[Quema]

Hola
Dada una variable aleatoria \( X \) y media \( b \) y soporte [a,A]. Definimos

\( E \left\|{X-b}\right\|^p \).

1) Se cumple que \( E \left\|{X-b}\right\|^p\leq{}\displaystyle\frac{(A-a)^p}{2^p} \) para todo \( p\geq{}1 \)? ¿Hasta que p esta desigualdad sigue siendo cierta? (creo que solamente hasta \( p=2 \)).
2) De no serlo es posible hallar una desigualdad del estilo:\( E \left\|{X-b}\right\|^p\leq{}\displaystyle\frac{(A-a)^p}{c(p)^p} \) para una función \( c(p) \).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 A bote pronto no encuentro ningún ejemplo en el que la desigualdad falle para ningún \( p \) (si bien es cierto que los casos que he probado son bastante trivales - básicamente distribuciones uniformes). Pero tengo que pensarlo más...

Saludos.

[Quema]

Hola

Por ejemplo, \( P(X=3)=\displaystyle\frac{4}{5} \) y \( P(X=-1)=\displaystyle\frac{1}{5} \) entonces \( E\left |{X-2.2}\right |^4=21.3 \) y \( \displaystyle\frac{(3+1)^4}{2^4}=16 \).

La desigualdad es cierta para \( 1\leq{}p\leq{}2 \), pero sería interesante ver qué mínima cota puede encontrarse sabiendo únicamente \( a,A,p \), siendo \( p>2 \).

Se me ocurrió lo siguiente: Como la desigualdad es cierta para \( 1\leq{}p\leq{}2 \) que \( E\left |{X-\mu}\right |^p\leq{}\displaystyle\frac{(A-a)^p}{2^p} \) y además es cierto para todo \( p>0 \)que \( E\left |{X-\mu}\right |\leq{}(A-a)^p \), entonces uno siempre puede encontrar un \( c\in{}[1,2] \) tal que \( E\left |{X-\mu}\right |^p\leq{}\displaystyle\frac{(A-a)^p}{c^p} \).

[Luis Fuentes]

Hola

 Bien. Veo que tienes un contrajemplo para \( p>2 \).

 Por otra parte no entiendo que quieres conseguir con esa \( c \).

Saludos.

 

[Luis Fuentes]

Hola

 Inspirado en tu ejemplo he estado experimentando con la siguiente familia de variables aleatorias. Dado un \( x \) con \( 0<x<1 \) construimos la v.a. discreta:

\(  P(X=0)=x,\quad P(X=1)=1-x \)

 Trabajando con el Mathematica conjeturo que  la mejor cota posible para cualquier \( p\geq 4 \) es:

 \( E||x-b||^p\leq \dfrac{(A-a)^p}{p\cdot e} \)

 donde \( e \) es el "famoso" número \( e \).

 Experimentalmente he visto que esa cota funciona para esa familia de ejemplos y además asintóticamente es la mejor cota posible.

 Falta:

 i) Probar formalmente que esa cota es cierta para la familia de ejemplos.
ii) Probar (o refutar si fallase) que esa cota es válida para cualquier v.a.

Saludos.

[Quema]

Hola

Esa cota para \( p\geq{}4 \) parece interesante, habría que ver como se prueba.

El tema es cómo se vincula esa cota cuando \( p=2 \), pues en ese caso la mejor cota posible es \( \displaystyle\frac{(A-a)^2}{4} \).

Saludos

[Quema]

Hola

Lo que no me gusta de la cota \( E||x-b||^p\leq \dfrac{(A-a)^p}{p\cdot e} \) mirándola de nuevo es que en el denominador \( p \)está multiplicando. Para \( p \)muy grandes esa expresión tendería a cero, intuyo que no sea una cota general.

Una forma que pensé de hacer (no se si ayuda) es:

Quiero encontrar un \( c(p) \)tal que: \( E||x-b||^p\leq \dfrac{(A-a)^p}{c(p)^p} \). Entonces defino

\( T(p)=E||x-b||^p-\dfrac{(A-a)^p}{c(p)^p} \) y bajo qué condiciones de \( c(p) \) se tiene que \( T(p) \) es negativa para todo \( p\geq{}1 \). Obviamente \( c(2)=2 \).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que no me gusta de la cota \( E||x-b||^p\leq \dfrac{(A-a)^p}{p\cdot e} \) mirándola de nuevo es que en el denominador \( p \)está multiplicando. Para \( p \)muy grandes esa expresión tendería a cero, intuyo que no sea una cota general.

