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Nota: Este thread forma parte del tema

Construcción de los Sistemas Numéricos

Construcción de los Sistemas Numéricos.

Sección 2. Números Enteros.

(Continúa desde el thread-maestro...)

Subsección 2.1. Ideas y motivaciones para los números enteros.

Los números enteros son, intuitivamente, números naturales que pueden tener un signo positivo o negativo.
La necesidad de ampliar el sistema de los números naturales a un sistema mayor, proviene de que la operación de "resta" no puede definirse con toda "comodidad" para los números naturales.

Dados \( a, b\in {N} \), podemos plantear la ecuación:

\( a+x=b \)

Cuando \( a < b \), dicha ecuación tiene solución, y es única.
O sea hay un y sólo un valor de \( x\in {N} \) que hace cierta la igualdad.
Se define la resta de \( b \) y \( a \) como ese único valor posible \( x \).
Se denota:

\( x= b-a \)

Cuando no es cierto que \( a < b \), la ecuación no tiene soluciones en \( {N} \), y por lo tanto la "resta" queda indefinida en ese caso.
Surge entonces la idea de completar el campo numérico para que la resta siempre sea posible.
Además, se exigirá que las propiedades usuales de la suma y el producto sigan valiendo, y que el sistema de los naturales sea un subsistema de este nuevo campo.

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Subsección 2.2. Más comentarios preliminares sobre los números enteros.

El primer gran descubrimiento o invento sería el número \( 0 \), cuyo significado es la resta de dos cantidades iguales.
A partir del \( 0 \), se puede pensar en un sistema de números negativos, que serían la contraparte refleja de los naturales.
Serían una copia de los naturales en todo sentido, salvo que al multiplicar dos de ellos se obtiene además un cambio de signo.

Esos elementos agregados se llaman "negativos", y forman una lista infinita, claramente coordinable con \( {N} \): \( -1,-2,-3,-4,... \)
La idea básica es que, cuando \( b < a \), la resta \( b - a \) se definirá igual al "negativo" de \( a-b \).
Por ejemplo, \( 3 - 8 \) se define como el negativo de \( 8 - 3 = 5 \), o sea, \( 3 - 8 = -5 \).

Una interpretación intuitiva de los números negativos es que denotan la "cantidad que falta para llegar a \( 0 \)".
Por ejemplo, si la temperatura en un día helado es de \( -3 \) grados, quiere decir que la temperatura debe subir \( 3 \) grados aún para llegar a \( 0 \) grados, el punto de descongelación del hielo.
También pensamos en el \( 0 \) como "ausencia de cantidad".

Pero bueno. La verdad es que todas esas introducciones intuitivas de los números enteros no me entusiasman.
Me interesa la matemática sólida del asunto, y eso es lo que vamos a llevar a cabo a continuación.

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Primero vamos a enumerar las propiedades que los números enteros deben tener, indicándolas a través de un sistema de Axiomas.
Luego vamos a demostrar que efectivamente existe un sistema que cumple los Axiomas de los Números enteros.
O sea, llevaremos a cabo una "construcción" de los números enteros.


Subsección 2.3. Axiomas de los Números Enteros.


Los entes primitivos del Sistema Axiomático de los números enteros serán \( Z, +,\cdot, 0, 1,  \leq \).
Los Axiomas de los números enteros son los siguientes:

• Axioma 1. El quinteto \( (Z,+,\cdot,0,1) \) es un anillo conmutativo con identidad 1.
  Los detalles de lo que esto significa se listan a continuación:
  
  
  Detalles del Axioma 1

  • \( Z \) es un conjunto no vacío. Se llama conjunto de números enteros.
  • \( + \) y \( \cdot \) son operaciones binarias que se aplican a elementos de \( Z \), y su resultado es de nuevo un elemento de \( Z \). Se llaman suma y multiplicación.
  • Las operaciones \( +,\cdot \), son asociativas. O sea, si \( a, b, c\in Z \), entonces:
    \( (a+b)+c=a+(b+c),\quad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) \)
    
  • Las operaciones \( +,\cdot \), son conmutativas. O sea, si \( a, b\in Z \), entonces:
    \( a+b=b+a,\quad a\cdot b=b\cdot a \)
  • \( 0 \) y \( 1 \) son elementos de \( Z \). Además son distintos: \( 0\neq 1 \).
  • El \( 0 \) es neutro para la suma, y el \( 1 \) es neutro para el producto. O sea, si \( a\in Z \), entonces:
    \( a+0=a,\quad a\cdot 1=a \)
  • Todo elemento de \( Z \) tiene un inverso aditivo (también se llama opuesto).
    O sea, si \( a\in Z \), entonces existe \( b\in Z \) (el inverso aditivo de \( a \)) tal que \( a+b=0 \). Se le denota como \( b = -a \).
  • El producto distribuye a la suma. Es decir, si \( a, b, c\in Z \), entonces:
    \( (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c) \)

  [cerrar]
  
  
• Axioma 2. \(  \leq \) es una relación de orden total en \( Z \).
  
