte (a) no determina \( h \) unívocamente.
      Ayuda: Si \( h \) es una función positivia que satisface \( (*) \), hacer \( f(i)=h(i) \) para \( i\neq3 \), y \( f(3)=-3 \).
    • Muestre que no hay una función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R} \) que satisface la fórmula

      \( h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad n \geq2. \)


[cerrar]

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24 Julio, 2011, 09:59 pm
Respuesta #13

argentinator

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Sección 8. El Principio de Definición Recursiva.


Esta sección es interesante, pero tiene resultados muy estandarizados de la teoría de conjuntos.
No quisiera perder tiempo con ellos, aún cuando a mí mismo me gustan muchísimo estos temas de las definiciones por recurrencia y cuestiones relacionadas.
No obstante, si cualquiera de ustedes desea más detalles, explicaciones, o quiere profundizar en todo esto, basta conque lo diga y nos sumergimos en el tema.


Sea \( C\subset  \mathbb{Z}_+ \) un conjunto infinito.
Nos preguntamos si es posible definir una función \( h:\mathbb{Z}_+\to C \) que satisfaga:

\(  (*)\qquad h(1)=\min(C),\qquad h(i)=\min(C-h(\{1,\cdots,i-1\})),\qquad i> 1. \)

Primero se estudian funciones definidas por secciones \( \{1,\cdots,n\} \), y luego se pasa al caso de todo \( \mathbb{Z}_+ \).

\(  \bullet  \) Lema 1. Dado \( n\in\mathbb{Z}_+ \), existe una función

\( f:\{1,\cdots,n\}\to C \)

que satisface \( (*) \) para todo \( i=1,\cdots,n \).

Demostración

Se deja como ejercicio.

Basta proceder por inducción en el número \( n \) de elementos del dominio de \( f \), y prestando atención a la forma de \( h \) en \( (*) \).

[cerrar]


\(  \bullet  \) Lema 2. Si \( f:\{1,\cdots,n\}\to C \) y \( g:\{1,\cdots,m\}\to C \) son funciones que verifican \( (*) \) en sus respectivos dominios, entonces \( f(i)=g(i) \), para todo \( i \) que esté en ambos dominios al mismo tiempo.

Demostración

Se deja como ejercicio.

Se puede proceder por reducción al absurdo, e invocando el hecho de que todo conjunto de enteros positivos tiene un mínimo.

[cerrar]


\(  \bullet  \) Teorema 3. Existe una única función \( h:\mathbb{Z}_+\to C \) que verifica \( (*) \) para todo \( i\in\mathbb{Z}_+ \).

Demostración

Se dejan los detalles como ejercicio.

Basta notar que, por los Lemas 1 y 2, para cada \( n \) existe una única función \( f_n:\{1,\cdots,n\}\to C \) que verifica \( (*) \).

Recordar que una función es un conjunto formado por pares ordenados.
Así que tiene sentido definir el conjunto de pares ordenados \( f=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+} f_n \).

Se debe demostar que \( f \) es una función con dominio \( \mathbb{Z}_+ \).
O sea, hay que constatar que se cumple la regla de unicidad de la imagen.

También hay que chequear (fácil) que se cumple \( (*) \) para todo \( i\in\mathbb{Z}_+ \).

Finalmente, hay que explicar que \( h \) es única. (Aprovechar el Lema 2 para obtener unicidad).

[cerrar]


\(  \bullet  \) Teorema 4 (Principio de definición recursiva). Sean \( A \) un conjunto y \( a_0\in A \). Supongamos que \( \rho  \) es una función que asigna un elemento de \( A \) a cada función \( f \), con dominio una sección no vacía de enteros positivos e imagen en \( A \). Entonces existe una única función

\( h:\mathbb{Z}_+\to A \)

tal que

\( (*)\qquad h(1)=a_0,\qquad h(i)=\rho (h|\{1,\cdots,i-1\}),\qquad i> 1. \)

Demostración: Sigue ideas muy similares a los resultados previos. Salvo que ahora la función \( h \) no cumple \( (*) \) sino una regla general.

_____________

\(  \bullet  \) La fórmula \( (*) \) se llama fórmula recursiva para \( h \).

