Hola
Entiendo la función que has creado. Su fórmula completa en \( [\hat{k}_0,\hat{k}_0\oplus{\hat{1}}] \)es:
\( \mathfrak{G}(\hat{k})=\xi_{[k_0/n]}\left({k/n-\left[k_0/n\right]\right)+B_{[k_0/n]}\;,\quad (B_{[k_0/n]}=\xi_0+\xi_1+...+\xi_{[k_0/n]-1}) \)
(tienes una "erratilla", el \( \xi_{[k_0/n]} \) multiplica, no divide, pero es irrelevante).
En mi expresión el \( \xi_{[k_0/n]} \) también multiplica. Adicionalmente aparece dividiendo un \( \xi_{k_0} \) que hasta hace un segundo seguía pensando que hacía falta. Para llegar a ella de manera rápida simplemente tuve en cuenta que la función \( \psi \) (y su inversa) son localmente afines, es decir, de la forma \( f(k)=ak+b \). Su composición será afin. Como no me intersé en calcular explícitamente el término independiente, solo me fijo en la pendiente es decir: \( \psi_t(k)=\xi_{k_1}k+cte,\quad \psi_t^{-1}(\hat{k})=\xi_{k_0}\hat{k}+cte \). Entonces la composición (
tienes razón, ahora, veo en que me confundí). Estaría bien poner esto:
\( \mathfrak{G}_t(\hat k)=\dfrac{\color{red}\hat{k}\color{black}}{\xi_{k_0}n}\cdot \xi_{[k_0/n]}+cte_{k_0} \) (sombrerito decisivo que me faltaba)
ó esto:
\( \mathfrak{G}_t(\hat k)=\dfrac{k}{n}\cdot \xi_{[k_0/n]}+cte_{k_0} \)
pero no lo que puse.
La construcción la veo esencialmente distinta y me explico. La función \( \psi \) viene definida por una sucesión \( (\xi_i)_{i\geq 0} \) con \( (\xi_{i+1}>\xi_i) \) libremente elegida. Cuando hemos caracterizado la primalidad intervienen relaciones entre esas variables libres. Cuando dices que \( k_0 \) es múltiplo de \( n \) sii \( x_{k_0}\neq x_{k_0-1} \) estás diciendo que \( \xi_{[k_0/n]}\neq{}\xi_{[(k_0-1)/n]} \) es decir, realmente estamos dando una caracterización de igualdad de los \( \xi_i \). Ten en cuenta que los subíndices que tú tomas, vienen condicionados por \( k_0 \) y \( n \).
Voy a explicar porque yo no veo ninguna diferencia esencial en todo esto, salvo en un detalle (o quizá dos) que no mencionaste explícitamente de momento y cuyas consecuencias prefiero dejar para el final. Es decir primero ponernos de acuerdo o fijar los descauerdos, en las objecciones que has expuesto arriba:
1) Ambos partimos de unas funciones \( \psi \) lineales a trozos que dependen de unos coeficientes, en principio, estrictamente crecientes \( \{\xi_n\} \).
2) Para cada \( k\in N \), tu quieres caracterizar cuando tiene soluciones enteras las ecuaciones \( xy=k \); yo cuando tiene soluciones enteras la ecuación \( ny=k \). Cambia la ecuación (obvio, porque queremos caracterizar cosas distintas) pero esencialmente es lo mismo. Inlcuso cuando susituyes la caracterización de primalidad por la de la conjetura de Goldbach, en realidad estudias soluciones enteras de dos ecuaciones: \( xy=k \), \( xy=\alpha-k \). Eso hace que simetrices tu función area. Pero esencialmente la idea es la misma.
3) Para construir las funciones caracterizantes comienzas considerando el área contenidad bajo tu ecuación y ciertos límites; el hecho de que mi ecuación tenga una sóla variable, me permite susituir la consideración de áreas por longitudes, pero de nuevo no creo que esto sea una diferencia esencial.
4) Diferencia esencial: tu derivas dos veces la función área yo dejo tal cual la función longitud.
5) Nuestras funciones caracterizantes tienen un esquema análogo en el intervalo \( [\hat{k_0},\widehat{k_0+1}] \). Una parte fija que no depende de en que intervalo nos movemos o depende de manera homogéna (sin distinguir el \( k_0 \)) y una parte que si depende y que constiuyen los polinomios esenciales.
5.1) En ambos casos los polinomios esenciales son polinomios homogéneos en las variables \( \{\xi_n\} \).
5.2) En tu caso de grado dos; en mi caso de grado uno. Esto es consecuencia de haber tomado uno área y el otro longitud.
5.3) Ambos depende en realidad sólo de unos cuantos elementos \( \{\xi_n\} \). Depende de que "rectángulos" atraviesan tus hipérbolas y que segmento (rectángulo unidimensional) atraviesa mi punto (curva cero dimensional).
5.4) En tu caso es más complejo saber cuáles atraviesa y de que elementos depende; en el mío es muy fácil ver que depende únicamente de \( \xi_{[k_0/n]} \).
5.5) Pero que en un caso las cosas sean más simples que en otro, no considero que sea ninguna diferencia esencial. Simplemente es consecuencia de que la ecuación de la primalidad es más compleja que la de ser múltiplo de un número fijo.
5.6) Los puntos esenciales \( x_{k_0} \) caracterizantes en cada caso son consecuencia directa de estos polinomios esenciales.
6) Pequeña diferencia (no la considero esencial): tu función es continua, la mía no. Eso te obliga a añadir condiciones extras sobre los \( \xi_n \) para conseguir la continuidad. Pero podríamos pensar que los dos estudiamos condiciones sobre \( \xi_n \) para que nuestras funciones sean continuas; en tu caso condiciones a exigir: las que describes en tu trabajo; en el mío: ninguna.
7) Sea como sea ni tu ni yo con las condiciones para la continuidad obtenidas, tenemos una familia uniparamétrica de funciones \( \psi \) válidas. Incluso tu con tus restricciones tienes muchas más. Es después cuando decide entre todas ellas extraer una familia uniparamétrica. Bien yo hago exactamente los mismo. La elección de la familia uniparamétrica no es única ni en tu caso ni en el mío.
Bien creo que esto explica porque no me parecen esenciales todas y cada una de las objecciones que has expuesto; si crees que me he dejado alguna en el tintero dilo. Y por supuesto debatamos también sobre los puntos de esta explicación sobre los que discrepas o quieras matizar.
Saludos.