  
  Detalles del Axioma 2

  Esto quiere decir que, si \( a,b,c\in Z \), entonces:
  

  • Reflexividad: \( a \leq a \)
  • Antisimetría: \( a \leq b, b \leq a\Rightarrow{ a \leq a} \)
  • Transitividad: \( a \leq b, b \leq c \Rightarrow{ a \leq c} \)
  • Tricotomía: \( a \neq b \Rightarrow{} a\leq b\textsf{\ ó\ } b \leq a \)

  
  Se definen las relaciones \( <, >, \geq \) de la siguiente manera:
  

  • \( a < b \) significa \( a \leq b \) y \( a\neq b \).
  • \( a \geq b \) significa \( b \leq a \).
  • \( a > b \) significa \( a \geq b \) y \( a\neq b \).

  [cerrar]
  
  Se dice que un elemento \( m\in Z  \) es positivo si \( m > 0 \), y se dice negativo si \( m < 0 \).
  Se dice que un elemento \( m\in Z \) es no negativo si \( m \geq0 \), y se dice no positivo si \( m  \leq 0 \).
  
  
• Axioma 3. Si \( A \) es un subconjunto no vacío de \( Z \), acotado inferiormente, entonces \( (A, \leq) \) es un sistema bien ordenado, o sea,  \( \leq \) es un buen orden en \( A \). Esto significa lo siguiente:
  
  
  Detalles del Axioma 3

  • Existe un elemento \( s \in Z \) que es menor o igual que todo elemento de \( A \), o sea,
    para todo \( a\in{A} \) vale \( s \leq a \).
    El elemento \( s \) se llama una cota inferior de \( A \).
  • El elemento \( s \) puede o no estar en \( A \).
  • Finalmente, la propiedad de buen orden en \( A \) quiere decir que si \( B \) es cualquier subconjunto no vacío de \( A \), hay un elemento \( m\in{B} \) que es el mínimo de \( B \), o sea, para todo \( b\in{B} \) se tiene \( m \leq b \).

  [cerrar]
  
  
• Axioma 4. La suma y el producto son monótonas respecto el orden \( \leq \)
  Esto quiere decir que, para cualesquiera \( a, b, c\in Z \):
  
  • Si \( a < b \) entonces \( a+c<b+c \).
  • Si \( a < b \) y \( c>0 \), entonces \( a\cdot c<b\cdot c \).

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A partir de los Axiomas vamos a demostrar que el sistema de números enteros se comporta como esperamos, vale decir, que los números enteros positivos se comportan como los números naturales, que los números negativos son un "reflejo" de los números positivos, y que \( Z \) no contiene más elementos que los positivos, negativos y \( 0 \).

Para ello definimos \( Z^+ \) como el conjunto de números enteros positivos y \( Z^- \) como el conjunto de números enteros negativos.

En primer lugar, probemos algunas propiedades elementales.

Subsección 2.4. Propiedades Elementales de los Números Enteros.

Definición. Dados \( a,b\in Z \), se define la resta de \( a \) y \( b \) como \( a - b=a+(-b) \).

Lema 1. El producto de cualquier número entero por \( 0 \) es igual a \( 0 \).

Demostración (abrir desplegable)

Como \( 0+0=0 \), tenemos que \( 0 =-0 \).
Por ser \( 1 \) neutro del producto, vale que: \( 0.{}1 = 0 \).
Luego \( 0=0\cdot{}1=0\cdot(1+0)=0\cdot1+0\cdot0=0+0\cdot0=0\cdot0 \). O sea, \( 0\cdot0=0 \).
Por otro lado \( 0\cdot(-1)=0\cdot(-1)+0=0\cdot(-1)+0\cdot1=0\cdot(-1+1)=0\cdot0=0 \). Así que \( 0\cdot(-1) = 0 \).
Ahora \( a\cdot0=(a\cdot0)\cdot1, a\cdot0=a\cdot(0\cdot(-1))=(a\cdot0)\cdot(-1) \).
Se sigue que \( a\cdot0=a\cdot0\cdot0 =(a\cdot0)\cdot1+(a\cdot0)\cdot(-1)=a\cdot0+(a\cdot0)\cdot(-1) \).
Sumamos \( -a\cdot0 \) a ambos miembros y obtenemos \( 0=(a\cdot0).(-1)=a\cdot(0\cdot(-1))=a\cdot0 \).
O sea, \( a\cdot0=0 \).

[cerrar]

Lema 2. Para todo número entero \( a \), su inverso aditivo satisface: \( -a=(-1)\cdot a \).

Demostración (abrir desplegable)

Aplicando ley distributiva, y el hecho de que \( -1 \) es el opuesto de \( 1 \), tenemos que:
\( a+(-a)=0=a\cdot0=a\cdot(1+(-1))=a\cdot1+a\cdot(-1)=a+a\cdot(-1). \)
Sumando \( -a \) a ambos miembros obtenemos:
\( 0+a=a\cdot(-1)=(-1)\cdota \)
Luego \( a = (-1)\cdota \).

