[island in the darkness]

Hola amig@s:

Para los aficionados a la física, aquí dejo este problema, si es de vuestro interés:

Dado un plano inclinado (alpha grados) sobre el que se desliza una gota de agua de lluvia (masa \( m \)), se pide:

i) Hallar las ecuaciones cinemáticas de la gota de agua (posición, velocidad y aceleración).

ii) Determinar el ángulo idóneo para que la gota descienda en el mínimo tiempo posible.

iii) Determinar la situación en que la velocidad de descenso es máxima.

iv) Razonar las diferencias, si existen, entre ii) e iii).

v) Si en lugar una plano inclinado se considerase una curva cualesquiera, hallar la ecuación de la curva para garantizar un descenso en el mínimo tiempo posible.

vi) Resolver los apartados anteriores en el caso ideal que no existiera rozamiento. Resolver el problema por dos métodos distintos, cinemática/dinámica y por el principio de conservación de la energía.

N.B.:
1) Se considera que la gota de agua tiene velocidad inicial nula.
2) Se considera que existe rozamiento entre la superficie del plano inclinado y la gota de agua, siendo este coeficiente μ.

Saludos,

island in the darkness.

[Jabato]

Esto huele a braquistocrona de lejos, ¿me equivoco?. Bueno voy a ello. Si la gota se encuentra ubicada en un plano inclinado un ángulo \( \alpha \) sobre la horizontal, la fuerza que la impulsa a descender, teniendo en cuenta el rozamiento es, calculado su valor suponiéndola paralela al plano y de sentido descendente:

\( F=mgSen(\alpha)-\mu mg Cos(\alpha)=P[Sen(\alpha)-\mu Cos(\alpha)] \)

siendo P el peso (valor escalar) de la propia gota de agua, quedando la componente perpendicular al plano anulada por la reacción del propio plano que debemos suponer inamovible. Habida cuenta de que dicho valor es constante dada la invarianza de los tres parámetros de los que depende, debemos suponer que el movimiento de dicha gota será uniformemente acelerado, de aceleración:

\( a=F/m=g[Sen(\alpha)-\mu Cos(\alpha)] \)

Para contestar a la pregunta i) me remito a las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado de aceleración \( a \).

Para contestar a las preguntas ii, iii, iv me permitirás que no haga uso del cálculo, a simple vista se ve que dicha posición es la vertical, en ambos casos, \( \alpha=\pi/2 \) por ser la aceleración función creciente con la inclinación en el intervalo \( [0,\ \pi/2] \), y la longitud del desplazamiento a realizar la misma en ambos casos.

Para contestar al apartado v) me remito al problema de la braquistocrona (con rozamiento y sin él), ya resuelto por Johan Bernoulli hace mucho tiempo, y que fué pionero en lo que hoy llamamos el cálculo variacional, la solución es una cicloide y el problema es algo complejo de mostrar aquí, aunque si hace falta pues ...

El último punto lo dejaré abierto por si algún otro desea hacer aportaciones a este bonito problema.

Saludos, Jabato.

 

[island in the darkness]

Jabato:

Muy bien, estoy de acuerdo en todo lo que dices.

Efectivamente, la penúltima pregunta era con toda la intención de recordar ese gran clásico que es la cicloide. Por cierto, acuérdate que las garras del León la resolvieron también, a petición de Johann, en menos de lo que tarda en salir el sol. Eso sí, esa noche , para variar tampocó se comió la cena que le dejaron, como todos los días, a los pies de la puerta del primer piso de su habitación en Woolsthorpe, Lincolnshire.

Ahora sé bueno y resuelve el último apartado. Si no, no hay chocolate y menos aún será espeso, que es como a ti te gusta, ¿o no?



island in the darkness.

[Jabato]

Bueno, ya que me lo pides tu, y que además me juego el chocolate pues los resolveré por tres métodos distintos:

1º Usando la cinemática
2º Usando las leyes del Leon
3º Usando el teorema de la conservación de la energía.

Si se me ocurre algún otro método pues también irá al retortero, pero no ahora, que me espera una buena siesta, y además esta tarde tengo cosas que hacer, lo haré pero no se cuando podré.

Saludos, Jabato.

[island in the darkness]

Para "desengrasar" un poco, acuérdate que te "comprometiste" con la resolución alternativa (ver tu último mensaje), je, je.

Salu2,

island in the darkness.

