Hola León, y gracias por tu respuesta.
A ver si lo he entendido.
Para todo \( \epsilon>0 \), llamemos \( \delta(\epsilon) \) a un número positivo tal que \( \forall j,|x-x_0|<\delta(\epsilon) \Rightarrow |g^j(x)-g^j(x_0)|<\epsilon \). (*)
Aquí puedo considerar que \( \delta(\epsilon)<\epsilon, \)¿verdad?
Ahora muestra que \( \displaystyle d(\epsilon)=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon))\} \) puede ser el d que menciona la propiedad.
Por ser \( d(\epsilon) \) ese mínimo, es el menor de todos los \( \delta(d_j(\epsilon)) \), y por lo anterior, también menor que todos los \( d_j(\epsilon) \)
Ahora, queremos ver si \( |x-x_0|<d(\epsilon)\Rightarrow |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon \).
Si \( m\leq{}k \), entonces como \( d(\epsilon)<d_j(\epsilon) \forall{j} \),tendríamos por lo siguiente:
\( |x-x_0|<d_j(\epsilon) \Rightarrow |f^j(x)-f^j(x_0)|<\epsilon \)
que \( |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon \).
Por otro lado, si \( m>k \), entonces \( m=qk+r \) con \( r<k \) y \( q>0 \).
Tenemos \( |f^m(x)-f^m(x_0)|=|f^{kq}(f^r(x))-f^{kq}(f^r(x_0))|=|g^q(f^r(x))-g^q(f^r(x_0))| \)
Ahora, \( r<k \).Denoto \( \epsilon'=\delta(\epsilon) \) y \( d(\epsilon')=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon'))\} \)
Como\( |x-x_0|<d(\epsilon') \), entonces \( |f^r(x)-f^r(x_0)|<\epsilon' \)
Ahora, como \( |f^r(x)-f^r(x_0)|<\epsilon'=\delta(\epsilon) \), por (*) se tiene que \( |g^q(f^r(x))-g^q(f^r(x_0))|<\epsilon \)
Luego \( |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon \) \( \forall{m}\in{N} \)
(Creo que el caso \( m\leq{k} \) podría incluirse en el anterior, con \( q=0 \) )
Si ves algún error,indícamelo, por favor.
Gracias de nuevo