[cerrar]

Lema 3. 1 > 0.

Demostración (abrir desplegable)

En efecto, como \( 1 \neq 0 \), por tricotomía (Axioma 2) sabemos que \( 1 < 0 \) o que \( 0 < 1 \).
Si fuera \( 1<0 \), sumamos \( -1 \) a ambos miembros y obtenemos \( 0 < -1 \) (Axioma 4), por lo tanto\(  -1  \) es positivo.
Ahora multiplicamos la desigualdad \( 1 < 0 \) a ambos miembros por \( c = -1 \), que es positivo, aplicamos monotonía (Axioma 4) y obtenemos que \( -1 = 1\cdot(-1) < (-1)\cdot(-1) \).
Por Lema 2, tenemos que \( (-1)\cdot(-1) = -(-1) \).
Pero el opuesto de \( -1 \) es \( 1 \), porque \( 1+(-1)=0 \).
Así que \( -1<1 \). Pero \( 1 < 0 \), y por transitividad resulta que \( -1 < 0 \).
Esto contradice la desigualdad \( 0<-1 \) que obtuvimos al inicio.

Así que sólo puede ser \( 0 < 1 \).

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Lema 4. Un número entero \( a \) es positivo si, y sólo si, \( -a \) es negativo.

Demostración (abrir desplegable)

Si \( 0<a \), sumando miembro a miembro \( -a \) obtenemos \( -a = -a+0<-a+a=0 \).
La recíproca se prueba igual.

[cerrar]

Lema 5. Sea \( a\in Z \). Si \( a > 0  \) entonces \( a \geq1 \).

Demostración (abrir desplegable)

Sea \( A \) el conjunto de todos los números enteros \( a \) tales que \( 0<a< 1 \).
Supongamos que \( A \) es no vacío.
En tal caso, como \( A \) tiene a \( 0 \) como cota inferior, está bien ordenado respecto \(  \leq \).
En particular, \( A \) tiene un elemento mínimo, digamos \( m \).
Tenemos pues, \( 0 < m < 1 \).
Multiplicando miembro a miembro por \( m \), que es positivo, resulta que \( 0=0\cdot m<m\cdot m <m\cdot 1<1 \).
Pero entonces hemos hallado un número entero \( n = m\cdot m \) que es estrictamente menor que \( m \) y que cumple \( 0<n<1 \), lo cual contradice la minimalidad de \( m \).
Esta contradicción muestra que si \( a>0 \), necesariamente debe ser \( a \geq1 \).

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Lema 6. Si \( a,b\in Z \) son tales que \( a \leq b \), entonces \( -b \leq -a \).

Demostración (abrir desplegable)

Ciertamente \( -a \) y \( -b \) han de estar ordenados uno respecto el otro, por Tricotomía.
Si \( -a < -b \), entonces \( 0=a+(-a)   \leq b+(-a)<b+(-b)=0 \), que da el absurdo \( 0<0 \).
Por lo tanto \( -b \leq -a \).

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Subsección 2.5. Existencia de un subsistema de Números Naturales inmersos en los Números Enteros.

Teorema 1. Si se define en \( Z \) la función \( S:Z\to Z \) mediante \( S(n)=n+1 \), la terna \( (Z^+,1,S) \) es un sistema que satisface los Axiomas de Peano de los números naturales.

Demostración (abrir desplegable para detalles)

El conjunto \( Z^+ \) de números positivos es no vacío.
En efecto, por Lema 3, \( 1 > 0 \), así que 1 es un elemento de \( Z^+ \).
Esto también sirve al segundo axioma de números naturales.
Sea \( n\in Z^+ \). Se tiene que \( S(n) \in Z^+ \).
En efecto, \( S(n)=n+1 \).
Aplicando Axioma 4, tenemos que \( n=n+0<n+1 \), pues \( 0<1 \).
Dado que \( 0<n, n<S(n) \), aplicamos transitividad y obtenemos \( 0 < S(n) \).
Resulta que \( S(n)\in Z^+ \), como queríamos.
Si \( S(n)=1 \), entonces \( n+1 = 1 \), y sumando \( -1 \) a ambos miembros resulta \( n=0 \).
Pero \( 0 \) no está en \( Z^+ \), que es el domino de \( S \), así que \( 1 \) no está en la imagen de \( S \).
Además \( S \) es inyectiva. En efecto, dados \( m,n\in Z^+ \), si \( S(m)=S(n) \) entonces \( m+1=n+1 \).
Sumando \( -1 \) a ambos miembros obtenemos \( m=m+0=n+0=n \).

Por otro lado, si \( a \in Z^+ \), por Lema 5 tenemos que \( a \geq1 \).

