[bachiller__]

Hola, tengo una duda acerca de los hexágonos inscritos en circunferencias.
Mi profesor de dibujo me dijo que el método de ir marcando la medida del radio en la circunferencia no era totalmente exacta.
¿Alguien sabría darme alguna pista de cómo empezar a hacer esta demostración?
Intenté hacerlo con una semicircunferencia (ya que es una función de x) y con rectas que se cortaran en ciertos puntos con la semicircunferencia (como si fueran los lados del hexágono inscrito). pero estos puntos no tenían coordenadas exactas, por lo que no puedo ver si la aproximación está bien.

un saludo

[bachiller__]

Al final he llegado a unas rectas que me definen el semihexágono y la semicircunferencia

he supuesto una semicircunferencia de radio 5, y por tanto de ecuación \( y=+\sqrt[ ]{25-x^2}
 \)
supongo que hay un lado paralelo al eje OX, que debería valer 5 unidades , y que al ser el centro del hexágono el orígen de coordenadas iría desde \( x=-\frac{5}{2} \) hasta \( x=\frac{5}{2} \)
hallando los valores de la semicircunferencia en esas abscisas llego a dos puntos:
\( A=(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt[ ]{3}}{2}) \) y \( A'=(-\frac{5}{2},\frac{5\sqrt[ ]{3}}{2}) \)
con los puntos de corte de la semicircunferencia con el eje x \( K(5,0)  K'(-5,0) \)
defino dos rectas AK(Y) y A'K'(Y') ----> \( Y = -\sqrt[ ]{3}x + 5\sqrt[ ]{3} \)
                                                      \( Y' = \sqrt[ ]{3}x + 5\sqrt[ ]{3} \)

al dibujar estas rectas y la recta \( Y'' = \frac{5\sqrt[ ]{3}}{2} \) en el generador de funciones me aparece un semihexágono, y si hallo el módulo de los vectores AK y A'K' me dan 5 unidades. es más, si hallo los puntos de corte entre la semicircunferencia y la recta Y' (por ejemplo), me salen los puntos A' y K'.
¿podrían decirme cuál es el fallo en mi razonamiento? ¿o es mi profesor de dibujo el que me ha contado una mentira?
un saludo

[sebasuy]

A ver si entendí: ¿el hexágono es regular no? Entonces, para construirlo, con la abertura del compás como radio, vamos transportado esa medida, etc. Si es así, esta construcción es la clásica y es 100% correcta. La razón es que como verás, se van construyendo triángulos equiláteros, etc.
Si no te he malinterpretado (lo cual advierto puede suceder), lo que dice tu profe no es está bien.

SebasUy

[Luis Fuentes]

Hola

 Estoy de acuerdo con SebasUy: el lado del hexágono regular inscrito en una circunferencia coincide con el radio. Matmáticamente esto es exacto.

 Ahora bien, para dibujarlo no se suele empezar en un punto y medir 5 veces ese radio. Porque así el error inevitable (por el grosor de la trazada, la imprecisión del compás etc,)se hace mayor.

 Mejor suele trazarse un diámetro de la circunferencia. Desde los puntos de corte del diámetro con la circunferencia se marca a izquierda y derecha la medida del radio y se obtiene mayor precisión.

Saludos.

[bachiller__]

si que lo has interpretado bien SebasUy, mi duda era de si era correcto al 100% o al 99.99% (aunque siempre influirá el error de la mina del compás)
no me había dado cuenta de ese método el_manco, gracias.

gracias por resolverme la duda y un saludo

[sebasuy]

¡pues ahora ve a la demostración!

SebasUy

[bachiller__]

Podría llegar a demostrarlo, mediante el método que hice anteriormente y suponiendo una semicircunferencia de radio R \( Y = \sqrt[ ]{R^2-x^2} \)(unos puntos \( K(R,0) ; K'(-R,0) \) y unos puntos \( A(\frac{R}{2},\frac{R\sqrt[ ]{3}}{2})  A'(-\frac{R}{2},\frac{R\sqrt[ ]{3}}{2}) \) de donde se puede observar el triángulo rectángulo \( \hat{O,A,X_a} \) de hipotenusa R \( d(O,A) \) y de cateto menor \( \frac{R}{2} \) \( d(O,X_a) \)
Este triángulo rectángulo \( \hat{O,A,X_a} \) sería la mitad de triángulo equilátero \( \hat{O,A,K} \) por lo que el ángulo A (60º) ahora es  A/2 (30º) y por trigonometría:
\( \cos(A/2) = \frac{\sqrt[ ]{3}}{2} = \frac{\frac{R\sqrt[ ]{3}}{2}}{R} \)

lo que pasa es que estaría limitada por mi primera suposición (un lado paralelo al eje OX, pero teniendo en cuenta que si trazamos un diámetro del hexágono inscrito, siempre habrá un lado paralelo a él) entonces yo creo que mi demostración está bien, aunque no sé si las operaciones que he hecho tendrían validez de demostración.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bachiller___ quizá sería mejor una demostración con menos cuenta. Únicamente dibuja un héxagono regular, y los 6 triángulos formados por suls lados y los vértices unidos con el centro de la circunferencia.  Teniendo en cuenta precisamente que es "regular" sabes cuanto miden los ángulos de cada triángulo; verás que son equiláteros y deducirás tu resultado.

Saludos.

[sebasuy]

bachiller_ : me late a que no has tenido nunca un curso de Geometría Elemental, y por eso recurres a argumentos tan complicados que, confieso, ni me he animado a leer...
La Geom. Analítica es un instrumento maravilloso, potente, general... pero no siempre el más adecuado ni natural.

Saludos y no tomes a mal lo que te digo,

SebasUy

[bachiller__]

SebasUy y el-manco, lo que me decís lo entiendo perfectamente, y es lo que se me ocurre de primeras. Pero me parece más "¿técnica?" la demostración con geometría analítica. De geometría Elemental he aprendido lo que pude en el colegio, pero no es algo en lo que haya profundizado mucho. Espero que en la carrera de Matemáticas pueda profundizar más acerca de este tema.
No sé hasta qué punto tiene validez de demostración lo que me ha dicho el_manco, pero aún así me parece lo más lógico.
Un saludo