[javierlf]

Cuándo se habla del número e, me pregunto, ¿cuál es su esencia? Cuando se habla de él, ¿no será que lo hacemos refiriéndonos a sus "manifestaciones" más que a su verdadera razón de ser. ¿Tiene alguna cualidad intrínseca, propia, exclusiva...?
Pues estoy deseando entenderlo. No se trata de buscar algo místico, como podría ser interpretado. No creo en cosas raras. Mi pregunta es completamente seria y es debida a mi desesperación. Cada vez que pregunto por ello he de apuntarme una nueva "manifestación" de su "valor", por ejemplo, por el límite de una sucesión, por un sumatorio, por una integral definida... ¿Pero cuál es su verdadera "esencia"?
¿Capta alguien lo que pregunto? ¿Alguna vez se lo ha preguntado alguien, que por conformismo ha desistido y ha acabado asumiendo que lo más a lo que podría llegar respecto a e es conocer una o varias de sus manifestaciones?

Javier.

[Pepe]

Hola javierlf,

Euler defininió la constante matemática conocida como número e como aquel número real que el valor de su derivada en la función \( f(x)=e^x \) en \( x=0 \) es 1. A esta función también se le conoce como logaritmo neperiano, o logaritmo en base e.

Euler descubrió el famoso número e trabajando con el cálculo de intereses en rangos de tiempo muy pequeños. El número e se puede definir de muchas formas; como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o el límite de una sucesión. La que forma que yo te vengo a comentar (la del interés en tiempos muy pequeños) viene dada por la primera:

Editado

\( e=\displaystyle\lim_{\red{n}\black \to{\infty}}{\left(1\red{+}\black \displaystyle\frac {1}{n}}\right)^n \)

\( e=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\displaystyle\frac{1}{n!}} \)

\( e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\displaystyle\frac{x^n}{n!}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{0!}+\displaystyle\frac{x}{1!}+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\cdots +\displaystyle\frac{x^n}{n!}} \)

Euler también expandió el uso de su recientemente descubierto número e al plano de los números complejos, estableciendo la siguiente fórmula:

\( e^{i \phi}=cos(\phi)+i sin(\phi) \)

Pasando así a ser la siguiente fórmula conocida como la identidad de Euler:

\( e^{i \pi}+1=0 \)

Lo que vengo a decirte javierlf, es que el número e no tiene más esencia que la que ves. Euler obtuvo esta constante trabajando, como te he dicho, con intereses en tiempos muy pequeños. Después se dio cuenta que la podía relacionar con otros ámbitos de las matemáticas y se podía obtener de otras formas, pero no tiene nada más profundo. O eso creo yo

Funtes: Wikipedia y mi conocimiento general.

Saludos.

[Jabato]

Yo diría que ambos números, tanto \( e \) como \( \pi \) tienen algo especial, aunque no sé muy bien que es de lo que estoy hablando. El hecho de que ambos números aparezcan en los sitios más inesperados y de forma absolutamente sorprendente hace que sean los reyes de la matemática. El primero es sin duda el rey del cálculo, y el segundo el rey de la geometría y todo lo que concierne a estas disciplinas gira en torno a ellos.

Yo creo que hoy los matemáticos no sabrían explicar de forma clara que es lo que tienen de especial estos números, salvo una relación más ó menos extensa de sus interesantes propiedades, pero algún día lo sabremos supongo. No me cabe duda que son números especiales y que en su esencia tienen cualidades que otros números no tienen. Lo que no es fácil es explicar en dos palabras el porqué de tales cuestiones.

Saludos, Jabato.

[javierlf]

Ambas respuestas de Alicante, una de ellas de mi héroe infantil-juvenil.
No quiero parecer despreciativo con la respuesta de Pepe, que agradezco y mucho, y me muestra con su modestísimo final "O eso creo yo" que capta lo que pregunto. Sin embargo me interesa más ahora referirme a la respuesta de Jabato. Disculpa, Jabato, no te lo tomes como un reto. Yo no sé la décima parte que tú, seguro. He consultado algunos de los mensajes en que participas y yo no tengo conocimientos comparables a los tuyos. Ni a los tuyos ni a los de Pepe, supongo también. Pero no es cuestión de ser o no modesto. Veréis: me gustaría saber y recopilar información, características, e "interesantes propiedades", si las hay, asociadas al número e. He pateado internet y no encuentro más propiedades que lo que os he comentado son para mí, "manifestaciones". "Manifestaciones" que no provocan otra cosa que conformismo y no explican finalmente "qué es lo que tienen de especial". Trato de no confundir Casera con gaseosa. Honestamente os digo también que creo haber descubierto algo respecto a \( e \), pero mis 53 años me hacen ser prudente, tanto en el entusiasmo como en la exposición. Si finalmente estuviera en lo cierto estaría encantado de publicar un trabajo y compartirlo con vosotros (hice Informática en la Politécnica de Madrid, no soy matemático, no sé dónde podría publicarlo). Gracias. Javier. 

[Pepe]

Hombre no, no digas que sabes menos que nosotros. Yo soy estudiante de bachillerato y segúramente sabrás muchisísimo más que yo

De todas formas me parece muy interesante esto que propones. Yo también pienso de vez en cuando si números como estos tienen más relevancia que la que les vemos día a día; si son así por algo, y todo lo imaginativos que nos queramos poner

Te animo a que publiques tu trabajo y que nos digas como poder encontrarlo. Yo, personalmente, lo leería con mucho gusto

Mira, he intentado buscar algo del número e pero poco he encontrado. Sólo he encontrado este post en Taringa que recrea las palabras de Adrián Paenza y me parece interesante para comprender bien bien qué es el número e. Si ya lo sabes bien y si no para otro que pueda pasar por aquí

El número e - Taringa!