Finalmente, por mera definición, el \( 0 \) es una cota inferior del conjunto \( Z^+ \).
Por lo tanto \( Z^+ \) satisface el principio de buena ordenación.

Se sabe que esta propiedad implica al Principio de inducción tal como lo definimos en la sección de números naturales.
Veamos por qué.
Sea \( A \) un subconjunto de \( Z^+ \), que contiene al \( 1 \), y tal que si \( n\in A \) entonces \( S(n)\in A \).
Supongamos que hay algún elemento \( b \in Z^+ \) que no está en \( A \).
Entonces el conjunto \( B \), de todos los elementos de \( Z^+ \) que no están en \( A \), es no vacío.
Por Axioma 3, como \( B \) tiene a \( 1 \) como su cota inferior, es bien ordenado respecto  \( \leq \).
Luego \( B \) tiene un primer elemento, digamos \( a \).
Como \( 1 \in A \), y \( 1 \) es cota inferior tanto de \( A \) como de \( B \), resulta que \( a>1 \).
Sea \( m=a-1 \).
Claramente \( m>1-1=0 \), o sea que \( m\in Z^+ \).
Como \( m<a \), y \( a \) es mínimo en \( B \), resulta que \( m\in A \).
Por definición de \( A \), necesariamente \( a=m+1=S(m)\in A \).
Así que \( a \) está en \( A \) y en \( B \), pero esto contradice la definición de \( B \).
Absurdo.

Luego, no puede haber elementos de \( Z^+ \) fuera de \( A \).
Así que \( A=Z^+ \).
Hemos probado el Principio de Inducción en \( Z^+ \).

Todos los Axiomas de Peano han sido probados para \( Z^+ \), y esto implica, como ya sabemos, que \( (Z^+,1,S) \) induce un sistema de números naturales.
En dicho sistema se pueden definir en forma recurrente las operaciones de suma y producto, y también una relación de orden en base a ecuaciones con sumas, tal como hicimos en el post anterior de los números naturales.
Tan sólo resta demostrar que estas operaciones y relaciones así definidas coinciden con la suma y el producto en \( Z \), así como la relación  \( \leq \) en \( Z \), cuando se les restringe al conjunto \( Z^+ \).
Dejamos los detalles pertinentes a cargo del lector.

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Ahora bien.
Dado un elemento \( n\in Z^+ \), sabemos que \( n>0 \) por definición, y que \( -n < 0 \) por Lema 4.
A su vez, si \( m<0 \), entonces \( -m > 0 \).
O sea, los únicos números enteros negativos son los opuestos aditivos de los números enteros positivos, y viceversa.
Denotamos, pues \( Z^- \) al conjunto de enteros negativos.

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Subsección 2.6. Subconjuntos de Números Enteros acotados superiormente.

Por lo dicho, podemos definir una función biyectiva \( \nu:Z\to Z \) mediante \( \nu(n)=-n \).
Consideremos el sistema \( (Z,+, \odot,0,-1, \geq) \), donde \(  \odot \) es una multiplicación "negativa", definida mediante \( a \odot b = -a\cdot b \).
Se puede demostrar que:

Teorema 2. La función \( \nu \) antes definida es un isomorfismo de \( (Z,+, .,0,1, \leq) \) en \( (Z,+, \odot,0,-1, \geq) \).

Demostración (abrir desplegable)

En primer lugar, tomemos nota de que \( \nu \) es una biyección de \( Z \) en \( Z \).
Además, si \( a, b\in Z \), entonces

\( \nu(a+b)=-(a+b)=(-1)\cdot(a+b)=(-1)\cdot a+(-1)\cdot b=(-a)+(-b)=\nu(a)+\nu(b). \)

También:

\( \nu(a\cdot b)=-(a\cdot b)=(-1)\cdot (a\cdot b)=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot a\cdot b=-((-a)\cdot (-b))=-(\nu(a)\cdot \nu(b))=\nu(a)\cdot \odot\nu(b). \)

Esto muestra que \( \nu \) es un homomorfismo algebraico.
Además \( -1 \) es el neutro del producto \( \odot \) en \( Z \) (lo cual es fácil de comprobar), mientras que el neutro aditivo sigue siendo \( 0 \).
Se ve que \( \nu \) transforma neutros en neutros, pues: \( \nu(0)=0, \nu(1)=-1 \).
Por último, si \( a \leq b \), entonces \( -b  \leq -a \) (por Lema 6), o sea  \( \nu(a) \geq \nu(b) \).
Esto muestra que \( \nu \) también conserva el orden, en el sentido de que si \( a, b \) están ordenados para el sistema \( (Z, \leq) \) entonces \( \nu(a),\nu(b) \) siguen ordenados en el sentido de \( (Z, \geq) \).