[Jabato]

Bueno tienes razón, me comprometí a ello y ahí va la solución, solo en el caso de ausencia de fuerzas de rozamiento:

1º Solución cinemática: El movimento del cuerpo sobre el plano inclinado se obtiene como la proyección sobre dicho plano del movimento del cuerpo sometido solo a la acción de la gravedad y por lo tanto los vectores posición, velocidad y aceleración son las proyecciones sobre dicho plano de los vectores posición, velocidad y aceleración del movimiento supuesto éste en caida libre. Estableciendo un sistema de ejes coordenados, haciendo que el plano inclinado pase por el origen y forme un ángulo \( \alpha \) con el semieje X positivo se tendrá para el movimiento de caída libre:

\( \mathbf r=\mathbf r_0+\mathbf v_0t+\displaystyle\frac{1}{2}\mathbf at^2 \)           \( \mathbf v=\mathbf v_0t+\displaystyle\frac{1}{2}\mathbf at \)

ecuaciónes que nos determinan la posición y velocidad del objeto supuesto éste en caida libre. La proyección del vector de posición, \( \mathbf r \), sobre el plano inclinado debe determinarnos el vector posición del objeto \( \mathbf r' \)supuesto este desplazándose por dicho plano, lo que nos permite determinar su valor:

\( \mathbf r'=(\mathbf u\times\mathbf r)\times \mathbf u=\mathbf u\times(\mathbf r_0+\mathbf v_0t+\displaystyle\frac{1}{2}\mathbf at^2)\times\mathbf u \)

expresión en la que \( \mathbf u \) representa el vector unitario dirigido según la normal al plano y de la que facilmente se deduce, como ya se indicó, que:

\( \mathbf v'=\displaystyle\frac{d\mathbf r'}{dt}=\mathbf v'_0+\mathbf a't=\mathbf u\times(\mathbf v_0+\mathbf at)\times\mathbf u \)      \( \mathbf a'=\displaystyle\frac{d^2\mathbf r'}{dt^2}=\mathbf u\times\mathbf a\times\mathbf u \)

las velocidades y aceleraciones en cada instante son las proyecciones sobre el plano de las velocidades y aceleraciones del objeto supuesto en caida libre.

Bastará ahora determinar los valores de \( \mathbf r_0 \), \( \mathbf v_0 \) y \( \mathbf a \), que determinan el movimiento en caida libre del cuerpo en el sistema de ejes definido, para tener las ecuaciones del movimiento del objeto sobre el plano, que como ya indiqué es proyección del anterior. La ventaja de este "pack" de ecuaciones es que podemos suponer que el movimiento del objeto puede estar dotado de unas condiciones iniciales cualesquiera, aún a pesar de que el enunciado no lo pide, siempre que su posición y velocidad iniciales estén contenidas en el plano sobre el que suponemos que se produce el movimiento, claro.

Continuará, Jabato.

[Jabato]

2º Solución con las leyes de Newton: Este caso se reduce facilmente al anterior una vez conocidas las fuerzas actuantes y traducidas éstas a aceleraciones mediante la segunda ley. El resultado se obtiene como resultado de la aplicación del principio de acción y reacción, ó primera ley, y de la ley de gravitación universal, descubierta también por el propio Newton, ya que las fuerzas actuantes se reducen a dos, la fuerza gravitatoria ó peso de la gota y la reacción que produce el plano inclinado sobre ella, igual y opuesta a la acción de la gota sobre el plano. El problema se reduce a descomponer dicho peso en suma de dos vectores uno normal a plano y otro paralelo a él, la componente normal es la acción que produce la gota sobre el plano que queda por lo tanto compensada por la reacción de este, quedando entonces como única fuerza actuante sobre la gota la componente tangencial (es lo mismo que su proyección sobre el plano), que al ser traducida a una aceleración nos reproduce el mismo resultado obtenido en el apartado anterior:

\( \mathbf a'=\displaystyle\frac{d^2\mathbf r'}{dt^2}=\mathbf u\times\mathbf a\times\mathbf u \)

y que generará por lo tanto el mismo movimiento para la gota, si las condiciones iniciales de la posición y la velocidad coinciden. El resto es ya sencillo, aunque cabe decir que dada la escala del fenómeno se ha realiza una aproximación en lo concerniente al campo gravitatorio que es la de considerarlo dirigido hacia el centro de la Tierra y de intensidad constante:

\( |\mathbf a| = g = 9'81\ m/seg^2 \)          \( \mathbf a=-g\mathbf k \)

conforme al sistema de referencia adoptado en apartados anteriores.