La idea general es que uno está "autorizado" a definir una función mediante una fórmula de recurrencia.
Vale decir, si uno especifica una fórmula de recurrencia, ésta nos define correctamente una función, y sin ambigüedad, ya que el Teorema anterior nos garantiza que existe al menos una función que satisface la recurrencia (la recurrencia es algo con "sentido"), y además dicha función es única (la recurrencia es "inambigua").


Notemos algunos detalles técnicos. El dominio de la función \( \rho  \) del Teorema 4 es un conjunto muy complicado.
Sea \( \mathcal{F}_n \) la familia de todas las funciones \( f:\{1,\cdots,n\}\to A \).
Entonces el dominio de \( \rho  \) es la unión \( \bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+} \mathcal{F}_n \).
La imagen de \( \rho  \) es un subconjunto de \( A \).
Así que podemos anotar:


\( \rho :\left(\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+}\mathcal{F}_n\right)\to A. \)

Ahora bien, la función \( h \) del "discurso" del Teorema 4 tiene como dominio todo el conjunto \( \mathbb{Z}_+ \), y no meras secciones.
Sin embargo, se pueden considerar las restricciones de \( h \) a secciones \( \{1,\cdots,i-1\} \).
Estas funciones "restricción" se indican, como es costumbre, con el símbolo \( | \), así: \( h|\{1,\cdots,i-1\} \), y así se obiene un "objeto" de \( \mathcal{F}_{i-1} \), al cual es válido aplicarle la función \( \rho \).



\(  \bullet  \) Ejemplo 1. Comprobar que el Teorema 3 es un caso particular del Teorema 4. Basta definir:

\( \rho (f)=\min(C)-\textsf{imagen de}(f) \)


\(  \bullet  \) Ejemplo 2. Definir rigurosamente las potencias \( a^n \), con \( a\in\mathbb{R} \) y \( n\in\mathbb{Z}_+ \), mediante la fórmula de recurrencia:

\( a^1=a,\qquad a^n=a^{n-1}\cdot a \)

Sugerencia: Utilizar \( \rho (f)=f(m)\cdot a \), si el dominio de \( f \) es \( \{1,\cdots,m\} \).

Ejercicios Sección 8

  • Ejercicio 8.1 Sea \( (b_1,b_2,\cdots) \) una sucesión de números reales.
    La suma \( \sum_{k=1}^n b_k \) está definida por inducción como sigue:

    \( \displaystyle \sum_{k=1}^n b_k,\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad n=1. \)
    \( \displaystyle \sum_{k=1}^n b_k=\left(\sum_{k=1}^{n-1} b_k\right)+b_n,\qquad\qquad n>1. \)

    Sea \( A \) el conjunto de los números reales; elija \( \rho \) tal que sea posible aplicar el Teorema 4 para definir la suma rigurosamente.

    En ocasiones, la suma \( \sum_{k=1}^n b_k \) se denotará con el símbolo \( b_1+b_2+\cdots+a_n \).

    Notemos cómo es que en este punto Munkres pone atención al uso formalmente correcto de la notación con puntos suspensivos.
    Esto es lo que hace la diferencia entre "meras convenciones" no explicadas en los textos corrientes de matemáticas, y el uso consistente e inambiguo de una determinada notación.

    En todo caso, lo importante aquí es "rescatar" que finalmente todo enunciado matemático requiere que haya una manera formal y precisa de escribirlo.


  • Ejercicio 8.2 Sea \( (b_1,b_2,\cdots) \) una sucesión de números reales.
    El producto \( \prod_{k=1}^n b_k \) está definido por inducción como sigue:

    \( \displaystyle \prod_{k=1}^n b_k,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad n=1. \)
    \( \displaystyle \prod_{k=1}^n b_k=\left(\prod_{k=1}^{n-1} b_k\right)\cdot b_n,\qquad\qquad n>1. \)

    Usar el Teorema 4 para definir el producto rigurosamente.