Usando que \( \nu \) es una biyección, con la ayuda de \( \nu \) se pueden comprobar todas las propiedades algebraicas del Axioma 1 de números enteros para \( (Z,+, \odot,0,-1, \geq) \).
El Axioma 2 se cumple trivialmente para la relación \( \geq \) en \( Z \).
Para el Axioma 3, consideremos un subconjunto no vacío \( A \) de \( Z \), acotado "inferiormente" respecto la relación  \( \geq \). Esto quiere decir que existe \( a \in Z \) tal que \( a \geq x \), todo \( x \in A \).
Sea \( B \) el conjunto de todos los elementos \(  - x  \), tales que \( x \in A \).
Por Lema 6, resulta que \( -a  \) es una cota inferior del conjunto \( B \).
Por Axioma 3 aplicado ahora al sistema \( (Z, \leq) \), resulta que existe un elemento \( b \in B \) que es el mínimo de ese conjunto, o sea, cumple \( b \leq y \) para todo \( y \in{B} \).
De nuevo, por Lema 6, se tiene que \( -b \) es un máximo del conjunto \( A \), con lo cual \( -b \geq x \), todo \( x\in A \).
Esto prueba el Axioma 3 para \( (Z, \geq) \).

Mediante la ayuda del Lema 6 es posible probar fácilmente el Axioma 4 para \( (Z,+, \odot,0,-1, \geq) \), y lo dejamos como un ejercicio.

Así que \( (Z,+, \odot,0,-1, \geq) \) satisface los Axiomas de los números enteros.

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En particular, tenemos ahora que \( (Z^-,+, \odot,-1, \geq) \) satisface los Axiomas de los números naturales.
En este sentido es que decimos que \( Z^- \) es un "reflejo" de \( Z^+ \).
Si no ha resultado bastante obvio ya, llamamos la atención sobre el hecho de que la relación \(  \geq \) en \( Z \) ahora satisface la siguiente propiedad:

• Si \( A \) es un subconjunto no vacío de \( Z \), acotado superiormente, entonces \( Z \) tiene un elemento máximo.

Es claro, porque ser \( A \) acotado superiormente quiere decir que existe un \( s\in Z  \) tal que \( s \geq a \) para todo \( a\in A \).
Observando que \( (Z, \geq) \) se comporta en forma "refleja" (isomorfa) a \( (Z, \leq) \), se obtiene que existe un elemento \( b\in A \) tal que \( b \geq a \), todo \( a\in A \), a quien llamamos el máximo de \( A \).

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Subsección 2.7. Unicidad algebraica del Sistema de Números Enteros.

Otra propiedad interesante de los sistemas de números enteros, es que todos son esencialmente "el mismo".
Vale decir, dados dos sistemas que satisfacen los Axiomas de los números enteros, resultan isomorfos entre sí, tanto en sentido algebraico como ordinal. Lo enunciamos así:

Teorema 3. Sean \( (Z,+,.,0,1, \leq) \) y \( (\tilde Z,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq) \) dos sistemas que satisfacen los axiomas de los números enteros.
Entonces ambos sistemas son isomorfos entre sí.

Demostración (abrir desplegable)

Dejamos los detalles como ejercicio para el lector.

Podemos sin embargo adelantar que el isomorfismo puede definirse de la siguiente manera.
Por Teorema 1, resulta que \( (Z^+,+,\cdot,1, \leq) \) satisface los Axiomas de Peano de los números naturales, y lo mismo podemos decir de \( (\tilde Z^+,\oplus, \odot,\tilde 1,  \preccurlyeq) \).
Pero entonces estos dos sistemas son isomorfos entre sí, tanto en forma algebaica como ordinal, como sabemos ya de la teoría de números naturales.
Denotamos con \( \iota:Z^+\to \tilde Z^+ \) a un tal isomorfismo de números naturales.
Definimos una nueva función \( \nu:Z\to \tilde Z \) mediante:
\(
\nu(a) = \begin{cases}\iota(a), &a\in Z^+\\0, & a=0\\  \ominus\iota(-a),& a\in Z^-.\end{cases}
 \)
Con el signo \(  \ominus \) estamos indicando el opuesto aditivo de la operación \( \oplus \) de \( \tilde Z \).

Deberá el lector demostrar que esa función es un isomorfismo entre los sistemas dados en todo sentido (algebraico, ordinal, y cualquier otra cosa que a uno se le pueda ocurrir).

(La sutileza aquí es que la función \( \nu  \) se ha construido sin usar definiciones por recurrencia, ni invocación alguna al Principio de Inducción de números naturales, ya que se aprovecha toda la "maquinaria" que al respecto ya se había elaborado en los naturales.)

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En particular, si dos sistemas \( (Z,+,\cdot,0,1, \leq) \) y \( (\tilde Z,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq) \) satisfacen los Axiomas de los números enteros, entonces los conjuntos \( Z \) y \( \tilde Z \) tienen el mismo cardinal, pues el isomorfismo es una biyección entre ambos conjuntos \( Z \) y \( \tilde Z \).

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Subsección 2.8. Sobre la cardinalidad de un Sistema de Números Enteros.