Continuará, Jabato.

[Jabato]

3º Solución con el principio de la conservación de la energía: Me queda pendiente la solución usando el teorema de la conservación de la energía, que es también sencillo de aplicar al caso que nos ocupa. La gota de agua sometida al campo gravitatorio (considerado este constante) presenta una energía potencial, en el sistema de referencia utilizado y considerando como el nivel de potencial 0 el de la cota 0, igual a:

\( U=mgy \)

cualquier variación temporal de dicho potencial se transformará en una variación igual y de signo contrario en la energía cinéica de la partícula, lo que nos permite escribir:

\( mgv_y+m\mathbf {av}=0 \)

ecuación que vuelve a demostrarnos que la fuerza que actua sobre la gota de agua es su propio peso proyectado sobre el plano ya que dicha ecuación puede escribirse como:

\( \mathbf{Fv}=\mathbf{Pv} \)

El resto obedece a una sencilla integración que me permitiréis que omita.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Vamos con la braquistocrona. El problema planteado de la forma más general pide hallar la trayectoria entre dos puntos, no situados en la misma vertical, que hace mínimo el tiempo que tarda un móvil sometido solo a la acción de la gravedad en desplazarse desde uno hasta el otro punto. Resolver el problema de una forma matemáticamente correcta exige resolver un problema variacional bastante complejo y no lo haré. Trataré de explicar el método por el que Bernoulli llegó a resolver el problema hace ya muchos años, mucho antes de que el desarrollo de la matemática permitiera darle una solución exacta. No es un método demasiado ortodoxo pero es muy efectivo.

La idea original partió de un principio de Optica enuciado por Fermat que dice que la trayectoria de un rayo de luz entre dos puntos cualesquiera será aquella que hace mínimo el tiempo que tarda el rayo en recorrerla. El principio, aplicado al caso de la refracción de un rayo de luz al chocar con la superficie de separación de dos medios en los que la velocidad de la luz es distinta, fué lo que le dió a Bernoulli la ocasión de resolver este otro problema de la braquistocrona, que había sido planteado hacía ya mucho tiempo sin que la solución correcta se hubiera mostrado hasta el momento. El propio Galileo pensó que la soluión eran arcos de circunferencia, fallando en el intento.

La ley de Snell para la refracción establece que:

\( n_1Sen\alpha_1=n_2Sen\alpha_2 \)

ley de la que dá completa explicación el principio de Fermat, y en la que n representa el índice de refracción del medio considerado y \( \alpha \) el ángulo de incidencia de rayo luminoso con la superficie de separación de ambos medios. Puesto que el índice de refracción es una constante para cada medio de valor:

\( n = \displaystyle\frac{c}{v} \)

relación entre las velocidades de la luz en el vacío y en el medio, resulta que:

\( \displaystyle\frac{Sen\alpha_1}{v_1}=\displaystyle\frac{Sen\alpha_2}{v_2} \)

La idea genial de Bernoulli fué la de considerar que dicha ley se cumplía también en el problema de la braquistocrona, que podía considerarse a su vez como la superposición de infinitas refracciones, cumpliéndose para todas ellas que:

\( \displaystyle\frac{Sen(\alpha)}{v}=k \)

en la que ahora el ángulo de incidencia es el ángulo que forma la trayectoria con las supeficies equipotenciales del campo gravitatorio. Dicha ley junto con el teorema de la conservación de la energía condujeron a Bernoulli a la solución del problema de una forma impecable.

Continuará, Jabato.

[Jabato]

De acuerdo con todo lo anterior podemos establecer, para el cálculo de la trayectoria, las siguientes ecuaciones:

(1)   \( k^2v^2=2gk^2(y_0-y)=Cos^2(\theta) \)          ó bien         \( k^2v^2=2gk^2(y_0-y)(1+y'^2)=1 \)

y suponiendo que el punto inicial tiene de cota \( y_0 \) y el punto final de la trayectoria coincide con el origen, la solución viene dada por la cicloide de ecuación:

(2)   \( x=A(t+Sent) \)              (3)   \( y=B(1-Cost) \)

en la que las constantes A y B dependen de cual sea el punto en el que se inicie la trayectoria. Os dejo como ejercicio demostrar que la solución de (1) viene dada por las (2) y (3)


Saludos, Jabato.