    En ocasiones, el producto \( \prod_{k=1}^n b_k \) se denotará con el símbolo \( b_1\cdot b_2\cdot\; \cdots\;\cdot b_n \).
  • Ejercicio 8.3 Obtener la definición de \( a^n \) y de \( n! \) para \( n\in\mathbb{Z}_+ \) como un caso especial del Ejercicio 2.
  • Ejercicio 8.4 Los números de Fibonacci de la teoría de números se definen recursivamente por la fórmula:

    \( \lambda_1=\lambda_2=1,\qquad \lambda_n=\lambda_{n-1}+\lambda_{n-2},\quad n>2. \)

    Defínalos rigurosamente usando el Teorema 4.
  • Ejercicio 8.5 Muestre que hay una única función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R}_+ \) que satisface la fórmula

    \( h(1)=3,\qquad h(i)=[h(i-1)+1]^{1/2},\quad i>1. \)
  • Ejercicio 8.6
    • (a) Muestre que no hay una función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R}_+ \) que satisface la fórmula

      \( h(1)=3,\qquad h(i)=[h(i-1)-1]^{1/2},\quad i>1. \)

      Explique por qué este ejemplo no viola el principio de definición recursiva.
    • (b) Considere la fórmula de recursión

      \( h(1) = 3, \)

      y para \( i>1 \):

      \( h(i) = \begin{cases}[h(i-1)-1]^{1/2},&\textsf{si\ } h(i-1)>1,\\5,&\textsf{si\ }h(i-1) \leq 1.
      \end{cases} \)

      Muestre que existe una única función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R}_+ \) que satisface esta fórmula.

  • Ejercicio 8.7 Pruebe el Teorema 4.
  • Ejercicio 8.8 Verificar la siguiente versión del principio de definición recursiva:

    Sea \( A \) un conjunto.
    Sea \( \rho \) una función que asigna un elemento \( \rho(f) \) de \( A \) a cada función \( f:S_n\to A \), donde \( S_n \) es alguna sección de \( \mathbb{Z}_+ \).
    Entonces existe una única función \( h:\mathbb{Z}_+\to A \) tal que \( h(n)=\rho(h|S_n) \) para cada \( n\in\mathbb{Z}_+ \).

[cerrar]

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24 Julio, 2011, 10:00 pm
Respuesta #14

argentinator

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(Los ejercicios están listados. Aún falta agregar la teoría de estos temas)

Sección 9. Conjuntos Infinitos y el Axioma de Elección.

Ejercicios Sección 9


  • Ejercicio 9.1 Sea \( X=\{0,1\} \). Definir una función inyectiva \( \mathbb{Z}_+\to X^\omega \) sin usar el Axioma de Elección.
  • Ejercicio 9.2 Hallar, si fuera posible, una función de elección para cada una de las siguientes colecciones, sin usar el Axioma de Elección.
    • (a) La colección \( \mathcal{A} \) de subconjuntos no vacíos de \( \mathbb{Z}_+ \).
    • (b) La colección \( \mathcal{B} \) de subconjuntos no vacíos de \( \mathbb{Z} \).
    • (c) La colección \( \mathcal{C} \) de subconjuntos no vacíos de \( \mathbb{Q} \).
    • (d) La colección \( \mathcal{D} \) de subconjuntos no vacíos de \( X^\omega \), siendo \( X=\{0,1\} \).

  • Ejercicio 9.3 Suponer que \( A \) es un conjunto y que \( \{f_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+} \) es una familia indexada de funciones inyectivas \( f_n:\{1,\cdots,n\}\to A. \)
    Muestre que \( A \) es infinito.
    ¿Puede usted definir una función inyectiva \( f:\mathbb{Z}_+\to A \) sin usar el Axioma de Elección?
  • Ejercicio 9.4 Hubo un Teorema en la Sección 7 cuya prueba involucró un número infinito de elecciones arbitrarias. ¿Cuál fue?
    Reescriba la prueba de manera que se haga explícito el uso del Axioma de Elección.
    (Se trata del Teorema 5 de la sección 7, y ya he dado ahí una prueba alternativa que muestra bien el punto donde se usa el Axioma de Elección).
  • Ejercicio 9.5
    • (a) Usar el Axioma de Elección para mostrar que si \( f:A\to B \) es suryectiva, entonces \( f \) tiene una inversa derecha \( h:B\to A \).
    • (b) Muestre que si \( f:A\to B \) es inyectiva y \( A\neq\emptyset \), entonces \( f \) tiene una inversa izquierda.
      ¿Es necesario aquí el Axioma de Elección?

