Haciendo un ejercicio de física me he topado con esta ecuación diferencial (que no he aprendido a resolver) que rige las oscilaciones amortiguadas de un sistema eléctrico con una bobina y un condensador.
Se trata de:
\( q(t)+R\frac{dq(t)}{dt}+LC\frac{d^2q}{dt^2}=0 \)
Hola incognita_j:
Como comentario nomás, pues supongo que lo que interesa es la cuestión del modelo matemático y la resolucion de la ec.diferencial.
Bueno en la cuestión física, supongo que aplicas la segunda ley de Kirchhoff. (suma de voltajes igual a cero)
lo que quedaría asi:
\(
L\displaystyle\frac{di}{dt}\,+\,Ri\,+\,\displaystyle\frac{q}{C}=0 \)
O sea un circuito LCR (sin fuente de voltaje).
como \( i=\displaystyle\frac{dq}{dt} \)
queda
\( L \displaystyle\frac{d}{dt}\left ({\displaystyle\frac{dq}{dt}}\right )\,+\,R\displaystyle\frac{dq}{dt}\,+\,\displaystyle\frac{q}{C}=0 \)..........lo multipliaste por C, quedando.
\( L C\displaystyle\frac{d^2q}{dt^2}\left \,+\,RC\displaystyle\frac{dq}{dt}\,+\,q=0 \)......(1)
(o sea faltó por ahí una C en la resistencia, salvo otro caso particular pero qué quisquilloso soy
, así que no me hagas caso)
Bueno pasando a la ec. diferencial. (que por cierto con la transformada de Laplace, sale sencillo).
La solución particular para el decrecimiento o crecimiento exponencial de la carga es \( q=e^{rt} \) (no sé si llamarle "principio", lo que en matematica es axioma, pero en las pruebas se verifíca) la r es la raíz por encontrar y t es el tiempo en tu caso para descargar el circuito.
de \( q=e^{rt} \)
así \( \displaystyle\frac{d^2q}{dt^2}=r^2e^{rt} \) y \( \displaystyle\frac{dq}{dt}=re^{rt} \)
sust. en (1) quedando: \( (LC)r^2e^{rt}+(RC)re^{rt}+e^{rt}=0 \)
o bien \( (LC)r^2+(RC)r+1=0 \)
Entonces como mencionó teeteto esa sería la ec. "auxiliar".
Dependiendo de los valores de R(resistencia), L(inductancia) y C(capacitancia). tendras varios casos o raíces como mencionó Sebasuy.
la solución general de tu ec. diferencial de segundo orden es:
\( q(t)=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t} \)......(2)
particularmente tienes 3 casos, a partir de:
\( r_1=\displaystyle\frac{-RC+\sqrt[ ]{(RC)^2-4LC}}{2LC} \) y \( r_2=\displaystyle\frac{-RC-\sqrt[ ]{(RC)^2-4LC}}{2LC} \)
1.Raíces distintas r_1 y r_2 y reales.
en este caso \( q(t)=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t} \)
2. raíces imaginarias \( r_1=a+bi \) y \( r_2=a-bi \) sust en (2)
\( q(t)=e^{at}(C_1e^{bti}+C_2e^{-bti} \)
3. raíces iguales reales.,
\( q(t)=e^{r_1t}(C_1+C_2t \)
un saludo.