En cuanto a la cardinalidad de los números enteros podemos ser más precisos:

Teorema 4. Si \( (Z,+,.,0,1, \leq) \) es un sistema de números enteros, entonces \( Z \) es un conjunto biyectivo con \( Z^+ \).

Demostración: La biyección \( \beta: Z\to Z^+ \) que definimos es muy sencilla, y es la siguiente:
\( \beta(a)=f(x)=\begin{Bmatrix}{ 2a+1}&\mbox{ si }& a>0\\-2a+2 & \mbox{si}& a \leq 0\end{matrix} \).
Dejamos al lector la verificación exhaustiva de que, en efecto, dicha función es una biyección.
Obsérvese que se transforma a todos los números positivos en impares,
y a todos los no positivos en pares.

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Subsección 2.9. Solución del problema de la resta en el Sistema de Números Enteros.

Recordemos que los números enteros se inventaron para poder restar.
¿Resuelven realmente los enteros el problema de la resta?
Veamos los detalles en el siguiente desplegable:

Restando naturales y enteros

Hemos visto que el sistema de los números enteros amplía, con los isomorfismos adecuados, al sistema de los números naturales.
Ahora planteamos de nuevo la ecuación \( a +x = b \), siendo \( a, b \) números naturales.
Como estos se identifican con los enteros positivos, nos sumergimos en los enteros, y preguntamos si existe un \( x\in Z \) que resuelve la ecuación.
Si \( a < b \), sabemos que \( x \) ha de ser otro número natural, o sea, \( x \) es un entero positivo y soluciona la ecuación.
Cuando \( a = b \) la solución es sencilla, porque existe un elemento neutro para la suma en \( Z \), que es el \( 0 \).
Poniendo pues \( x = 0 \), solucionamos la ecuación en este caso.
Finalmente, para \( a > b \), sabemos que existe algún entero positivo \( y \) tal que \( b + y = a \).
Definimos \( x = -y \), es decir, como el opuesto aditivo de \( y \) en \( Z \), que existe por el Axioma 1.
Ahora sumamos a ambos miembros este valor \(  -y \), y obtenemos \( b = (b + y) + (-y) = a + (-y) = a+x \).
Hemos hallado una solución entera a la ecuación.

Así que ahora podemos "restar" cualesquiera dos números naturales, y obtener un resultado en \( Z \).

Queda, no obstante, una cuestión más profunda por resolver.
¿Qué sucede si ahora planteo la ecuación \( \alpha + x = \beta \), en donde \( \alpha, \beta \) son enteros, no necesariamente positivos?
¿Existe solución en este caso más general?
Si la respuesta a esta pregunta fuese negativa, tendríamos necesidad quizá de nuevas ampliaciones del sistema numérico para intentar resolver ese tipo de ecuaciones.

Sin embargo este problema no ocurre, por suerte. Veamos por qué se soluciona todo tan fácilmente.
Resulta que en \( Z \) existen los inversos aditivos, por el Axioma 1.
Así que existe el inverso aditivo de \( \alpha \), que se denota \( -\alpha \).
Definimos \( x = (-\alpha)+\beta \). Es fácil verificar que este número entero satisface la ecuación requerida, tras usar una vez la propiedad asociativa de la suma, luego la cancelación de los elementos opuestos, y por último el hecho de que \( 0 \) es neutro aditivo:
\( \alpha+x=\alpha+((-\alpha)+\beta)=(\alpha+(-\alpha))+\beta=0+\beta=\beta. \)

También podríamos haber definido \( x = \beta+(-\alpha) \), pero esto nos hubiera obligado a usar también la propiedad conmutativa de la suma en la pequeña comprobación anterior.
No hay problema en usar una propiedad que está permitida por los axiomas... pero los matemáticos sabemos que si una propiedad puede no usarse entonces la teoría que tenemos entre manos admite mayores generalizaciones.
Por eso esos detalles conviene no perderlos de vista, por las dudas alguna vez se nos ocurre inventar algo mejor...

Se puede ahora definir la resta de \( \beta \) y \( \alpha \) como la solución a la ecuación \( \alpha+x=\beta \).
Esto es correcto porque la solución existe, y es fácil verificar que es única, y coincide con
\( \beta-\alpha=(-\alpha)+\beta. \)
o bien:
\( \beta-\alpha=\beta+(-\alpha). \)

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Subsección 2.10. Construcción (estándar) de un Sistema de Números Enteros. Preliminares.

Por último mostremos cómo puede construirse un sistema que satisfaga los Axiomas de los números enteros.
El método estándar consiste definir una relación de equivalencia de pares ordenados de números naturales, y definir el conjunto de enteros como las clases de equivalencia pertinentes.
Veamos los detalles.

Sea \( (N,1,S) \) un sistema de números naturales, con operaciones de suma y producto \( +,\cdot \), y relación de orden  \( \leq \).
Denotemos \( N^2 \) al conjunto de todos los pares ordenados \( (m,n) \) de elementos de \( N \), o sea \( N^2=N\times N \).