Recuerda, cuando publiques tu trabajo dínoslo Saludos.

[Jabato]

Realmente realizar un relatorio de todas las propiedades que se conocen del número \( e \) resulta bastante complicado porque es un número que aparece de forma expontánea en multitud de campos relacionados con el análisis e incluso con la geometría, desde que Euler lo descubrió, ya sea por su relación con las funciones trigonométricas, los complejos, las sucesiones, las series, las ecuaciones diferenciales y un sinfín de campos de la matemática, hasta en estadística lo tenemos en la famosa distribución de errores de Gauss (la famosa campana de Gauss).

Históricamente parece que la pista que llevó a su descubrimiento fue el asunto de la cuadratura de la hipérbola, es decir el cálculo del área bajo la hipérbola equilátera, que como seguro sabéis responde a la función logarítmica de base \( e \):

\( \displaystyle\int_{1}^{x}\displaystyle\frac{dx}{x}=Lnx
 \)

pero a partir de ahí el conjunto de aplicaciones de la matemática en las que aparece dicho número creció exponencialmente hasta llegar al punto en que hoy nos encontramos. Para tener una idea de cuales son todas las propiedades de ese número hay que estudiar mucha matemática, y aún así te quedarías corto. Desde sus orígenes hasta la demostración definitiva de su irracionalidad y su trascendencia pasaron muchos años y aún nos quedamos asombrados de la cantidad de aplicaciones de la matemática y en general la ciencia y la técnica en las que dicho número interviene.

Saludos, Jabato.

[javierlf]

Jabato: efectivamente la integral produce lo que dices, y en otra forma de presentación, precisamente integrando entre 1 y e, da 1. Otro apunte que debo hacer, me parece, es que no fue Euler quien lo descubrió. Aún he de comprobar la información que aparece en el enlace de Taringa proporcionado por Pepe, me refiero a las fechas. No obstante, como mínimo sé que fue el padre del maestro de Euler quien ya conoció el número e. Se llamaba Jakob Bernoulli, por eso pongo su apellido en el título de la entrada. El hijo, llamado James, o Joanes, o … fue el profesor de Euler.
Respecto al enlace facilitado por Pepe, las fechas que yo conozco de Jakob Bernoulli (wiki, 1654 ,1705) son posteriores a las que figuran en el artículo de Taringa, por tanto dedicaré unos días a curiosear por ahí, porque además conozco la vida de Napier y tengo sus libros principales (y sus famosos “bones”, ábaco curioso), ambos editados en Latin, lengua científica de la época. De uno de estos libros tengo la traducción de una parte (primer libro) al inglés por un grupo holandés. ¡Ah! como curiosidad, incluso llegué a “ver” por google maps la casa-torreón donde vivió (no recuerdo si es donde murió) Napier (Nepero en latín) ¿En España nos quejamos de que tenemos nuestro patrimonio malquerido y maltratado por edificaciones adosadas? Pues el torreón de Napier está metido dentro del recinto universitario y apenas sí puede verse una esquina y la parte baja del mismo desde el exterior del conjunto universitario. Pero yo lo encontré. ¡A ver quién más! Por cierto, la edición de los libros en latín que tengo ¡¡ incluye el nombre de Euler en una de las páginas !!, lo que me hace pensar que es una edición bastante más moderna que la de MDCXX, como figura en la portada. ¿A que es curioso?. Y hay más: los libros que yo tengo no fueron editados en vida de Neper, sino tres años después de morir.  Si tenéis interés puedo pasaros las urls de los libros, aunque es fácil encontrarlos por google books simplemente introduciendo “Napier”. Ahora voy a profundizar en una cosa que ha llamado mi atención de la referencia de Taringa dada por Pepe.

[Jabato]

Bueno, sí es cierto que en las publicaciones que pueden encontrarse parece que existe algo de confusión sobre quien fué el verdadero descubridor del citado número. Desde luego se le atribuye a Euler, y también es cierto que fué él el primero en denominarlo así, aunque antes que él ya se sabía que la función que daba la cuadratura de la hipérbola era una función logarítmica, pero de base no entera.

En este foro hubo hace tiempo un debate muy interesante sobre el descubrimiento del número \( e \), es un debate muy antiguo, pero yo todavía lo recuerdo porque fué muy interesante y clarificador ciertamente, y es cierto que quedaron algunos flecos sobre este asunto, y se aportó bibliografía y un montón de detalles sobre Bernoulli y Euler, sobre su vida juntos y sobre sus trabajos sobre estos temas, aunque va a ser difícil encontrar ese debate si es que aún existe en el foro, a ver si algún moderador fuera capaz de encontrarlo, te iba a gustar.

Saludos, Jabato.

[mathtruco]

Quizás Jabato se refiere al hilo: El número e.

[Jabato]

Quizás Jabato se refiere al hilo: El número e.

Gracias math pero no, creo que es más antiguo y había detalles muy concretos sobre la vida de Euler, sobre la de Bernoulli, y sobre el descubrimiento del número e, era incluso más largo que éste, y desde luego en él intervinimos por lo menos Island in the Darkness y yo, que recuerde. Si todavía existe va a ser difícil encontrarlo porque lo he buscado con el buscador del foro y no me aparece.

Estuvo muy interesante, sí.

Saludos, Jabato.