[fede0463]

Una piedra de peso w es arrojada verticalmente hacia arriba en el aire a una velocidad inicial \( v_o \). Suponga que la fuerza de arrastre f  constante disipa una cantidad \( f \delta y \) de energía mecánica cuando la piedra recorre una distancia \(  \delta y \). 

(a) Demuestre que la altura máxima alcanzada por la piedra es
 
\(  h = \frac{v_o^2}{2g(1 + \frac{f}{w})} \)

(b) Demuestre que la velocidad de la piedra al momento del impacto con el suelo es
 
\(  v = v_o (\frac{w-f}{w+f})^\frac{1}{2} \)

Pude hacer la parte A), pero en la parte B) ¿Tengo que considerar todo el trayecto en dos tramos (desde el piso al punto más alto, y luego desde el punto más alto hasta que cae)

Desde ya, muchas gracias.

[Richard R Richard]

Una piedra de peso w es arrojada verticalmente hacia arriba en el aire a una velocidad inicial \( v_o \). Suponga que la fuerza de arrastre f  constante disipa una cantidad \( f \delta y \) de energía mecánica cuando la piedra recorre una distancia \(  \delta y \). 

(a) Demuestre que la altura máxima alcanzada por la piedra es
 
\( \color{blue}\displaystyle h = \frac{v_o^2}{2g(1 + \frac{f}{w})} \)

(b) Demuestre que la velocidad de la piedra al momento del impacto con el suelo es
 
\( \color{blue}\displaystyle v = v_o (\frac{w-f}{w+f})^\frac{1}{2} \)

Pude hacer la parte A), pero en la parte B) ¿Tengo que considerar todo el trayecto en dos tramos (desde el piso al punto más alto, y luego desde el punto más alto hasta que cae)

Desde ya, muchas gracias.

Corregidas las fórmulas

si llamas \( w=mg \) al peso

aplicas  la conservación de la energía mecánica a la subida

\( \dfrac12 mv_0^2=mgh+\int\limits_0^h f dh \)

como f es constante durante la trayectoria

\( \dfrac12 mv_0^2=mgh+h f \)

\( h=\dfrac{mv_0^2}{2(mg+f)}=\dfrac{v_0^2}{2(g+\frac fm)}=\dfrac{v_0^2}{2g(1+\frac fw)} \)  cqd

cuando cae la ecuación transforma en

\( mgh=\dfrac12 mv_f^2+\int\limits_0^h f dh \)

\( mgh=\dfrac12 mv_f^2+h f  \)

despejo h e igualo con la altura hallada previamente

\( h(mg-f)=\dfrac12 mv_f^2 \)

\( \dfrac{v_0^2}{2g(1+\frac fw)}(mg-f)=\dfrac12 mv_f^2 \)

despejo \( v_f \)

\( v_f^2=\dfrac{2v_0^2(mg-f)}{2mg(1+\frac fw)}=v_0^2\dfrac{1-\frac fw}{1+\frac fw} \)

\( v_f=v_0\sqrt{\dfrac{1-\frac fw}{1+\frac fw}}=v_0\left(\dfrac{1-\frac fw}{1+\frac fw}\right)^{\frac12} \)   cqd

[Nub]

Una piedra de peso w es arrojada verticalmente hacia arriba en el aire a una velocidad inicial \( v_o \). Suponga que la fuerza de arrastre f  constante disipa una cantidad \( f \delta y \) de energía mecánica cuando la piedra recorre una distancia \(  \delta y \). 

(a) Demuestre que la altura máxima alcanzada por la piedra es
 
\( \color{blue}\displaystyle h = \frac{v_o^2}{2g(1 + \frac{f}{w})} \)

(b) Demuestre que la velocidad de la piedra al momento del impacto con el suelo es
 
\( \color{blue}\displaystyle v = v_o (\frac{w-f}{w+f})^\frac{1}{2} \)

Pude hacer la parte A), pero en la parte B) ¿Tengo que considerar todo el trayecto en dos tramos (desde el piso al punto más alto, y luego desde el punto más alto hasta que cae)

Desde ya, muchas gracias.