  • Ejercicio 9.6 Muchas de las paradojas de la teoría ingenua de conjuntos están asociadas de algún modo u otro al concepto de conjunto de todos los conjuntos.
    Ninguna de las reglas que hemos dado para formar conjuntos nos permiten considerar un tal conjunto.
    El concepto es en sí mismo autocontradictorio.
    Para verlo, suponer que \( \mathcal{A} \) denota el hipotético conjunto que contiene a todos los conjuntos.
    • (a) Muestre que \( \mathcal{P}(\mathcal{A})\subset\mathcal{A} \); deduzca una contradicción.
    • (b) (Paradoja de Russell) Sea \( \mathcal{B}\subset\mathcal{A} \) el conjunto que contiene a todos todos aquellos conjuntos que no son elementos de sí mismos:

      \( \mathcal{B}=\{A|A\in\mathcal{A},A\not\in A\}. \)

      (Si ocurriese el caso de que en realidad no hubiera conjunto alguno satisfaciendo \( A\in A \), entonces se tendría \( \mathcal{B}=\mathcal{A} \).)

      ¿Es \( \mathcal{B} \) un elemento de sí mismo o no?

  • Ejercicio 9.7 Sean \( A,B \) dos conjuntos no vacíos. Si hay una inyección de \( B \) en \( A \), pero no hay inyección alguna de \( A \) en \( B \), decimos que \( A \) tiene cardinal mayor que \( B \).
    • (a) Concluir a partir del Teorema 1 que todo conjunto no-numerable tiene cardinal mayor que \( \mathbb{Z}_+ \).
    • (b) Muestre que si \( A \) tiene mayor cardinalidad que \( B \), y \( B \) tiene mayor cardinalidad que \( C \), entonces \( A \) tiene mayor cardinalidad que \( C \).
    • (c) Hallar una sucesión \( A_1,A_2,\cdots \) de conjuntos infinitos tales que para cada \( n\in\mathbb{Z}_+ \), el conjunto \( A_{n+1} \) tiene cardinal mayor que \( A_n \).
    • (d) Hallar un conjunto tal que para todo \( n \) tiene cardinal mayor que \( A_n \).

  • Ejercicio 9.8 Muestre que \( \mathcal{P}(\mathbb{Z}_+) \) y \( \mathbb{R} \) tienen la misma cardinalidad.
    Ayuda: Usted puede usar el hecho de que todo número real tiene un desarrollo decimal, el cual es único si los desarrollos que terminan en una sucesión de infinitos 9's son descartados.

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Terminamos la Sección 9 enunciando las famosas Hipótesis del Continuo y su versión generalizada.
Es un tema interesante a debatir en Fundamentos de la Teoría de Conjuntos, así que aquí no entraremos en mayores detalles, porque aceptar o no estos principios no influye en nuestro ulterior estudio de la topología.

Los siguientes enunciados pueden tomarse como Axiomas.
No son demostrables.


\(  \bullet \) Hipótesis del Continuo. No existe un conjunto que tenga cardinalidad mayor que \( \mathbb{Z}_+ \) y menor que \( \mathbb{R} \).


\(  \bullet \) Hipótesis Generalizada del Continuo. Dado un conjunto infinito \( A \), no existe un conjunto que tenga cardinalidad mayor que \( A \) y menor que \( \mathcal{P}(A) \).


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Sección 10. Conjuntos Bien Ordenados.

Ejercicios Sección 10

  • Ejercicio 10.1 Muestre que todo conjunto bien ordenado tiene la propiedad de la Mínima Cota Superior.
  • Ejercicio 10.2
    • (a) Muestre que en todo conjunto bien ordenado, todo elemento excepto el último (si lo hubiera) tiene un sucesor inmediato.
    • (b) Hallar un conjunto en el cual todo elemento tiene un sucesor inmediato, y que no es bien ordenado.

