Hola
Creo que ya tengo lo que quería construir:
1) Funciones \( \psi_t \): las mismas que tu construyes.
2) Fijamos un número \( n \) y consideramos el conjunto \( A_n \) de múltiplos de \( n \).
3) Consideramos la función continua (por ser composición de continua) que juega el papel de la de Goldbach definida como:
\( \mathfrak{G}_t(\hat k)=\psi_t(\dfrac{k}{n}) \)
4)(1) En cada intervalo \( [\hat k_0,\widehat {k_0+1}] \) esa función tiene este aspecto:
\( \mathfrak{G}_t(\hat k)=\dfrac{k}{\xi_{k_0}n}\cdot \xi_{[k_0/n]}+\color{red}cte_{k_0}\color{black} \)
("constante" que no considero necesario detallar y que como indica el subíndice depende del intervalo).
donde \( x_{k_0}=\xi_{[k_0/n]} \) juegan el papel de los puntos esenciales ( \( [x] \) es la función parte entera).
5) Se cumple que \( k_0 \) no es múltiplo de \( n \) si y sólo si \( x_{k_0}=x_{k_0-1} \), excepto precisamente para \( t=1 \), donde esos puntos siempre coinciden.
6) Entonces las funciones \( \mathfrak{G}_t(\hat k) \) nos permiten caracterizar los elementos del conjunto \( A_n \) dependiendo del tiempo, etcétra, etcétera, etecétera,...
Dos (bloques de) preguntas:
I) ¿Cómo ves este segundo ejemplo? ¿Es análogo a tu construcción?¿Cuáles son la diferencias esenciales?¿Qué trascendencia crees que pueden tener?.
II) Por cierto, no estoy seguro al 100% de si consideras alguna diferencia esencial entre tu construcción y que la que propuese susituyendo conjetura de Goldbach por caracterización de los primos. Como no me has dicho nada explícito, entiendo que no hay ninguna diferencia esencial.
Por último comento como llegué a ese ejemplo porque puede ser interesante; sigue totalmente las ideas que inaguraste en tu primera parte del trabajo, lo cual, la revaloriza un poco más en cuanto que pueda rafimicarse en otras construcciones. Además es llamativo que esa no era esa mi intención al principio.
Mi primera idea fue definir directamente así la función, pero pensando en que lo que iba a caracterizar los múltiplos de \( n \) era la pérdida de diferenciabilidad. Pero no me di cuenta en un primer momento de que esas "funciones de Goldbach", ocultan esta otra:
\( \mathfrak{G}_t(\hat k)=\psi_t(\dfrac{k}{n})=\psi_t(\dfrac{\psi_t^{-1}(\hat k)}{n}) \)
con lo cual en realidad no son diferenciables en ningún natural.
Entonces pensé en tu construcción; tu consideras las hipérbolas \( xy=k \) para estudiar la posible descomposición de \( k \) en primos. Lo natural entonces es, para caracterizar los múltiplos de \( n \), pensar en las "curvas" \( ny=k \). Es decir \( y=k/n \). Son rectas; uno puede calcular igualmente sus áreas restringiendo el intervalo sobre el cual integramos, pero en relidad al eliminar la variable x bajamos la dimensión del problema: es suficiente considerar longitudes. Una vez hecho esto, vi que volvía a mi fórmula inicial. Pero conceptualmente el camino para llegar a ella fue muy distinto y la caracterización no es como esperaba.
Saludos.
(1) No descarto que pudiera haber algún error "de cuentas" en esta expresión (que fuese \( [k_0,k_0-1] \) en lugar de \( [k_0,k_0+1] \) o algo así), pero creo que y espero que no esencial.
¡CORREGIDO! (tenía la constante sumada donde no debía)
