Hola,
Entonces yo te recomendaría que trataras de encontrar el libro de Badesa y demás, "Elementos de lógica formal" (que además de lógica proposicional y de primer orden trae un capítulo sobre teoría intuitiva de conjuntos que te será muy útil tanto para la lógica como para tus estudios matemáticos) y una vez estudiado pasaras al Enderton. Si no encuentras el de Badesa, hay más manuales de lógica de un nivel similar en castellano, pero no te puedo dar referencias porque no he leído ninguno y no sé si son buenos o malos.
Del Enderton existe una edición en castellano (Introducción a la lógica matemática) que probablemente esté descatalogada en papel, pero que corre por internet y no es muy difícil de encontrar.
En cualquier caso, si vas en serio con esto de la lógica (o de las matemáticas, o de lo que sea) el mejor consejo que te puedo dar es:
¡APRENDE INGLÉS!
De verdad, a partir de un cierto nivel es casi imposible encontrar libros en castellano sobre según que temas, y si encima es algo tan minoritario como la lógica matemática se hace aún más complicado. El inglés técnico es muy fácil de entender, las construcciones son simples y el vocabulario que se usa suele ser bastante limitado, además de que los términos técnicos son muy parecidos en cualquier lengua, con lo que son fáciles de identificar. El saber leer libros técnicos en inglés te va a abrir un mundo de posibilidades que ni imaginas a la hora de aprender lógica, matemáticas o casi cualquier cosa.
Sobre las partes en que está segmentada la lógica, pues hay muchas, muchísimas subramas. La lógica es un mundo en sí mismo, mucho más amplio de lo que pueda parecer a alguien que no esté familiarizado con ella, y tiene campos mucho más relacionados con la matemática "estándar" que lo que un matemático medio con poca (o nula) formación en lógica cree (el caso más espectacular de esto son las aplicaciones de la teoria de modelos al álgebra abstracta y la geometría algebraica, aunque hay muchos más). Tradicionalmente la lógica matemática se ha dividido en: teoría de la demostración, teoría de modelos, teoría de conjuntos y teoría de la recursión, pero hoy en día esto ya está bastante superado, y de hecho, como suele suceder cuando una parte de la matemática adquiere la suficiente madurez, se han empezado a unir y a difuminar las fronteras entre estos campos.
Por último un comentario un poco off-topic. Por lo que dices intuyo que eres preuniversitario o que estás empezando en la universidad. Si ese es el caso, debo decir que es un placer ver a alguien joven que se interesa por la lógica matemática, y espero que si sigues profundizando en ella la encuentres tan apasionante como yo.
Saludos