Corregidas las fórmulas

si llamas \( w=mg \) al peso

aplicas  la conservación de la energía mecánica a la subida

\( \dfrac12 mv_0^2=mgh+\int\limits_0^h f dh \)

como f es constante durante la trayectoria

\( \dfrac12 mv_0^2=mgh+h f \)

\( h=\dfrac{mv_0^2}{2(mg+f)}=\dfrac{v_0^2}{2(g+\frac fm)}=\dfrac{v_0^2}{2g(1+\frac fw)} \)  cqd

cuando cae la ecuación transforma en

\( mgh=\dfrac12 mv_f^2+\int\limits_0^h f dh \)

\( mgh=\dfrac12 mv_f^2+h f  \)

despejo h e igualo con la altura hallada previamente

\( h(mg-f)=\dfrac12 mv_f^2 \)

\( \dfrac{v_0^2}{2g(1+\frac fw)}(mg-f)=\dfrac12 mv_f^2 \)

despejo \( v_f \)

\( v_f^2=\dfrac{2v_0^2(mg-f)}{2mg(1+\frac fw)}=v_0^2\dfrac{1-\frac fw}{1+\frac fw} \)

\( v_f=v_0\sqrt{\dfrac{1-\frac fw}{1+\frac fw}}=v_0\left(\dfrac{1-\frac fw}{1+\frac fw}\right)^{\frac12} \)   cqd

Hola richard, ¿cambiaste las letras de las variables? que es lo que ocurre realmente, entiendo que inicialmente tenemos una cantidad de energia y al tirarlo para arriba tenemos una fuerza que no es conservativa y le quita energia, no entiendo porque se da esa igualdad de conservacion de energia

[delmar]

Hola

En realidad lo que se aplica es el teorema de conservación de la energía y trabajo, en este caso la energía mecánica cambia. El teorema de la energía y trabajo dice :

\( W_T=\Delta E_c  \) es decir el trabajo total de las fuerzas es igual a la variación de la energía cinética, en este caso particular se tiene :

\( W_T=W_g+W_{roz} \) es decir el trabajo total es la suma del trabajo de la fuerza gravitatoria (conservativa) y el trabajo de la fuerza de rozamiento (no conservativa) luego se tiene :

\( W_T=-\Delta E_g-fh=-mgh-fh=\displaystyle\frac{-mv_0^2}{2} \) lo que ocurre es que la energía cinética inicial se transforma en energía potencial y en calor generado por el rozamiento. Esto en la ida y en la vuelta la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética y calor.



Saludos

[Nub]

Hola

En realidad lo que se aplica es el teorema de conservación de la energía y trabajo, en este caso la energía mecánica cambia. El teorema de la energía y trabajo dice :

\( W_T=\Delta E_c  \) es decir el trabajo total de las fuerzas es igual a la variación de la energía cinética, en este caso particular se tiene :

\( W_T=W_g+W_{roz} \) es decir el trabajo total es la suma del trabajo de la fuerza gravitatoria (conservativa) y el trabajo de la fuerza de rozamiento (no conservativa) luego se tiene :

\( W_T=-\Delta E_g-fh=-mgh-fh=\displaystyle\frac{-mv_0^2}{2} \) lo que ocurre es que la energía cinética inicial se transforma en energía potencial y en calor generado por el rozamiento. Esto en la ida y en la vuelta la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética y calor.



Saludos

Hola delmar.
Primero que nada, creo que la parte de la letra que dice que disipa energía tu no le haces mucho caso, es decir simplemente ves que hay una fuerza conservativa y otra no conservativa no?

Yo pensaba que hay que hacerlo tipo: En la configuracion inicial \( E_i=0+\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2 \) y en la configuracion final \( E_f=mgh+0 \) (Creo que la energia cinetica es 0 porque es en el punto mas alto por lo luego que frena y cae)
Y bueno, como hay una fuerza no conservativa \( E_f \neq E_i \) y para dar la igualdad habria que sumar lo que se perdio, o algo asi no se....

