[Luis Fuentes]

Hola

 Finalmente y siguiendo el "juego" que da la serie de taylor. Una vez convencidos que las soluciones son de tipo exponencial y que los coeficientes del exponente, son raíces del correspondiente polinimio, uno puede probar la unicidad de esas soluciones teniendo en cuenta lo siguiente.

 La relación

 y''+Ny'+M=0

 Impone una relación entre el segundo coeficiente de la serie de Taylor y los dos primeros. Fijados estos obtenemos el tercero. Ahora las derivas sucesivas de la expresión anterior, permiten deducir todos los coeficientes de la serie de Taylor a partir de los anteriores. Conclusión: fijado el valor de la solución y de su derivada en un punto tenemos unicidad.

 Más aún, si "juegas" con estas ideas te permitirás construir y probar  un teorema de unicidad para ecuaciones diferenciales del tipo:

 y'=f(x,y)

 ó

 y''=f(x,y,y')

 ó

 y'''=f(x,y,y',y'') etc...

 Más aun si conoces el teorema de la función implicita, que basicamente te permite despejar \( y \) en una ecuación suficientemente buena, podrás probar un teorema de unicidad de solución para "muchas otras" ecuaciones difrenciales "suficientemente buenas".

Saludos.

[incógnita_j]

Todo mucho más claro, muchas gracias el_manco. Pero no me doy por vencido (lo siento por vosotros). Tengo aún alguna pregunta:
-Al desarrollar la solución mediante la serie de Taylor en las proximidades de 0, indicas
"\( f^{(n)}(0)=f(0) \)"Para luego sacar el f(0) de la suma.¿Ahí no estás ya dando por hecho que se trata de una exponencial?
-Para mí no es tan fácil probar que las soluciones forman un espacio vectorial puesto que no sé cómo se prueba eso (nunca he dado álgebra)
-En la segunda resolución no sé de donde sacas los desarrollos de Taylor. EN la primera tienes un modelo, en la segunda sin embargo no... ¡No entiendo! 

[Luis Fuentes]

Hola

-Al desarrollar la solución mediante la serie de Taylor en las proximidades de 0, indicas \( f^{(n)}(0)=f(0) \) Para luego sacar el f(0) de la suma.¿Ahí no estás ya dando por hecho que se trata de una exponencial?

No. Únicamente utilizo la ecuación diferencial que quieres resolver:

y'-y=0

Si f es una solución, entonces f'(x)=f(x), pero entonces f''(x)=f'(x)=f(x) y así sucesivamente para la derivada n-sima.

-Para mí no es tan fácil probar que las soluciones forman un espacio vectorial puesto que no sé cómo se prueba eso (nunca he dado álgebra)

Bueno no es cuestión de que aquí te desarrolle la teoría de espacios vectoriales. La idea en este caso es probar que:

- la suma de dos soluciones sigue siendo solución de la ecuación diferencial.
- el producto de una solución por un número sigue siendo solución.

-En la segunda resolución no sé de donde sacas los desarrollos de Taylor. EN la primera tienes un modelo, en la segunda sin embargo no... ¡No entiendo! 

De nuevo utilizo la ecuación diferencial.  En este caso

y''-y'=0

Si f es solución, tienes f''(x)=f(x) y f'''(x)=f'(x) y f''''(x)=f''(x) etc... en definitiva obienes que las derivadas pares coincidien entres si y las impares también entre ellas. Por eso divido la serie de taylor en sus términos pares y sus términos impares.


Saludos.

P.D. ¿Qué estudias y en que curso estàs? (si puede saberse).

[incógnita_j]

¡Ah Vale! Mucho más claro, gracias, la cuestión es que dividías el desarrollo de Taylor para pares e impares, eso es en lo que no había caído, muchas gracias.
Respecto a demostrar que forman un espacio vectorial, simplemente tengo que aplicar linealidad de la derivación ¿no?.

Estoy estudiando segundo de Bachiller en un Liceo francés de Zaragoza. EL año que viene empezaré la carrera, tengo 18 años...

[teeteto]

Ya que introducimos los espacios vectoriales, razonando con el polinomio de Taylor y empleando la ecuación diferencial de origen, podemos demostrar que el espacio vectorial de las soluciones tiene dimensión 2. Por tanto bastaría con encontrar dos que fueran linealmente independientes y esas serían una base del espacio de soluciones.

Saludos.

[incógnita_j]

¿Eso  significa que si A y B son dos soluciones y forman una base, toda solución sería de la forma \( \alpha.A+\beta.B \)?
Esto no lo acabo de entender muy bien, al parecer (no lo sé) un espacio vectorial está definido si está definido el producto por un real y la suma de elementos con sus consiguientes propiedades ¿no? (asociativa...) Pero en ese caso, en la primera ecuación, toda solución es del tipo ce^x por lo tanto no veo que sea necesario definir una base. No lo sé, me estoy perdiendo, no debería publicar sin saber de lo que hablo...

