[LauLuna]

En el hilo 'Probabilidad misteriosa: la paradoja de Kraitchik', en este mismo foro, el_manco y yo llegamos, según creo, a la conclusión de que la solución de la paradoja debía ir por este camino: una vez que hemos abierto una caja y sabemos lo que hay dentro, la suposición de que hay un 50% de probabilidades de que en la otra haya el doble y las mismas de que haya la mitad, no está justificada; eso depende del criterio que haya seguido quien llenó las cajas.

Pero esto no parece resolver el asunto. Presento un caso materialmente imposible pero que constituye, creo, un experimento de pensamiento aceptable en el razonamiento matemático.

Supongamos que hay infinitos de pares de cajas A y B. La persona P hace un billón de elecciones y obtiene 10 euros en 10 casos. P abre cada caja que ha elegido y ve lo que hay en ella. Se informa a P de que entre las posibles distribuciones de dinero en las cajas se ha elegido para cada par de cajas lanzando una moneda no trucada. Esto implica una cantidad infinita de lanzamientos de monedas pero se trata de un caso idealizado, de un 'Gendankenexperiment', y en matemáticas debe aceptarse el razonamiento sobre casos idealizados.

A continuación se le permite cambiar la caja elegida en aquellos casos en los que la caja que eligió contiene 10.

P razonará que, si no cambia, obtiene 10·10 = 100 de las cajas que contienen 10. Si cambia, la probabilidad es que obtenga 20 la mitad de las veces (lo que hace ya 100) y 5 la otra mitad (lo que hace 25); en total 125, en lugar de los 100  que obtebdría si nunca cambia. Parece que le conviene permutar siempre.

Aquí la paradoja se reproduce enteramente de nuevo sin que podamos ya decir que P se equivoca al calcular la probabilidad de que haya dado con la caja más valiosa. Ahora todo depende del lanzamiento de una moneda sin truco.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 No acabo de entender bien esto:

Se informa a P de que entre las posibles distribuciones de dinero en las cajas se ha elegido para cada par de cajas lanzando una moneda no trucada

 En el fondo supongo que lo que quieres decir es que la distribución del dinero en las cajas también se ha elegido de manera aleatoria, aunque no estoy seguro de exactamente como según tu descripción del uso de monedas.

 Probablemente te obligue a repetir cosas que dijiste en el otro hilo, pero me gustaría saber con precisión como estás planteando el experimento ahora.

 De todas forma (a riesgo de que no venga a cuento por no haberte entendido bien) un comentario:

 Una vez más OJO con el uso del infinito y la probabilidad. El espacio de distribuciones posibles tiene medida infinita y por tanto no es esperable dotarlo de una probabilidad que "funcione bien". Una vez más remito al caso fácilmente entendible del experimento (¿posible teóricamente?) de elegir un número natural "al azar". Ahí la probabilidad no funciona.

Saludos.

[LauLuna]

Efectivamente, los problemas del infinito pueden ser la vía de escape a esta versión de la paradoja. Si es que realmente la equiprobabilidad es imposible en un espacio muestral infinito o bien un espacio muestral infinito es imposible él mismo.

Pero si podemos sin contradicción concebir un espacio muestral infinito, podemos concebir sin contradicción equiprobabilidad en él, siempre que esa probabilidad NO esté representada por un número real, o más exactamente, por un número arquimediano. Esto parece posible utilizando los hiperreales de Robinson y adjudicando a cada suceso del espacio muestral infinito el inverso de un número infinito como probabilidad, p.ej. 1/w. Entonces, por el principio de transferencia,
(1/w)·w = 1  Y entonces la paradoja se reproduce.

((No estoy seguro de entender correctamente el principio de transferencia; hay de él muchas versiones, supongo que equivalentes; creo que lo que afirmo aquí se deduce de esta versión:

[every true first-order logic statement that uses basic arithmetic (the natural numbers, plus, times, comparison) and quantifies only over the real numbers was assumed to be true in a reinterpreted form if we presume that it quantifies over hyperreal numbers.]

en http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number ))

Lo verdaderamente extraño de esto es que esta simple paradoja parece convertirse en un argumento contra el infinito actual.

Supongamos que una persona escoge al azar entre un par de cajas y encuentra 10 euros. Por las reglas del juego ya sabe que las dos únicas distribuciones posibles son 10/20 y 10/5. Se le informa de que se eligió al azar entre esas distribuciones, con lo que el espacio muestral ya no es infinito.

Ya no hay paradoja. El jugador debe cambiar. La situación simétrica es ahora imposible.

Luego el problema está en el infinito. Él permite que actúe la simetría y causa la paradoja.

Tal vez alguien versado en el análisis no estándar pueda decir algo mñás sobre esto.

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

 Uy, el análisis no standard se me escapa...

 Ivorra tiene un texto aparentemente muy completo al respecto (aunque nunca lo he leído  )

http://www.uv.es/ivorra/Libros/ANE.pdf

 Mi problema a la hora de aplicar una nueva herramienta matemática para modelizar una probabilidad "buena" en un espacio infinito numerable o de medida infinita, es que las intuiciones que tengo sobre las propiedades que debiera de cumplir son poco claras.

 Ya no es que no tenga herramienta matemática sino que no acabo de tener claro que significado tiene definir una probabilidad equiprobable en los naturales.

Si es que realmente la equiprobabilidad es imposible en un espacio muestral infinito o bien un espacio muestral infinito es imposible él mismo.

De manera precisa, la equiprobabilidad es imposible en un espacio muestral infinito numerable; e imposible en un espacio infinito excepto el caso trivial de adjudicar a los sucesos puntuales probabilidad nula.
 
Saludos.

[LauLuna]

Gracias.

