[murciano007]

Facilitar la ecuación recurrente homogénea, junto con las condiciones iniciales, que tengan como solución:

\( x_n=2^n+2^n^-^1+2(-3)^n \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Dependiendo de los conocimientos previos sobre ecuaciones homogéneas el resultado es más o menos rápido.

 En primer lugar tu ecuación puede escribirse como:

\(  x_n=3\cdot 2^{n-1}+2(-3)^n \)

 Teniendo en cuenta que en el término general aparecen las potencias de \( 2 \) y de \( -3 \), estás deben de ser las raíces del polinomio característico asociado a la misma:

\(  (x-2)(x+3)=x^2+x-6 \)

 Por tanto la ecuación queda:

\(  x_n=-x_{n-1}+6x_{n-2} \)

 Necesitas dos condiciones iniciales (¿por qué?); para hallarlas simplemente evalúa \( x_1,x_2 \).

Saludos.

[murciano007]

Hola


No sé como llegas desde esta ecuación ( que si entiendo como das con ella):

\(  (x-2)(x+3)=x^2+x-6 \)

Ha esta otra:

\(  x_n=-x_{n-1}+6x_{n-2} \)

A mi lo que me sale es:
\( S_n=(-2)^n+3^n \)

De las sucessiones:

\( 1,-2,(-2)^2,(-2)^3,...,(-2)^n ...y 1,3,3^2,3^3,...,3^n... \)

Saludos.

[Fernando Revilla]

No sé si he entendido tu duda. Fíjate que la expresión \(  x_n=3\cdot 2^{n-1}+2(-3)^n \) que te ha dado el_manco es equivalente a \(  x_n=(3/2)\cdot 2^{n}+2(-3)^n \) con lo cual es una solución particular de una general del tipo \( x_n=C_12^n+C_2(-3)^n \) que como se ha comentado, ha de provenir de una relación de recurrencia de ecuación característica \( x^2+x-6=0 \) o de forma equivalente \( x_n+x_{n-1}-6x_{n-2}=0 \). Por otra parte \( x_0=...=7/3 \) y \( x_1=...=-3 \) son las condiciones iniciales.

[Luis Fuentes]

Hola

 Dos preguntas, murciano007 para ver si nos aclaramos o no:

 i) ¿Sabes lo que es la ecuación característica asociada a una relación de recurrencia?.

ii) ¿Comprendes qué es lo que te está pidiendo el problema?

 Esta última pregunta viene a cuento, porque en tu anterior post dices que has obtenido:

\( S_n=(-2)^n+3^n \)

 ¿Qué quieres decir con que has obtenido eso? ¿Eso qué es? La solución al problema no; ésta debe de ser una relación de recurrencia y no una fórmula explícita para un término general (que es precisamente el dato que te dan).

Saludos.

[murciano007]

Vale ahora si lo entiendo, Estoy estudiando el tema y ando perdido por eso puse la barbaridad de antes.

Ahora como evaluamos la ecuación resultante

\(  x_n=-x_{n-1}+6x_{n-2}  \)

Es decir, como podemos sacar los valores iniciales a raíz de dicha ecuación.

Gracias a los dos.

saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Es que los valores iniciales no los puedes sacar a partir de la ecuación en recurrencia; precisamente normalmente son un dato adicional que nos permiten resolverla por completo.

 En tu caso los valores inciales los sacas del dato que te dan:

\( x_n=2^n+2^{n-1}+2(-3)^n \)

 Puedes hallar \( x_1,x_2 \).

Saludos.

[murciano007]

Hola el_manco,

sería un ejemplo parecido este:

Calculad la solucion general de la ecuación  recurrente:

\( x_n-6x_n_-_1+12x_n_-_2-8x_n_-_3=0 \)

La ecuación característica es:

\( x^3-6x^2+12x-8=0 ,(t-2)^3=0 \)

Sabiendo que x tiene una única raíz t=2 de multiplicidad 3  podemos formar las tres soluciones.

\( x_n=2^n, x_n= n 2^n^-^1,  x_n=n(n-1)^n^-^2 \)

Así la solución general es:

\( C_12^n + C_2 n 2^n^-^1+  C_3n(n-1)^n^-^2 \)

donde \( C_1,C_2 y C_3 \) son constantes

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿El qué sería un ejemplo parecido a ese? ¿Tu ejercicio? Psss.. depende de lo que se entienda por parecido.

 Obviamente ambos son sobre recurrencias lineales; por lo demás son dieferentes; de alguna manera uno es el opuesto del otro.

 En el que proponías en este hilo: nos dan el término general y a partir de ahí debemos de deducir la ecuación de recurrencia.

 En el ejemplo que pones ahora: nos dan la ecuación de recurrencia y a partir de ahí debemos de saber el término general.

 Pero no sé muy bien que quieres aclarar con ese ejemplo. Ahora mismo, ¿dónde están tus dudas?.

Saludos.

[murciano007]

Es este ejercicio en concreto, no sé como evaluar para sacar \( x_1,x_2  \)

De todas maneras no te preocupes, poco a poco y leyendo el tema voy comprendiendo más ejercicios sobre las ecuaciones recurrentes.

Ahora pondré otro mensaje sobre otro ejercicio que ese lo entiendo mejor a ver.

saludos.