[teeteto]

Ojo, estamos hablando de dos ecuaciones distintas:

- y'-y=0 [el espacio vectorial de las soluciones es de dimensión 1, generado por ex]

- y''-y'=0 [el espacio vectorial de las soluciones tiene dimensión 2, generado por 1 y ex]

¿Cómo demostrarías que 1 y ex son linealmente independientes?

En general el espacio vectorial formado por ls soluciones de una ecuación difrencial lineal de coeficientes constantes de orden n tiene dimensión n.

No se si te habré aclarado algo.

Saludos.

[incógnita_j]

Sí, algo has aclarado, es decir, que el espacio vectorial es de dimensión dos (para la segunda ecuación) y por eso deduces la forma general \( Ae^{ax}+Be^{bx} \) . Hasta ahí ya he entendido, pero el problema ahora es cómo demuestras que ese espacio es de dimensión dos y que esos dos "vectores" o como se diga forman una base.

Resumiendo, que el proceso sería el siguiente:
-Verificar la existencia de una solución mediante \( e^x \) (en este caso).
-Demostrar que las soluciones forman un espacio vectorial, y definir una base. ("aquí veo mi agujero")
-Demostrar la unicidad usando el desarrollo de Taylor.
-Encontrar el valor de los parámetros por las condiciones iniciales o finales.

Respecto a cómo demostrar que 1 y \( e^x \) son linealmente independientes, no basta con decir que para que \( \alpha.1+\beta.e^x=0 \), se necesita ¿ \( (\alpha;\beta)=(0;0) \) ? Con los vectores al menos es así, de mayor dimensión hay métodos con determinantes pero así no se me ocurre otro modo.
Otra cosa,  ¿y si x=0? en ese caso 1 y \( e^x \) no son linealmente independientes ¿no? ¿Por qué entonces se considera el caso general?
Por último, y ya basta que mañana tengo la selectividad de matemáticas+física+química+geo+bio, el hecho de que y=y' implica que y'=y'' pero no viceversa... Esto se debe a que integrar no es un "proceso de uno a uno" ¿no?

[Luis Fuentes]

Hola

Respecto a cómo demostrar que 1 y \( e^x \) son linealmente independientes, no basta con decir que para que \( \alpha.1+\beta.e^x=0 \), se necesita ¿ \( (\alpha;\beta)=(0;0) \) ?

CORRECTO.

Otra cosa,  ¿y si x=0? en ese caso 1 y \( e^x \) no son linealmente independientes ¿no? ¿Por qué entonces se considera el caso general?

Fíjate que dos funciones son iguales si coincidien en todos los puntos de su dominio de definición. Que coincidan en uno sólo no indica nada.

Por último, y ya basta que mañana tengo la selectividad de matemáticas+física+química+geo+bio, el hecho de que y=y' implica que y'=y'' pero no viceversa... Esto se debe a que integrar no es un "proceso de uno a uno" ¿no?

CORRECTO. En en otras palabras funciones distintas pueden tener la misma derivada. (aunque no tan distintas!).

Suerte en la selectividad.

Saludos.

[incógnita_j]

Vale, ya está todo más o menos claro. Gracias por todo.

Dichosa selectividad por cierto. Menos mal que existe este foro y he tenido curiosidad por los números y tal, porque nos han puesto un ejercicio de discutir un sistema (en mi liceo eso no se da  ) y afortunadamente me he salvado de la quema.Además he tenido la suerte de haber leído aquí la notación \( S=\displaystyle\sum_{i=1}^\inftyn{}S_n \) con la que nos presentaban una serie (lo que ha desconcertado a mucha gente)... Aunque de lo que no me he librado es de la primitiva de \( \displaystyle\frac{x}{\sin{x}} \) que yo, por mis conocimientos, no sé calcular. Menos mal que en la física y en la biología no ha habido "alejamientos" del programa Francés, pero en fin, sabíamos desde que venimos aquí que nos podía pasar esto... pasó, y yo, gracias a vosotros en parte, me he librado algo de la quema... Aunque me dolerá ver un 6/10 o 7/10 o así de nota en matemáticas de selectividad

Volviendo a las ecuaciones diferenciales (ahora que he soltado un royo, tengo que compensarlo).Ahora tengo \( q(t)+LC.\frac{d^2q(t)}{dt}=0 \).

Y luego pone "on montre en mathématiques que la solution de cette E.D est de la forme" (supongo que no hace falta traducir)
\( q(t)=Q_m.\cos(\omega_0t+\phi) \)
Bien, pues ya saben, ese "on montre en mathématiques" me gustaría verlo , si sois tan amables. Porque sigue siendo una E.D de segundo grado y sin embargo no se aplica el criterio de las soluciones q(t)=Ae^{at}+Be^{bt}+...
¿O, no me extrañaría, se me está escapando algo?