Autor Tema: Estabilidad de puntos periódicos.

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07 Noviembre, 2010, 09:16 pm
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ismael4790

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Hola. A ver si podéis ayudarme con esta demostración.

Debo probar que la definición y la propiedad siguientes son equivalentes:

Dado \( x_o \), punto periódico de orden k de \( f \) , donde \( f \)  es una función continua de R en R;

Definición: Diremos que \( x_o \) es L-estable si es L-estable como punto fijo de \( g=f^k \), es decir
 \( \forall{\epsilon>0} \) \( \exists{d>0} \) / si \( |x-x_o|<d \) \( \rightarrow{} \)\( |g^m(x)-x_o|<\epsilon \) \( \forall{m}\in{N} \)

Propiedad: \( x_0 \) periódico de orden k de \( f \) es L-estable si \( \forall{\epsilon>0} \) \( \exists{d>0} \) / si \( |x-x_0|<d \) \( \rightarrow{} \) \( |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon \) \( \forall{m}\in{N} \)

Tengo probado que 'Propiedad' implica 'Definición'. Es en la otra implicación en la que necesitaría vuestra ayuda.
Muchas gracias :)

07 Noviembre, 2010, 09:38 pm
Respuesta #1

León

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Hola Ismael,

Supongamos que f cumple la definición.
Para todo \( \epsilon>0 \), llamemos \( \delta(\epsilon) \) a un número positivo tal que \( \forall j,|x-x_0|<\delta(\epsilon) \Rightarrow |g^j(x)-g^j(x_0)|<\epsilon \).
También llamemos \( d_j(\epsilon) \) a los números positivos tales que \( |x-x_0|<d_j(\epsilon) \Rightarrow |f^j(x)-f^j(x_0)|<\epsilon \) -estos números existen porque \( f \) (y por lo tanto las \( f^j \)) es continua en \( x_0 \).

Ahora muestra que \( \displaystyle d(\epsilon)=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon))\} \) puede ser el d que menciona la propiedad.

(Un detalle, es preferible que las fórmulas en latex las escribas todas de corrido, antes que abrir y cerrar los tags [tex][/tex] muchas veces en la misma).

Saludos.

Perdón, publiqué esto originalmente con varios errores -todo mal, bah- que corregí al releer.

07 Noviembre, 2010, 11:36 pm
Respuesta #2

ismael4790

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Hola León, y gracias por tu respuesta.

A ver si lo he entendido.
Citar
Para todo \( \epsilon>0 \), llamemos \( \delta(\epsilon) \) a un número positivo tal que \( \forall j,|x-x_0|<\delta(\epsilon) \Rightarrow |g^j(x)-g^j(x_0)|<\epsilon \). (*)

Aquí puedo considerar que \( \delta(\epsilon)<\epsilon,  \)¿verdad?
Citar
Ahora muestra que \( \displaystyle d(\epsilon)=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon))\} \) puede ser el d que menciona la propiedad.
Por ser \( d(\epsilon) \) ese mínimo, es el menor de todos los \( \delta(d_j(\epsilon)) \), y por lo anterior, también menor que todos los \( d_j(\epsilon) \)

Ahora, queremos ver si \( |x-x_0|<d(\epsilon)\Rightarrow |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon \).
Si \( m\leq{}k \), entonces como \( d(\epsilon)<d_j(\epsilon) \forall{j} \),tendríamos por lo siguiente:

Citar
\( |x-x_0|<d_j(\epsilon) \Rightarrow |f^j(x)-f^j(x_0)|<\epsilon \)
que \( |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon \).


Por otro lado, si \( m>k \), entonces \( m=qk+r \) con \( r<k \) y  \( q>0 \).