  • Ejercicio 10.3 Ambos conjuntos \( \{1,2\}\times\mathbb{Z}_+ \) y \( \mathbb{Z}_+\times\{1,2\} \) están bien ordenados si se considera en ellos el orden de diccionario.
    ¿Tienen ambos el mismo tipo de orden?
  • Ejercicio 10.4
    • (a) Denotemos con \( \mathbb{Z}_- \) al conjunto de enteros negativos con el orden usual.
      Muestre que un conjunto \( A \) ordenado (lineal y estrictamente) no está bien ordenado si, y sólo si contiene algún subconjunto con el mismo tipo de orden de \( \mathbb{Z}_- \).
    • (b) Muestre que si \( A \) tiene un orden (lineal y estricto), y además todo subconjunto numerable de \( A \) está bien ordenado, entonces \( A \) está bien ordenado.

  • Ejercicio 10.5 Muestre que el Teorema del Buen Orden implica el Axioma de Elección.
  • Ejercicio 10.6 Sea \( S_\Omega \) el mínimo conjunto bien ordenado no-numerable.
    • (a) Muestre que \( S_\Omega \) no tiene elemento máximo.
    • (b) Muestre que para todo \( \alpha\in S_\Omega \), el subconjunto \( \{x|\alpha<x\} \) es no-numerable.
    • (c) Sea \( X_0 \) el subconjunto de \( S_\Omega \) que contiene todos los elementos \( x \) tal que \( x \) no tiene predecesor inmediato.
      Muestre que \( X_0 \) es no-numerable.

  • Ejercicio 10.7 Sea \( J \) un conjunto bien ordenado.
    Un subconjunto \( J_0 \) de \( J \) se dice inductivo si para todo \( \alpha\in J \),

    \( (S_\alpha\subset J_0)\Rightarrow \alpha\in J_0. \)

    Teorema (El Principio de inducción transfinita). Si \( J \) es un conjunto bien ordenado y \( J_0 \) es un subconjunto inductivo de \( J \), entonces \( J_0\subset J \).

    (Demostrarlo)
  • Ejercicio 10.8
    • (a) Sean \( A_1,A_2 \) conjuntos disjuntos, bien ordenados por \( <_1,<_2 \), respectivamente.
      Defina una relación de orden sobre \( A_1\cup A_2 \) poniendo \( a<b \) si \( a,b\in A_1,a<_1b \) ó si \( a,b\in A_2,a<_2b \) ó si \( a\in A_1,b\in A_2 \).
      Muestre que este es un buen orden.
    • (b) Generalice el ítem (a) a una familia arbitraria de conjuntos disjuntos y bien ordenados, indexados por un conjunto bien ordenado.

  • Ejercicio 10.9 Considere el subconjunto \( A \) de \( (\mathbb{Z}_+)^\omega \) que consta de todas las sucesiones infinitas de enteros positivos \( \mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots) \) que terminan en una cadena de infinitos 1's.
    Dé a \( A \) el siguiente orden:

    \( \mathbf{x}<\mathbf{y} \) si \( x_n<y_n \) y \( x_i=y_i \) para \( i>n \).

    Llamamos a este el orden antidiccionario sobre \( A \).

    • (a) Muestre que para todo \( n \), hay una sección de \( A \) que tiene el mismo tipo de orden que \( (\mathbb{Z}_+)^n \) en el orden de diccionario.
    • (b) Muestre que \( A \) está bien ordenado.

  • Ejercicio 10.10 Teorema. Sean \( J \) y \( C \) conjuntos bien ordenados; asumir que no hay funciones suryectivas que apliquen una sección de \( J \) sobre \( C \).
    Entonces existe una única función \( h:J\to C \) que satisface la ecuación:

    \( (*)\qquad\qquad h(x)=\min[C-h(S_x)] \)

    para cada \( x\in J \), donde \( S_x \) es la sección de \( J \) por \( x \).
    Demostración:
    • (a) Si \( h \) y \( k \) aplican secciones de \( J \), o bien todo \( J \), en \( C \), y satisface \( (*) \) para todo \( x \) en sus dominios respectivos, muestre que \( h(x)=k(x) \)para todo \( x \) en ambos dominios.
    • (b) Si existe una función \( h:S_\alpha\to C \) que satisface \( (*) \), muestre que existe una función \( k:S_\alpha\cup\{\alpha\}\to C \) que satisface \( (*) \).
    • (c) Si \( K\subset J \) y para todo \( \alpha\in K \) existe una función \( h_\alpha:S_\alpha\to C \) que satisface \( (*) \), muestre que existe una función

      \( \displaystyle k:\bigcup_{\alpha\in K}S_\alpha\to C \)

      que satisface \( (*) \).
    • (d) Muestre por inducción transfinita que para todo \( \beta\in J \), hay una función  \( h_\beta:S_\beta\to C \) que satisface \( (*) \).
      Ayuda: Si \( \beta \) tiene un predecesor inmediato \( \alpha \), entonces \( S_\beta=S_\alpha\cup\{\alpha\} \).
      Si no, \( S_\beta \) es la unión de todos los \( S_\alpha \) con \( \alpha<\beta \).
    • (e) Pruebe el Teorema.