Ahora vamos a definir una relación \( \sim{} \) entre elementos de \( N^2 \).
Decimos que \( (m,n)\sim (m',n') \) si \( m+n'=m'+n \).

Teorema 5. La relación \( \sim \) es de equivalencia.

Demostración (abrir desplegable)

Basta comprobar que \( \sim \) es reflexiva, simétrica y transitiva.

Reflexiva: Es trivial comprobar que \( (m,n)\sim(m,n) \).
Simétrica: Es directo comprobar que si \( (m,n)\sim(m',n') \) entonces \( (m',n')\sim (m,n) \).
Transitiva: Si \( (m,n)\sim(m',n') \) y \( (m',n')\sim (m'',n'') \), entonces \( m+n'=m'+n \) y \( m'+n''=m''+n' \). Sumando ambas igualdades miembro a miembro y reagrupando términos, queda:
\( (m+n'')+(m'+n')=(m''+n)+(m'+n') \).
En ambos miembros figura el sumando \( (m'+n') \) a la derecha.
Aplicando propiedad cancelativa de la suma, obtenemos que \( m+n''=m''+n \).
Esto significa que: \( (m,n)\sim(m'',n'') \).

[cerrar]

Definimos en \( N^2 \) ciertas operaciones de suma y producto, diciendo que, para cualesquiera \( m,n,m',n'\in N \):

\( (m,n)\oplus (m',n')=(m+n,m'+n') \)
\( (m,n)\otimes (m',n')=(m\cdot m'+ n\cdot n', m\cdot n'+ n\cdot m') \)

Dejamos como ejercicio comprobar que estas operaciones cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, y que además el producto distribuye a la suma.
Este producto no tiene elemento neutro, lo cual resulta curioso, pero a no temer, que estamos apenas en una fase intermedia de construcción.

Ahora necesitamos hacer una comprobación muy importante: las operaciones aritméticas son compatibles con la relación de equivalencia.
Esto lo desarrollamos en el siguiente:

Teorema 6. Si \( (m,n)\sim(\mu,\nu) \), y si \( (a,b)\sim(\alpha,\beta) \), entonces \( (m,n)\oplus(a,b)\sim(\mu,\nu)\oplus(\alpha.\beta) \) y \( (m,n)\otimes(a,b)\sim(\mu,\nu)\otimes(\alpha.\beta) \).

Demostración (abrir desplegable)

En primer lugar, desplegamos las hipótesis. Tenemos que:

\( m+\nu=\nu+n, a+\beta=\alpha+b \).

También escribimos la forma concreta de las operaciones de suma y producto de pares ordenados:

\( \begin{align*}
(m,n)\oplus(a,b)&=(m+a,n+b),\\
(\mu,\nu)\oplus(\alpha,\beta)&=(\mu+\alpha,\nu+\beta),\\
(m,n)\otimes(a,b)&=(m\cdot a+n\cdot b,m\cdot b+n\cdot a),\\
(\mu,\nu)\otimes(\alpha,\beta)&=(\mu\cdot \alpha+\nu\cdot \beta,\mu\cdot \beta+\nu\cdot \alpha).
\end{align*}
 \)

Ahora calculamos:

\( (m+a)+(\nu+\beta)=(m+\nu)+(a+\beta)=(\mu+n)+(\alpha+b)=(\mu+\alpha)+(n+b) \).

Esto prueba que \( (m,n)\oplus(a,b)\sim (\mu,\nu)\oplus(\alpha,\beta) \).

Para estudiar el producto, usamos las relaciones previas, y escribimos:
\( \begin{align*}
\Big((m\cdot a+n\cdot b)+(\mu\cdot \beta+\nu\cdot \alpha)\Big)+(m\cdot \beta+n\cdot \alpha)&=
m\cdot(a+\beta)+n\cdot(\alpha+b)+(\mu\cdot \beta+\nu\cdot \alpha)\\
&=m\cdot(\alpha+b)+n\cdot(a+\beta)+(\mu\cdot \beta+\nu\cdot \alpha)\\
&=(m+\nu)\cdot\alpha+(\mu+n)\cdot\beta + (m\cdot b+ n\cdot a)\\
&=(\mu+n)\cdot\alpha+(m+\nu)\cdot\beta + (m\cdot b+ n\cdot a)\\
&=\Big((\mu\cdot \alpha+\nu\cdot \beta)+(m\cdot b+n\cdot a)\Big)+(m\cdot \beta+n\cdot \alpha).
\end{align*}
 \)

Prestemos atención al primer y último miembros en esa cadena de igualdades.
En ambos figura a la derecha el sumando \( (m\cdot \beta+n\cdot \alpha) \).
Aplicamos propiedad cancelativa de la suma, y obtenemos:

\( \Big((m\cdot a+n\cdot b)+(\mu\cdot \beta+\nu\cdot \alpha)\Big)=\Big((\mu\cdot \alpha+\nu\cdot \beta)+(m\cdot b+n\cdot a)\Big). \)

Esto prueba que: \( (m,n)\otimes(a,b)\sim(\mu,\nu)\otimes(\alpha.\beta) \).

