Hola
Las preguntas son muy desconcertantes, porque todo eso debiera de estar claro a estas alturas. Las cosas que preguntas son aplicables a un problema elemental de cálculo de primer curso de cualquier carrera científica.
CUIDADO: En lo que sigue, y por error, se han intercambiado las dos coordenadas de la curva que nos daban. Por tanto se resuelve el problema para otra curva. 1) Del enunciado se deduce (aunque ciertamente no está dicho explícitamente) que las curvas unen los puntos \( (1,0) \) y \( (cos(\theta),sin(\theta)) \), por eso integramos entre \( 0 \) y \( \theta \):
\( \alpha(0)=(cos(0),sin(0))=(1,0) \)
\( \alpha(\theta)=(cos(\theta),sin(\theta)) \)
2) Hemos quedado en que la fórmula de la longitud de una curva es:
\( L= \displaystyle\int_{a}^{b} \|\alpha'(s)\| ds \)
donde si la curva es de la forma \( \alpha(s)=(\alpha_x(s),\alpha_y(s)) \):
\( \|\alpha'(s)\|=\dfrac{\sqrt{\alpha_x'(s)^2+\alpha_y'(s)^2}}{\alpha_y(s)} \)
entonces simplemente estamos aplicando directamente esa fórmula. En tu caso:
\( \alpha_x(s)=cos(s),\quad \alpha_y(s)=sin(s) \)
En el segundo caso me niego a decirte lo que hay que poner. Pregunta cuantas veces sea necesario hasta entender el primero. Pero si lo entiendes debes de saber hacer lo mismo para la otra curva.
Saludos.
P.D. Es especialmente desconcertante esto:
¿con eso ya está el ejercicio?
¿No entiendes lo qué te preguntan? Te preguntan la longitud de dos curvas sobre el plano hiperbólico; el ejercicio estará resuelto cuando halles las longitudes y las compares.
CORREGIDO