  • Ejercicio 10.11 Sean \( A,B \) dos conjuntos.
    Usando el Teorema del Buen-Orden, demuestre que tienen la misma cardinalidad, o bien uno tiene cardinalidad mayor que el otro.
    Ayuda: Si no hay suryección \( f:A\to B \), aplique el Ejercicio previo.

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Sección 11. El Principio del Máximo.

Ejercicios Sección 11

  • Ejercicio 11.1 Si \( a,b \) son números reales, definir \( a\prec b \) si \( b-a \) es positivo y racional.
    Muestre que es un orden parcial estricto sobre \( \mathbb{R} \).
    ¿Cuáles son los subconjuntos linealmente ordenados maximales?
  • Ejercicio 11.2
    • (a) Sea \( \prec \) un orden parcial estricto sobre el conjunto \( A \).
      Defina una relación sobre \( A \) haciendo \( a \preceq b \) si \( a\prec b \) ó \( a=b \).
      Muestre que esta relación tiene las siguientes propiedades, las cuales se llaman axiomas de orden parcial:

      \( \begin{align*}
        (i) & \qquad \forall a\in A: a \preceq a.\\
        (ii) & \qquad a \preceq b,b \preceq a\Rightarrow a=b.\\
        (iii) &\qquad  a \preceq b,b \preceq c\Rightarrow a \preceq c.
      \end{align*}
       \)

    • (b) Sea \( P \) una relación sobre \( A \) que satisface las propiedades \( (i),(ii),(iii) \).
      Defina una relación sobre \( A \) mediante \( aSb \) si \( aPb \) y \( a\neq b \).
      Muestre que \( S \) es un orden parcial estricto sobre \( A \).

  • Ejercicio 11.3 Sea \( A \) un conjunto con un orden parcial estricto \( \prec \); sea \( x\in A \).
    Suponer que queremos hallar un subconjunto totalmente ordenado maximal \( B \) de \( A \) que contiene a \( x \).
    Un modo plausible de intentar definir \( B \) sería como el conjunto de todos aquellos elementos de \( A \) que son comparables con \( x \);

    \( B=\{y|y\in A, [x\prec y\textsf{\ ó\ } y\prec x]\}. \)

    Pero esto no siempre funcionará.
    ¿En cuál de los Ejemplos 1 y 2 este procedimiento tiene éxito, y en cuál no?
  • Ejercicio 11.4 Dados dos puntos \( (x_0,y_0),(x_1,y_1)\in\mathbb{R}^2 \), definir

    \( (x_0,y_0)\prec (x_1,y_1) \)

    si \( x_0<  x_1 \) y \( y_0 \leq y_1 \).
    Mostrar que las curvas \( y=x^3 \) y \( y=2 \) son subconjuntos totalmente ordenados maximales de \( \mathbb{R}^2 \), y la curva \( y=x^2 \) no lo es.
    Hallar todos los subconjuntos totalmente ordenados maximales.

  • Ejercicio 11.5 Mostrar que el Lema de Zorn implica al siguiente:

    Lema  (Kuratowski). Sea \( \mathcal{A} \) una colección de conjuntos. Suponer que para toda subcolección \( \mathcal{B} \) de \( \mathcal{A} \) que está totalmente ordenado por la relación de inclusión estricta (o propia), la unión de los elementos de \( \mathcal{B} \) pertenece a \( \mathcal{A} \).
    Entonces \( \mathcal{A} \) tiene un elemento que no está estrictamente (o propiamente) incluido en ningún otro elemento de \( \mathcal{A} \).

