[nova]

Entonces la primera está bien, ¿no? La segunda:

\( \beta(t) = (tsen(\theta), 1+t(cos(\theta)-1)) \)

Como \( \beta(0)= (0,1) \), y \( \beta(1)= (sen \theta, cos \theta) \), \( \beta: [0,1]\rightarrow{\mathbb{H}^2} \).

\( \beta'(t) = (sen\theta, cos\theta -1) \)

\( |\beta'(s)| = \frac{\sqrt{sen^2\theta+cos^2\theta+1-2cos\theta}}{cos\theta-1} = \frac{\sqrt{2-2cos\theta}}{cos\theta-1} \)

Y como no depende de s, al hacer la integral entre cero y uno, queda eso mismo.

No veo el fallo.

[Luis Fuentes]

Hola

 El problema es que has dividido por la segunda componente de \( \beta'(t) \), en lugar de la segunda componente de \( \beta(t) \). Es decir debiera de ser:

\( |\beta'(t)| =\dfrac{\sqrt{2-2cos\theta}}{t(cos\theta-1)} \)

Saludos.

[nova]

Ah, es verdad. Muchas gracias.
Sólo me queda compararlas, aunque no se muy bien como quieren que lo haga.

[Luis Fuentes]

Hola

 Compararlas es estudiar cual de las dos funciones es mayor. En general comparar dos funciones \( f(\theta),g(\theta) \) equivale a estudiar la función:

 \( h(\theta)=f(\theta)-g(\theta) \)

 Para ello puedes usar todas las herramientas sobre estudio de funciones que conoces (raíces, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos, mínimos, etcétera...).

Saludos.