No. No te confundas. Cuidado:

\( \dfrac{1}{pe} \) tiende a \( 0 \) cuando \( p \) tiende a infinito

igual que:

\( \dfrac{1}{2^p} \) tiende a \( 0 \) cuando \( p \) tiende a infinito

Es más para \( p\geq 4 \) se tiene que:

\( \dfrac{1}{pe}\geq \dfrac{1}{2^p} \)

es decir, la cota que propongo es mayor que la que tu sugerías al principio y que tu mismo viste que no funciona; la cota que propongo tiende a cero más lentamente.

Además he comprobado empíricamente (haciendo cuentas por ordenador y salvo que me haya equivocado al poner las cosas me da una seguridad del 99%) que esa es la mejor cota posible asintóticamente para la familia de ejemplos con la que he trabajado. ¿Qué quiere decir asintóticamente?.

Quiere decir que cuanto más grande se hace \( p \) el mayor valor posible que puede tomar \( E\|x-b\|^p \) más se aproxima a la cota propuesta.

Una forma que pensé de hacer (no se si ayuda) es:

Quiero encontrar un \( c(p) \)tal que: \( E||x-b||^p\leq \dfrac{(A-a)^p}{c(p)^p} \). Entonces defino

\( T(p)=E||x-b||^p-\dfrac{(A-a)^p}{c(p)^p} \) y bajo qué condiciones de \( c(p) \) se tiene que \( T(p) \) es negativa para todo \( p\geq{}1 \). Obviamente \( c(2)=2 \).

De lo dicho anteriormente se deduce además que cualquier otra cota, a medida que se hace grande \( p \), no podrá ser más que un poco inferior a la propuesta por mi. Es decir la mejor cota posible tiene que verificar (con tu notación) que:

\( \dfrac{1}{c(p)^p}\geq \dfrac{1}{pe+\epsilon} \)

Es decir aproximadamente al menos tiene que cumplirse que:

\( c(p)^p\leq pe \)

es decir:

\( c(p)\leq \sqrt[p]{pe} \)

Esto además lleva a pensar que si uno pretende encontrar una cota general lo más natural no es esperar encontrar algo "sencillo" de la forma \( c(p)^p \) (complícándolo cualquier función se puede expresar de es forma) si no más bien alguna cota con denominador cuasilineal en \( p \).

En cuanto como se relaciona mi conjetura con la cota para \( p=2 \),... pues ya he dicho que mi cota solo conjeturo que sea válida para \( p\geq 4 \).

Saludos.

[Quema]

Hola

Probé la conjetura para una v.a. que toma cuatro valores y parece también cumplirse. Ahora \( t(p)=E\left |{X-\mu}\right |^p \), creo que \( t(p) \) es una función convexa, no? La convexidad de: \( \displaystyle-\frac{(A-a)^p}{pe} \) es un poco más difícil de establecer. Estoy pensando en estudiar la convexidad de:

\( g(p)=E\left |{X-\mu}\right |^p-\frac{(A-a)^p}{pe} \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 La verdad que esta cuestión que planteas me está intrigando bastante.

 En primer lugar nota que para simplificar podemos suponer \( a=0, A=1 \), es decir, trabajar con v.a.s en el intervalo \( [0,1] \). Basta tener en cuenta que para una v.a. \( X \) en \( [a,A] \) podemos definir:

 \( Y=\dfrac{x-\colo{red}a\color{black}}{A-a} \)

CORREGIDO
 
 que tiene soporte en \( [0,1] \) y cumple:

\(  E|Y-\mu(Y)|^p=\dfrac{E|X-\mu(X)|^p}{(A-a)^p} \)

 Por tanto mi conjetura se simplifica a:

\(  E|Y-\mu|^p\leq \dfrac{1}{pe} \)

 Por otra parte el problema es intersante incluso sólo para las variables de Bernoullo que estuve estudiando; de hecho me extraña que buceando en bibliografía no se encuentre estudiado y resuelto en algún sitio. Para mis variable se tiene que:

\(  E|Y-\mu|^p=x(1-x)^p+(1-x)x^p \)

 Luego el problema se reduce a maximizar:

 \( f_p(x)=x(1-x)^p+(1-x)x^p \) en \( [0,1] \)

 y mi conjetura a que:

 \( f_p(x)\leq \dfrac{1}{pe} \) para todo\(  x\in [0,1] \) y \( p\geq 4 \).

 Si la cota es cierta no parece que debiera de ser tan difícil de probar para este caso. Pero no me sale. He obtenido sin embargo:

\(  f_p(x)\leq \dfrac{1}{p+1}\left(1-\dfrac{1}{2^p}\right) \)

 cota que para \( p \) bajo funciona bastante bien pero para \( p \) alto es mucho peor que la conjetura.

Saludos.