Conozco el texto de Ivorra pero tampoco lo he leído salvo a salto de mata. Define la propiedad de transferencia en términos conjuntistas y me resulta difícil ver si es la misma que define wikipedia, por ejemplo.

Tampoco yo sé cómo plantear la probabilidad en espacios muestrales infinitos. Me suena vagamente algo relacionado con medidas de conjuntos distintas de la cardinalidad, como la de Lebesgue.

Dices que en espacios muestrales enumerablemente infinitos la equiprobabilidad es imposible; sé que es imposible con los axiomas usuales, que establecen entre otras cosas que toda probabilidad es un número real. Ese axioma es incompatible aquí con la sigma-aditividad. ¿Pero es también imposible si eliminamos sólo ese axioma? ¿Es imposible con los hiperreales?

Tal vez no. Y entonces la paradoja parece una refutación de la posibilidad de un espacio muestral infinito o del uso de una medida no arquimediana de la probabilidad.

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

¿Pero es también imposible si eliminamos sólo ese axioma?

Por ejemplo en el caso de los naturales simplemente es incompatible con la aditividad (finita) si pretendemos que \( P(X=n)=cte\neq 0 \) para cualquier número natural.

En lo de los números hiperreales no me meto porque se me escapa...

Saludos.

[LauLuna]

Creo que se puede reforzar la paradoja sin echar mano del infinito.

Supongamos que las cajas se llenan lanzando un dado en cuyas caras aparecen los pares de números:

1/2
2/4
4/8
8/16
16/32
32/64

Supongamos que en la caja que escojo encuentro 8 y que sé que todas las distribuciones de cantidades eran equiprobables cuando se llenaron las cajas. Sé que las distribuciones posibles son ahora:

8/16
8/4

Y sé que ambas son equiprobables. Entonces cambiando de caja la ganancia esperada es 16·(1/2) + 4·(1/2) = 10, mientras que si no cambio, obviamente, es 8.

El problema está en que igual podría haber razonado si hubiera escogido la otra caja. La otra caja podría haber tenido 16 ó 4. Si hubiera tenido 16, la ganancia esperada al cambiar hubiera sido 20; si hubiera tenido 4, la ganancia esperada al cambiar habría sido 5.

¿Cómo salimos de esta?

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Pero ahora dónde está la paradoja?

 Lo que nos está diciendo el resultado es que si siempre que nos sale un 8 en la primera caja cambiamos, la ganancia media se irá apoximando a 10.

 Si queremos calcular la ganancia media con la estrategia de cambiar siempre, llamando \( X \) al número más bajo de cada distribución e \( Y \) al que hemos elegido:

\( 1\cdot P(X=1)P(Y=2)+ \)

\( +2\cdot (P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=4))+\ldots+ \)

\( \ldots+32\cdot (P(X=16)P(Y=16)+P(X=32)P(Y=64))+ \)

\( +64\cdot P(X=32)P(Y=32)=189/12=15.75 \)

y con la estrategia de no cambiar:

\( 1\cdot P(X=1)P(Y=2)+ \)

\( +2\cdot (P(X=1)P(Y=2)+P(X=2)P(Y=2))+\ldots+ \)

\( +\ldots+32\cdot (P(X=16)P(Y=32)+P(X=32)P(Y=32))+ \)

\( +64\cdot P(X=32)P(Y=64)=189/12=15.75 \)

 Coinciden, claro...
 
Saludos.

[LauLuna]

Hola

 ¿Pero ahora dónde está la paradoja?

Hombre, pues claramente en el hecho de que el jugador debería cambiar tanto si ha escogido la caja que tiene 8 como si ha escogido la otra. Es decir, es la misma paradoja de siempre.

Imagínate que no te dejan cambiar siempre. Imaginemos dos tandas de diez pares de cajas con la misma distribución de dinero por par en cada tanda y dos jugadores. El primero elige al azar y obtiene 8 euros un número de veces (por ejemplo en las elecciones 1ª, 2ª y 3ª). Se le permite cambiar sólo las cajas que contienen 8, es decir, las tres primeras elegidas. Al segundo se le permite cambiar igualmente sólo en las tres primeras elecciones pero casualmente no elige ninguna de las cajas con 8 euros que eligió el primero.

La paradoja está en que tanto el primero como el segundo deberían cambiar en todos los casos en los que se les permite. Pero evidentemente no pueden ganar los dos al cambiar...

Así que ¿cómo salimos de esta?

[Luis Fuentes]

Hola

Hombre, pues claramente en el hecho de que el jugador debería cambiar tanto si ha escogido la caja que tiene 8 como si ha escogido la otra. Es decir, es la misma paradoja de siempre.

No exactamente. Estás intepretando mal lo que nos dicen las cuentas. Lo que nos dice es que si sólo consideramos aquellos juegos en lo que elegimos la caja 8, la ganancia esperada (en ese subconjuto de partidas) es mayor si cambiamos. También si sólo consideramos aquellos juegos en lo que elegimos la caja 4, la ganancia esperada (en ese subconjunto de partidas) es mayor si cambiamos. Idem para \( 16 \).

De hecho en este caso la mejor estrategia es cambiar siempre excepto si nos sale la caja con \( 64 \) euros, que haciendo las cuentas nos da una ganancia esperada de \( 18.71 \).

En otras palabras, la diferencia con el caso infinito es que allí el razonamiento de que "es mejor cambiar" podía hacerse siempre y nos llevaba a la conclusión paradójica de que la estrategia ganadora es cambiar siempre.

Por el contrario en el caso finito, si abrimos la caja de mayor valor obviamente lo mejor es no cambiar.

Entonces la mejor estrategia es cambiar siempre excepto en ese caso límite. Y esto no va contra la intuición.

Saludos.