En cuanto a lo que tu dices, no veo como calculas el trabajo del rozamiento, pues le cambiamos las letras al ejercicio parece

[ani_pascual]

Hola:

...
En cuanto a lo que tu dices, no veo como calculas el trabajo del rozamiento, pues le cambiamos las letras al ejercicio parece

El trabajo de la fuerza de rozamiento es \( W_f=fh\cos(180^{\circ})=-fh \). Así, como bien ha escrito delmar, aplicando el también llamado teorema de las fuerzas vivas, \( \Delta E_c=\sum W_i=W_g+W_f \), y teniendo en cuenta que el trabajo realizado por el peso es \( W_g=-\Delta E_p=0-mgh \),
nos queda
\( 0-\dfrac{1}{2}mv_0^2=-mgh-fh \), de donde \( h=\dfrac{v_0^2}{2g\left(1+\frac{f}{mg}\right)} \)
Saludos

[Nub]

El trabajo de la fuerza de rozamiento es \( W_f=fh\cos(180^{\circ})=-fh \).

Eso como lo supiste, osea la letra solo dice esto

Suponga que la fuerza de arrastre f  constante disipa una cantidad \( f \delta y \) de energía mecánica cuando la piedra recorre una distancia \(  \delta y \). 

Osea no veo como interpretan la letra del ejercicio ustedes

[ani_pascual]

Hola:

...
O sea no veo como interpretan la letra del ejercicio ustedes

Interpreto fuerza de arrastre como fuerza de rozamiento, que se opone al movimiento. Si es constante, su trabajo es \( W_f=-fh \) donde \( h \) es el desplazamiento, es decir, \( \delta y \)
Saludos

[Richard R Richard]

Hola richard, ¿cambiaste las letras de las variables?

No sé bien a que te refieres  a esto? $$v=v_f$$  y $$v_o=v_0$$  el subíndice f  refiriendose al final y cero u o de origen o punto de partida,

que es lo que ocurre realmente, entiendo que inicialmente tenemos una cantidad de energia y al tirarlo para arriba tenemos una fuerza que no es conservativa y le quita energia, no entiendo porque se da esa igualdad de conservacion de energia

La energía no se pierde, ni se crea, solo se transforma, puede que en un problema la tengas al inicio como una energía potencial (aquella que puede potencialmente producir un trabajo) y puede transformarse en movimiento ( la mides como energía cinetica) o la transformas en calor mediante algún rozamiento,  o puedes acumularla de algún otro modo produciendo un trabajo a favor de otro potencial.


En definitiva  hablamos de conservación cuando no hay presentes fuerzas que disipen la energía en forma de calor , pero en si el balance energético (la igualdad siempre existe) , pues la energía que se disipa como calor la calculas como el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento (o de arrastre en este caso.)

El trabajo de la fuerza de rozamiento es \( W_f=fh\cos(180^{\circ})=-fh \).

Eso como lo supiste, osea la letra solo dice esto

por lo general la nomenclatura mas clara para el trabajo de la fuerza de rozamiento es  $$W_{Fr}$$ , pero  en el problema te la definen con el nombre $$f$$ Así que será


$$W_f=\displaystyle \int_0^h \vec f \cdot \vec dh = \int_0^h f \cos180°\ dh =- f h $$ 

Suponga que la fuerza de arrastre f  constante disipa una cantidad \( f \delta y \) de energía mecánica cuando la piedra recorre una distancia \(  \delta y \). 

Osea no veo como interpretan la letra del ejercicio ustedes

El arrastre en una forma de llamar a la resistencia que opone un cuerpo a moverse por un fluido, el cuerpo al avanzar pierde su energía cinetica a causa del rozamiento viscoso con el fluido, esa energía se transforma en calor y decimos que se pierde energía mecánica, es decir en el sistema hay menos energía disponible de la forma necesaria para producir un trabajo.


https://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_(fluidos)

[Nub]

No sé bien a que te refieres  a esto? $$v=v_f$$  y $$v_o=v_0$$  el subíndice f  refiriendose al final y cero u o de origen o punto de partida,

Me refiero a que no aparece \( f \delta y \) tal vez hicieron \( h=\delta y \)