[drg]

Buenas compañeros,tengo un problema que entregar hoy mismo. Con este problema me juego mucho,y no sé como plantearlo. A ver si entre todos conseguimos despejar mis dudas

PROBLEMA

La afluencia de personas a una playa en verano,durante una hora,sigue una distribución de Poisson de parámetro \( M \). Cada persona tiene una probabilidad \( p \) de ir al chiringuito a tomar una cerveza.Suponiendo la independencia,demostrar que el número de cervezas por hora que se despachan en el chiringuito sigue una distribucion de Poisson de parametro \( S=Mp \).

Un saludo y gracias de antemano

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Además evita usar palabras como URGENTE o AYUDA en el título; limítate mejor a que éste describa el contenido matemático de tu consulta. Igualmente será antendido.

 Por último señalar que no repitas el mismo mensaje en distintos sitios.
 
Saludos.

[drg]

Gracias por el aviso,me he leido las normas,pero no me acordaba.

Alguien que me resuelva mi duda?

[Luis Fuentes]

Hola

 En cuanto al problema nota que una distribución de Poisson de parámetro \( \lambda \) tiene por densidad discreta:

\(  P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \)

 Por otro lado si sabemos que hay \( N \) personas en la playa, la probabilidad de que \( n \) de ellas vayan a tomar una cerveza sigue una binomial \( B(N,p): \)

\(  P(Y=n|X=N)=\displaystyle\binom{N}{n}p^n(1-p)^{N-n} \)

 Combinando ambas cosas la probabilidad de que vaya \( n \) personas en una hora al chiringuito es:

\(  P(Y=n)=\displaystyle\sum_{N=n}^\infty{}P(Y=n|X=N)P(X=N)=\displaystyle\sum_{N=n}^\infty{}\displaystyle\binom{N}{n}p^n(1-p)^{N-n}\dfrac{e^{-M}M^N}{N!}= \)

\( =\dfrac{e^{-M}p^nM^n}{n!}\displaystyle\sum_{N=n}^\infty{}\dfrac{1}{(N-n)!}M^{N-n}(1-p)^{N-n}=\ldots \)

 Termina. Te será útil tener en cuenta la expansión en serie de Taylor de \( e^x \).

Saludos.

[drg]

Gracias compañero,una dudilla:

 

Al principio,colocas una probabilidad condicionada,la cual,sabiendo que hay N personas en la playa,quieres medir cuantas van al chiringuito.Hasta ahi bien.Ahora,el siguiente paso,no lo entiendo,podria explicarmelo?

Muchas gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

 Después uso el Teorema de las probabilidades totales. Más coloquialmente, la probabilidad de que vayan \( n \) personas a tomar la cerveza es:

 - La probabilidad de que haya \( N=n \) personas en la playa y todas tomen la cerveza; más la probabilida de que haya \( N=n+1 \) personas y de ellas \( n \) tomen la cerveza; más la probabilida de que haya \( N=n+2 \) personas y de ellas \( n \) tomen la cerveza; etcétera...

Saludos.

[drg]

Ok,esa parte entendida,ahora...como puedo calcular esa serie?Soy todavia principiante en el estudio de las matematicas...aunque viendo el problema,parece que no....

Gracias de antemano!

[Luis Fuentes]

Hola

 Sabes que:

 \( e^x=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}\dfrac{x^k}{k!} \)

 Ahora en nuestro sumatorio haz el cambio de índice \( k=N-n \).

Saludos.

[drg]

El resultado es \( e^{M(1-p)} \) ?

Creo que sale eso,pero no estoy seguro

[Luis Fuentes]

Hola

 Si, efectivamente el resultado del sumatorio es:

\( e^{M(1-p)} \)

Saludos.

P.D. Recuerda usar LaTeX para las fórmulas. La exponencial anterior se obtiene escribiendo:

[tex]e^{M(1-p)}[/tex]