[Quema]

Hola

Además si fijo \( p=4 \) la función \( g(x)=x(1-x)^4+x^4(1-x) \) es simétrica respecto a \( x=0.5 \), no? Por lo tanto el máximo que se encuentre para \( x\in{}(0,0.5) \) es igual al de la \( x\in{}(0.5,1) \), no?
Por ejemplo \( x(1-x)^4 \) tiene un máximo en \( x=0.2 \)para \( x\in{}(0,0.5) \) y por lo tanto \( p=4,g(x) \)tendrá maximos cuando \( x=0.2 \)y \( x=0.7 \).

Si maximizo \( g(x)=x(1-x)^p \) el máximo se dará en \( x=\displaystyle\frac{1}{1+p} \), si sustituyo entonces \( h(p)=\displaystyle\frac{1}{1+p}(\displaystyle\frac{p}{1+p})^p \) y este valor también será el máximo de la función \( f(p) \)

Ahora si se cumple que: \( \displaystyle\frac{1}{1+p}(\displaystyle\frac{p}{1+p})^p\leq{}\dfrac{1}{pe} \) se cumplirá para toda la función \( f(p) \). Ahí creo que puedo tomar logaritmos neperianos y creo que se prueba fácil, si es que todo lo que puse está bien.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 El problema es que es falso que si \( g(x)=x(1-x)^p \) alcanza un máximo en \( x_0 \) entonces f(x)=g(x)+g(1-x) alcance el máximo en el mismo punto o que el máximo de \( g(x) \) sea el mismo que el de \( f(x). \)

 En todo caso el máximo de \( f(x) \) puede ser acotado (acotando sus dos sumandos) por el dos veces el máximo de \( g(x) \) lo que nos dejaría una cota doble de la que buscamos.

 Si es cierto de manera intuitiva que el máximo de \( g(x) \) "se parecerá mucho" al de \( f(x) \) porque si \( g(x) \) es grande entonces \( g(1-x) \) es pequeño y hace que la diferencia entre \( f(x) \) y \( g(x) \) sea a su vez pequeña.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bien. Tu idea se puede refinar para conseguir una muy buena cota.

 1) Como bien dices basta maximizar la función \( f(x)=g(x)+g(1-x) \) siendo \( g(x)=x(1-x)^p \) en el intervalo \( [0,0.5) \).

 2) Como bien has justificado:

 \( g(x)\leq \dfrac{1}{p+1}\left(\dfrac{p}{1+p}\right)^p \) para todo \( x\in [0,0.5) \)

 3) Ahora nos queda acotar \( h(x)=g(1-x)=(1-x)x^p \) en \( [0,0.5) \). Pero:

 \( h'(x)=-x^p+p(1-x)x^{p-1}=x^{p-1}(p-px-x)\geq x^{p-1}(p-p/2-1/2)\geq 0 \)

 Es decir la función es creciente en ese intervalo y así:

\(  h(x)\leq h(0.5)=\dfrac{1}{2^{p+1}} \)

 4) Combinando dos y tres obtenemos:

\(  f(x)\leq \dfrac{1}{p+1}\left(\dfrac{p}{1+p}\right)^p+\dfrac{1}{2^{p+1}} \)

 5) Es interesante observar que esa cota aunque más "fea" es mejor que la que yo proponía \( 1/(pe) \) para \( p\geq 8 \) y a media que crece \( p \) se aproxima cada vez más al máximo exacto.

 Esto se ve muy bien en la siguiente tabla: la primera columna es el valor de \( p \), la segunda el valor exacto del máximo, la tercer la cota obtenida en (4) y la cuarta la cota \( 1/(pe) \).



Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Es momento de pasar al caso general y se me ocurre una idea.

 En el caso de \( p=2 \) (caso sencillo de desigualdades tipo Grüss) las demostraciones se basaban en probar primero que:

 \( E|X-b|^2\leq b(1-b) \)

 Luego se optimizaba \( b(1-b) \) en \( [a,A] \) y en realidad ya hemos visto que podemos limitarnos al caso \( [a,A]=[0,1]. \)

 Bien de igual forma creo que en general una buena idea sería probar que:

\(  E|X-b|^p\leq b(1-b)^p+(1-b)b^p \)  (*)

 y luego optimizar \( b(1-b)^p+(1-b)b^p \) en \( [0,1] \). Pero eso ¡lo acabamos de hacer con las Bernoulli!.

