Hola, voy a tratar de responder a tus preguntas que te quitan el sueño:
En general, cuando te dan una muestra, es porque quieren que calcules ciertas cosass sobre ellas.
Cuando te preguntan cosas acerca de la \( \mu \) puedes directamente inferir acerca de ella a través del estimador promedio \( \bar{X} \).
\( \bar{X}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i} \)
En donde \( \bar{X} \) es una v.a con distribución \( t \ de \ student \) si la cantidad de muestras es \( n \le 30 \) o una variable con distribución \( Normal \) en caso contrario.
Sea cual sea la distribución que elijas, se elige \( \bar{X} \) porque es un estimador insesgado.
Para \( \bar{X} \ su \ \mu_{\bar{X}}=\mu \wedge \ \sigma^2_{ \bar{X}}= \frac{\sigma^2}{n} \)
Una vez que planteas esto dibujas la curva de la normal o la t de student, en donde obviamente miras tu variable \( \bar{X} \) y te va a quedar algo así:
El area encerrada entre \( c \) y \( d \) te va a determinar un nivel de confianza que lo llamare \( NC \).
El nivel de confianza se determina fácilmente y es
\( P(c \le \bar{X} \le d) =NC \)
\( c \) y \( d \) en realidad son términos que depende de la media y una constante multiplicada por el desvío, entonces:
\( P(\mu_{\bar{X}}-k\sigma_{\bar{X}} \le \bar{X} \le \mu_{\bar{X}}+k\sigma_{\bar{X}}) =NC \)
(1)Y en donde tu intervalo de confianza será:
\( IC=\mu_{\bar{X}} \pm k\sigma_{\bar{X}} \)
y \( k \) será el valor de la función de distribución acumulada en dicho intervalo, esto sale de llevar la expresión de la normal a la normal estandar \( (0,1) \) la expresión
(1) que te quedará:
\( P(-k \le Z \le +k) =NC \)
Y esto es lo mismo que buscar en la tabla de la normal (esto es si tienes la distribución acumulada de la normal estandar).
\( F(_{z=k})= NC+\frac{(1-NC)}{2} \)
Y con esto tienes todo para armar un intervalo de confianza para la \( \mu \).
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Con la varianza sucede algo similar, lo único que cambia es la distribución que utilizas, que es la chi-cuadrado con \( n-1 \) grados de libertad.
Esto es porque el estimador de la varianza es el \( S^2_{n-1} \) (te dejo de tarea como se obtiene el mismo a través de los datos).
Por ahí hay que hacer un poco mas de despejes, ya que la expresion de la chi-cuadrado es:
\( X^2_{n-1} = \frac{(n-1) S^2_{n-1}}{\sigma^2} \)
De donde deberias despejar \( \sigma^2 \) que es lo que realmente buscas.
Te recomiendo siempre dibujarte la distribución con la que trabajes.Eso te dará una idea de que es lo que haces.
Saludos!
