Hola
No se si introduciendo la exponencial compleja lío las cosas. Ten en cuenta que sólo te interesan las soluciones reales. Sin embargo los coeficitenes \( Q_1 \) y \( Q_2 \) de tu expresión pueden ser complejos. Las soluciones reales aparecen cuando \( Q_1+Q_2 \) no tiene parte compleja, y \( Q_1-Q_2 \) no tiene parte real. Con un cambio de variable esto significa que la solución general puede escribirse como:
P sin(At)+Q cos(At)
donde ahora P y Q son números reales.
Mas aun: llama [tex]w=\sqrt{P^2+Q^2}/tex] entonces queda:
w((P/w) Sin(at) +(Q/w) cos (at))
(Q/w,P/w) es un punto de la circunferencia unidad, luego puede escribirse como (cos(h), -sin(h)) para algun h. Te queda:
w(-sin(h)sin(at)+cos(h)cos(at)) y de aqui
w cos (at+h)
donde w es un número positivo y h el desfase.
Por otra parte si quieres llegar al seno y coseno sin pasar por la exponencial compleja puedes jugar con la serie de taylor como te indique para la ecuación:
y''-y=0
Pero ahora para la ecuación
y''+y=0
La diferencia estará en que al seaprar pares e impares, cada término irá cmaibando alternativamente de signo y verás que correspnde justo al desarrollo de taylor de seno y coseno (o coseno y seno) respectivamente. Así reobtendrás que la solución general es combinación lineal de ambos.
Saludos.