Tenemos \( |f^m(x)-f^m(x_0)|=|f^{kq}(f^r(x))-f^{kq}(f^r(x_0))|=|g^q(f^r(x))-g^q(f^r(x_0))| \)

Ahora, \( r<k \).Denoto \( \epsilon'=\delta(\epsilon) \) y \( d(\epsilon')=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon'))\} \)

Como\( |x-x_0|<d(\epsilon') \), entonces \( |f^r(x)-f^r(x_0)|<\epsilon' \)

Ahora, como \( |f^r(x)-f^r(x_0)|<\epsilon'=\delta(\epsilon) \), por (*) se tiene que \( |g^q(f^r(x))-g^q(f^r(x_0))|<\epsilon \)

Luego \( |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon \) \( \forall{m}\in{N} \)

(Creo que el caso \( m\leq{k} \) podría incluirse en el anterior, con \( q=0 \) )

Si ves algún error,indícamelo, por favor.
Gracias de nuevo ;)

08 Noviembre, 2010, 12:03 am
Respuesta #3

León

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Para todo \( \epsilon>0 \), llamemos \( \delta(\epsilon) \) a un número positivo tal que \( \forall j,|x-x_0|<\delta(\epsilon) \Rightarrow |g^j(x)-g^j(x_0)|<\epsilon \). (*)

Aquí puedo considerar que \( \delta(\epsilon)<\epsilon,  \)¿verdad?

Tienes razón, eso tendría que haberlo aclarado. Queda así si consideras que también debe valer la implicación cuando j=0.

No me queda del todo claro que esté bien el final de tu razonamiento aunque te aproximas bastante.

Cita de: ismael4790
Citar
Ahora muestra que \( \displaystyle d(\epsilon)=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon))\} \) puede ser el d que menciona la propiedad.
Por ser \( d(\epsilon) \) ese mínimo, es el menor de todos los \( \delta(d_j(\epsilon)) \), y por lo anterior, también menor que todos los \( d_j(\epsilon) \)

Ahora, queremos ver si \( |x-x_0|<d(\epsilon)\Rightarrow |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon \).
Si \( m\leq{}k \), entonces como \( d(\epsilon)<d_j(\epsilon) \forall{j} \),tendríamos por lo siguiente:

Citar
\( |x-x_0|<d_j(\epsilon) \Rightarrow |f^j(x)-f^j(x_0)|<\epsilon \)
que \( |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon \).

Hasta aquí todo bien.

Cita de: ismael4790
Por otro lado, si \( m>k \), entonces \( m=qk+r \) con \( r<k \) y  \( q>0 \).

Tenemos \( |f^m(x)-f^m(x_0)|=|f^{kq}(f^r(x))-f^{kq}(f^r(x_0))|=|g^q(f^r(x))-g^q(f^r(x_0))| \)


No está mal pero yo armaría la composición al revés, porque armándola así no veo cómo seguir (y me parece que te embrollas también):

\( |f^m(x)-f^m(x_0)|=|f^r(g^q(x))-f^r(g^q(x_0))| \)

De esta manera se puede razonar así: si \( |x-x_0|<d\leq\delta(d_r(\epsilon)) \) entonces \( |g^q(x)-g^q(x_0)|<d_r(\epsilon) \) y entonces, \( |f^r(g^q(x))-f^r(g^q(x_0))|<\epsilon \)

Un abrazo.

08 Noviembre, 2010, 12:15 am
Respuesta #4

León

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En realidad releyendo lo que hiciste me parece entenderlo, y no está mal. No estás siguiendo exactamente el plan que te propuse (que es lo que yo hago en el mensaje anterior) pero lo que dices es una alternativa perfectamente válida y no te embrollas nada -aunque sí se podría simplificar un poquito el razonamiento para hacer mas fácil la lectura.


08 Noviembre, 2010, 02:44 pm
Respuesta #5

ismael4790

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En realidad releyendo lo que hiciste me parece entenderlo, y no está mal. No estás siguiendo exactamente el plan que te propuse (que es lo que yo hago en el mensaje anterior) pero lo que dices es una alternativa perfectamente válida y no te embrollas nada -aunque sí se podría simplificar un poquito el razonamiento para hacer mas fácil la lectura.

Ok. De todos modos me quedo con tu versión, que me parece más clara.  ;D

Gracias por todo, especialmente por la idea del primer mensaje, que me sacó del atolladero.
Antes, lo había intentado demostrar de otras maneras, y ninguna me daba resultado.

Un saludo.