  • Ejercicio 11.6 Una colección \( \mathcal{A} \) de subconjuntos de \( X \) se dice de tipo finito si cumple que un subconjunto \( B \) de \( X \) pertenece a \( \mathcal{A} \) si y sólo si todo subconjunto finito de \( B \) pertenece a \( \mathcal{A} \).
    Muestre que el Lema de Kuratowski implica el siguiente:

    Lema (Tukey, 1940). Sea \( \mathcal{A} \) una colección de conjuntos. Si \( \mathcal{A} \) es de tipo finito, entonces \( \mathcal{A} \) tiene un elemento que no está estrictamente (o propiamente) contenido en ningún otro elemento de \( \mathcal{A} \).

  • Ejercicio 11.7 Muestre que el Lema de Tukey implica el Principio del Máximo de Hausdorff.
    Ayuda: Si \( \prec  \) es un orden parcial estricto sobre \( \mathcal{A} \), sea \( \mathcal{A} \) la colección de todos los subconjuntos de \( A \) que están totalmente ordenados por \( \prec  \). Muestre que \( \mathcal{A} \) es de tipo finito.

  • Ejercicio 11.8 Un uso típico del Lema Zorn en álgebra es la prueba de que todo espacio vectorial tiene una base.
    (Preguntar por los detalles de álgebra, si no se acuerdan...)

    En lo que sigue \( V \) denota un espacio vectorial.

    • (a) Si \( A \) es un conjunto linealmente independiente y \( v\in V \) es tal que no pertenece a \( span(A) \), mostrar que \( A\cup \{v\} \) es un conjunto linealmente independiente.
    • (b) Mostrar que la colección de todos los conjuntos linealmente independientes en \( V \) tiene un elemento maximal.
    • (c) Mostrar que \( V \) tiene una base.

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Ejercicios Suplementarios: Buena Ordenación.

Por tratarse de ejercicios suplementarios al Capítulo 1 de Munkres, los indicaremos con S1.

Ejercicios Suplementarios: Buena Ordenación

  • Ejercicio S1.1

    Teorema (Principio general de definición recursiva). Sean \( J \) un conjunto bien ordenado y \( C \) un conjunto. Sea \( \mathcal{F} \) el conjunto de todas las funciones que aplican secciones de \( J \) en \( C \). Dada una función \( \rho :\mathcal{F}\to C \), existe una única función \( h:J\to C \) tal que \( h(\alpha )=\rho (h|S_\alpha ) \) para cada \( \alpha \in J \).

  • Ejercicio S1.2
    • (a) Sean \( J,E \), conjuntos bien ordenados y \( h:J\to E \). Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

      ( i) \( h \) preserva el orden y su imagen es \( E \) o una sección de \( E \).
      (ii) \( h(\alpha )=\min[E-h(S_\alpha )] \) para todo \( \alpha  \).

      Ayuda: Demuestre que cada una de estas condiciones implica que \( h(S_\alpha ) \) es una sección de \( E \); concluya que debe ser la sección por \( h(\alpha ) \).
    • (b) Si \( E \) es un conjunto bien ordenado, demuestre que ninguna sección de \( E \) tiene el tipo de orden de \( E \), ni dos secciones diferentes de \( E \) tienen el mismo tipo de orden.
      Ayuda: Dado \( J \), existe a lo sumo una aplicación que preserva el orden de \( J \) en \( E \) cuya imagen es \( E \) o una sección de \( E \).

  • Ejercicio S1.3 Sean \( J,E \), conjuntos bien ordenados y supongamos que existe una aplicación que preserva el orden \( k:J\to E \).
    Utilizando los ejercicios 1 y 2, demuestre que \( J \) tiene el tipo de orden de \( E \) o de una sección de \( E \).
    Ayuda: eliija \( e_0\in E \). Defina \( h:J\to E \) mediante la fórmula de recursión

    \( h(\alpha )=\min[E-h(S_\alpha )] \) si \( h(S_\alpha )\neq E, \)

    y \( h(\alpha )=e_0 \) en caso contrario. Demuestre que \( h(\alpha ) \leq k(\alpha ) \) para todo \( \alpha  \); concluya que \( h(S_\alpha )\neq E \) para todo \( \alpha  \).
  • Ejercicio S1.4
  • Ejercicio S1.5
  • Ejercicio S1.6
  • Ejercicio S1.7
  • Ejercicio S1.8

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