 Mi intuición es que (*) debe de salir. Se me ocurría algo así:

\(  E|X-b|^p=\displaystyle\int_{0}^{1}|X-b|^pdF(x)=\displaystyle\int_{0}^{b}|X-b|^pdF(x)+\displaystyle\int_{b}^{1}|X-b|^pdF(x) \)

 Suponiendo que \( b\leq 1/2 \) podría funcionar (aunque tengo muchas dudas y necesito "reposar" la idea) que:

\(  \displaystyle\int_{0}^{b}|X-b|^pdF(x)\leq b^p(1-b) \)

\(  \displaystyle\int_{b}^{1}|X-b|^pdF(x)\leq (1-b)^pb \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ah, y una última observación. En realidad estoy trabajando con:

\(  E|X-b|^p \)

 es decir considerando el valor absoluto de \( |X-b| \). Esto no es exactamente la definición de momento central de una v.a. Coincide para los \( p \) pares pero no para los impares. Para los impares la cota obtendia es válida pero quitando el valor absoluto, es razonable pensar que la cota puede ser mejorada. Sin embargo de nuevo unos cálculos en Mathematica muestran que en cuanto crece un poco \( p \) los valores máximos con y sin valor abosulto son casi los mismos. Esto es razonable: las mayores diferencias aparecen para variables simétricas. Pero los máximo se obtienen con variables muy sesgadas; por tanto toda la probabilidad está acumulada a un lado de la media. Y que haya unos "pocos" puntos con otro signo apenas modifica el valor del operador esperanza.

Saludos.

[Quema]

Hola

No me gusta que la cota dependa de la media. Pues la cota de Gruss no depende de su media.

¿No hay forma que dependa solamente de \( p \)?


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Relee todo con calma. La cota NO depende de la media. La cota es la que obtuve para las Bernoulli, es decir, tendríamos en definitiva que:

\(  E|X-b|^p\leq \dfrac{1}{p+1}\left(\dfrac{p}{1+p}\right)^p+\dfrac{1}{2^{p+1}} \)  (1)

 Esta otra desigualdad:

\(  E|X-b|^p\leq b(1-b)^p+(1-b)b^p \)

 es un paso intermedio (de hecho el que falta por confirmar); si es cierta, de ahí ya hemos visto que la función:

 \( f(b)=b(1-b)^p+(1-b)b^p \) en \( [0,1] \)

 está acotada por:

\(  \dfrac{1}{p+1}\left(\dfrac{p}{1+p}\right)^p+\dfrac{1}{2^{p+1}} \)

 y por tanto tendríamos probado (1).

 Por cierto me suena que alguna vez me has comentado/preguntado algo sobre una igualdad/desigualad que involucra la probablidad de una v.a. hasta su media. En concreto si tenemos una v.a. con soporte \( [a,A] \) y media \( B \), ¿te suena algún resultado que hable de?

 \( P(X\leq B) \)

 ó equivalentemente de la integral:
 
 \( \displaystyle\int_{a}^{B}f(x)dx \)

 siendo \( f(x) \) la densidad.

 Podría sernos útil. A mi me suena que algo parecido comentamos alguna vez, pero no estoy seguro.

Saludos.

[Quema]

Hola

No recuerdo, estoy mirando.

Pero nos interesa estudiar alguna cota de \( F(B) \), pero si la v.a. es simétrica eso es igual a 0.5, no?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 No estoy seguro de que llamas ahora a \( F(B). \)

 Si la variable es simétrica en \( [0,1] \) su media es \( 0.5 \) y si nuestras cotas funcionan, tendríamos:

 \( E|X-0.5|^p\leq \dfrac{1}{2^p} \)

Saludos.

[Quema]

Hola

\( F \) es la función de distribución acumulada, no?

A ver si entiendo bien.

¿Es cierto que: \(  E|X-b|^p\leq \dfrac{1}{p+1}\left(\dfrac{p}{1+p}\right)^p+\dfrac{1}{2^{p+1}} \) se cumple para cualquier v.a.con soporte en \( [0,1] \)?

Además si \( b=0.5 \) entonces \( \left |{X-0.5}\right |^p\leq{}\displaystyle\frac{1}{2^p} \) (pues \( \left |{X-0.5}\right |\leq{}\displaystyle\frac{1}{2} \)) y por lo tanto la conjetura para v.a. simétricas es cierta, no? Y por lo tanto podemos decir que dada una v.a.simétrica con soporte \( [a,A] \) se cumple que:

\( E \left|{X-b}\right|^p\leq{}\displaystyle\frac{(A-a)^p}{2^p} \) para todo \( p>0 \)

Está bien?

De estarlo, me parece que la clave para generalizarlo para v.a. no simétricas está en ver si \( \mu(X)\geq{}\displaystyle\frac{A+a}{2} \), ahi si se cumpliría pues quedaría algo así \( \left |{Y-\mu(Y)}\right |\leq{}\left |{Y-\displaystyle\frac{1}{2}}\right | \)


Saludos

PD No entiendo por qué dices que \( Y=\dfrac{x-A}{A-a} \) tiene soporte en \( [0,1] \), hay algo que no cierra. Toma \( x<A \) y el numerador es negativo. Me parece que quisiste poner \( Y=\dfrac{x-a}{A-a} \)