Principal * N Z Q R C + Subsección 2.11. Construcción (estándar) de un Sistema de Números Enteros. Conclusión.Prosigamos con la notación y construcciones que vienen del post anterior.Llamamos \( Z \) al conjunto de todas las
clases de equivalencia.
En cuyo caso,
\( Z = \{\bar n:n\in {N}\}\cup\{-\bar n:n\in {N}\}\cup\{\bar 0\}. \)
Tenemos también en \( Z \) definidas unas operaciones de
suma y producto.
Finalmente definimos una
relación de orden en \( Z \), aunque lo haremos usando previamente una noción de elemento positivo.
Se dice que una clase \( [m,n] \) de \( Z \) es
positiva si existe \( x\in{N} \) tal que \( \bar x=[m,b] \).
Se dice que una clase \( [m,n] \) de \( Z \) es
negativa si existe \( x\in{N} \) tal que \( -\bar x=[m,b] \).
Se dice que una clase \( [m,n] \) de \( Z \) es
nula si \( m=n \).
Es fácil comprobar que una clase \( [m,n] \) sólo puede ser positiva, negativa o nula, y por lo antes dicho, siempre es de alguno de esos tres tipos.Definimos ahora que \( [m,n]<[a,b] \) si existe una clase positiva \( [p,q] \) tal que \( [m,n]+[p,q]=[a,b] \).
Además, como de costumbre, se define \( [m,n] \leq[a,b] \) si \( [m,n]<[a,b] \) o \( [m,n]=[a,b] \).Sea el subconjunto \( \bar{{N}}=\{\bar n:n\in {N}\} \). Es decir, se trata del conjunto de
clases positivas.
Definamos la función sucesor \( \bar s \), mediante \( \bar s(\bar n)=\overline{s(n)} \).
Dejamos como ejercicio para el lector comprobar que el sistema \( (\bar{{N}},\bar 1,\bar s,+,\cdot,<) \) satisface todos los Axiomas y propiedades de Peano de los números Naturales.Para ello compruebe que la función \( \phi(n)=\bar n \) es un
isomorfismo algebraico y ordinal de \( {N} \) en \( \bar{{N}} \).
Finalmente, el lector debiera comprobar exhaustivamente todos los detalles del siguiente:
Teorema 7. El sistema \( (Z,+,\cdot,<,\bar 0,\bar 1) \) satisface todos los axiomas de los
números enteros.
Para este teorema, los axiomas de números enteros deben comprobarse uno por uno.
No está permitido usar algún "isomorfismo" con el conjunto de enteros definido de forma axiomática, porque no sabemos aún si existe un sistema que cumpla esos axiomas.
Justamente, toda esta tarea en base a las relaciones de equivalencia es lo que se encarga de demostrar que efectivamente hay un conjunto con unas operaciones dadas que cumplen los axiomas de sistema de enteros.Esto culmina nuestra
construcción de un ejemplo concreto de
sistema de números enteros a partir del
sistema de los números naturales.