[cerrar]

Dado un par \( (m,n)\in  {N}^2 \), definimos su clase de \( \sim \)-equivalencia como el conjunto:
\( [m,n]=\{(\mu,\nu)\in {N}^2:(\mu,\nu)\sim (m,n)\}. \)

Podemos hacer algunas observaciones, las cuales colocamos en el siguiente desplegable:

Detalles sobre las clases de equivalencia

Es claro que la clase \( [m,n] \) es no vacía porque la propiedad reflexiva de \( \sim \) implica que \( [m,n] \) al menos contiene al elemento \( (m,n) \).

Si \( (a,b) \) pertenece a la clase \( [m,n] \), entonces \( (m,n) \) pertenece a la clase \( [a,b] \), lo cual se infiere por la propiedad simétrica de \( \sim \).
Más aún, usando la propiedad transitiva de \( \sim \) se comprueba que si \( (m,n)\sim(a,b)  \) entonces todo elemento \( (p,q) \) de \( [a,b] \) también pertenece a \( [m,n] \) (pues \( (p,q)\sim(a,b)\sim(m,n) \)).
Del mismo modo se obtiene la inclusión recíproca, y es así que \( [m,n]=[a,b] \).

Por último, si dos clases \( [m,n], [a,b] \) tienen un mismo elemento \( (p,q) \) en común, resulta que \( (m,n)\sim(p,q)\sim(a,b) \), y usando lo antes probado, inferimos que \( [m,n]=[a,b] \).

Por lo tanto: dos clases de equivalencia \( [m,n], [a,b] \), o bien son disjuntas, o bien son iguales.

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El conjunto de todos los pares \( (m,n)\in  {N}^2 \) queda particionado en la unión de las clases de equivalencia \( [m,n] \), que son todas disjuntas.

Debido al Teorema 6, vemos que si \( (\mu,\nu) \) es un elemento de la clase \( [m,n] \), y si \( (\alpha,\beta) \) es un elemento de la clase \( [a,b] \), entonces \( (\mu,\nu)\oplus(\alpha,\beta) \) es un elemento de la clase de equivalencia determinada por \( (m,n)\oplus(a,b) \), y del mismo modo, \( (\mu,\nu)\otimes(\alpha,\beta) \) es un elemento de la clase de equivalencia determinada por \( (m,n)\otimes(a,b) \).

De esta manera, podemos definir la suma y el producto de clases de equivalencia, como la clase dada por la suma o producto de cualquiera de sus elementos.
Al hacerlo de este modo, no hay ambigüedad en la definición, pues hemos visto que hay una y sólo una clase posible como resultado.

Así, establecemos las siguientes definiciones:

\( [m,n]+[a,b]=[(m,n)\oplus(a,b)] \)

\( [m,n]\cdot[a,b]=[(m,n)\otimes(a,b)] \)

En el siguiente spoiler damos cuenta de cuáles son todas las clases de equivalencia que pueden obtenerse.

Determinación de todas las clases de equivalencia posibles

Dado un número natural \( n \), observemos que \(  [m+n,m] = [m'+n,m']  \), para cualesquiera \( m,m' \) que se tomen.
De manera similar, \(  [m,m+n] = [m',m'+n]  \), para cualesquiera \(  m,m'  \) que se tomen.
Denotamos pues \( \bar n \) a la clase \( [m+n,m] \) (con cualquier \(  m\in  {N} \) que uno elija da siempre la misma clase).
Denotamos también \(  -\bar n \) a la clase \(  [m,m+n] \).

Por último, observemos que todas las clases \( [m,m] \) son iguales, sin importar cuál sea el \( m \) elegido.
Así que denotamos como \( \bar 0 \) a la clase \( [m,m] \).

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¿Existen otras clases de equivalencia posibles? La respuesta es negativa, y se puede ver por qué abriendo el desplegable siguiente.

Detalles de por qué no hay más clases

Sea \( [m,n] \) una de las clases de equivalencia.
Tenemos tres posibilidades: o bien \( m < n \), o bien \( n < m \), o bien \( m=n \).
Si \( m<n \), entonces, por definición de la relación \( < \) en los números naturales, existe un \( x\in {N} \) tal que \( m+x=n \). Por lo tanto, \( [m,n]=[m,m+x] \), que coincide con la clase \( \bar x \), siendo \( x \in {N} \).
En el caso \( n < m \) se hace un análisis similar, y se obtiene que \( [m,n] \) es la clase \( -\bar x \) para algún \( x\in {N} \).
Finalmente, si \( m=n \), estamos en el caso de la clase \( \bar 0 \).

[cerrar]