[Tanius]

Hola. Tengo un par de problemas de combinatoria. Espero puedan ayudarme.

a) Considere un domino de 28 fichas, se forma una mano de dominó con 7 fichas. ¿Cuántas manos de dominó tienen exactamente tres fichas dobles (mulas)?

Quizá aquí sirva calcular el total de manos, que va a ser \( \displaystyle\binom{28}{7} \) y después tratar de averiguar cuántas tienen exactamente 3 mulas, pero creo que no salen bien las cuentas.

b) Considere un dado de 6 caras, uno de 12 caras y uno de 18 caras. ¿De cuántas formas se puede obtener 21 con los tres dados?

¿Es un problema de ordenaciones?

También traté de verlo de esta manera. Sean \( A=\left\{{1,...,6}\right\}, B=\left\{{1,...,12}\right\} \) y \( C=\left\{{1,...,18}\right\} \) y tratar de calcular la cardinalidad del conjunto

\( D=\left\{{(x,y,z)\in{A\times{B\times{C}}}|x+y+z=21}\right\} \)

Agradezco cualquier ayuda.

[jordioj]

Hola. Para el primero podemos calcular la probabilidad de que salga una mano con 3 fichas dobles y luego calcular las combinaciones posibles. La probabilidad sería que salgan 3 dobles y 4 no dobles, las combinaciones de tres fichas dobles de siete totales será \( \displaystyle\binom{7}{3} \) . Un saludo.

[Tanius]

Una disculpa, jordioj. Pero no veo a qué se quiere llegar y por qué.

[jordioj]

Yo pretendía calcular la probabilidad de empezar una mano con 3 dobles, y quieres plantear las manos posibles con tres dobles, la disculpa la tengo que pedir yo. Entonces podríamos pensar que las manos con tres dobles será las combinaciones de sacar 4 fichas no dobles por las combinaciones de sacar tres dobles de 7 posibles. Creo que las manos posibles son \( \displaystyle\binom{21}{4}\cdot\displaystyle\binom{7}{3} \)

[Tanius]

Ya, ahora sí me quedó claro. Gracias, jordioj

¿Alguna idea para el segundo?

[jordioj]

Hola. Para el segundo no veo cómo usar números combinatorios, pero podríamos estudiar cuántas combinaciones de los elementos \( B,C \) suman 21 con cada elemento de \( A \) , y obtengo como resultado \( 12\cdot 6 -1 \) combinaciones posibles. Un saludo.

[Héctor Manuel]

El segundo puede ser resuelto fácilmente con funciones generatrices.

Te interesa el método?

Saludos.

[Tanius]

Hola. Para el segundo no veo cómo usar números combinatorios, pero podríamos estudiar cuántas combinaciones de los elementos \( B,C \) suman 21 con cada elemento de \( A \) , y obtengo como resultado \( 12\cdot 6 -1 \) combinaciones posibles. Un saludo.

¿Pero cómo hiciste el cálculo? ¿Contaste cada una?

El segundo puede ser resuelto fácilmente con funciones generatrices.

Te interesa el método?

Saludos.

Claro  pero sólo que no utilice demasiados conceptos rebuscados o "nuevos" para mí; en principio sólo puedo usar cosas básicas de combinatoria para resolver el problema (y claro, cualquier resultado de teoría de conjuntos).

[Héctor Manuel]

Bueno... es que es un arma básica pero no tan básica...

La idea es que a cada dado le asignas un polinomio de la siguiente manera:

DADO 1: Como puede salir desde un punto hasta 6, le asignas el polinomio \( (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6) \).

DADO 2: Como puede salir desde un punto hasta 12, le asignas el \( (x+x^2+x^3+x^4+\cdots+x^{11}+x^{12}) \)

DADO 3: Como puede salir desde un punto hasta 18, asignas es \( (x+x^2+x^3+\cdots+x^{17}+x^{18}) \).

Entonces te fijas en el polinomio producto de los anteriores:
\( p(x)=(x+x^2+\cdots+x^6)(x+x^2+\cdots+x^{12})(x+x^2+\cdots+x^{18})=x\left(\displaystyle\frac{1-x^6}{1-x}\right)x\left(\displaystyle\frac{1-x^{12}}{1-x}\right)x\left(\displaystyle\frac{1-x^{18}}{1-x}\right) \)\( =x^3(1-x)^{-3}(1-x^6)(1-x^{12})(1-x^{18} \)

Ahora simplemente calculas el coeficiente de \( x^{21} \) en el polinomio anterior, para lo cual conviene usar el binomio de Newton.

Saludos.

[Tanius]

Gracias, hector. ¿Pero cómo se aplica ahí el binomio de Newton? ¿Cuáles son los "binomios" en esa expresión?