[Norges Grey Pérez]

Hola.

Como ya muchos conocen, soy amante de las conjeturas.
Hoy quiero dejarles esta, en la cual he estado trabajando últimamente.
Con la ayuda de la IA he buscado los primeros ejemplos y aquí se los dejo.
He verificado los siguientes primos en plataformas confiables y todo indica que son correctos.


Conjetura de los impares consecutivos:

> Si concatenamos impares consecutivos, desde 2 concatenaciones hasta infinitas concatenaciones, exceptuando cuando la cantidad a concatenar es múltiplo de tres, siempre aparecerá al menos 1 primo.

*Ejemplos iniciales:*

- $k=2$: $1,3 \rightarrow 13$ es primo.
- $k=4$: $23,25,27,29 \rightarrow 23252729$ es primo.
- $k=5$: $25,27,29,31,33 \rightarrow 2527293133$ es primo.
- $k=7$: $5,7,9,11,13,15,17 \rightarrow 57911131517$ es primo.
- $k=8$: $45,47,49,51,53,55,57,59 \rightarrow 4547495153555759$ es primo.
- $k=10$: $1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 \rightarrow 135791113151719$ es primo.
- $k=11$: $87,89,91,93,95,97,99,101,103,105,107 \rightarrow 87899193959799101103105107$ es primo.
- $k=13$: $23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47 \rightarrow 23252729313335373941434547$ es primo.

Deseas negarla o probarla ?

Muchas gracias.
Dr. Grey

[Richard R Richard]

Hola, esta relativamente  fácil de probarla verdadera.


Cualquier número se puede obtener  como la suma de otros 2 números $$n= a+b$$ en este grupo de números todo indica  hay infinitos primos $$n$$ , para cualquier valor de $$b$$, las excepciones o dudas  podrían aparecer cuando $$b$$ es primo con $$a$$ par compuesto , pues habría diferencia finita entre dos primos $$b$$ y $$n$$


Supon que el número de cifras de $$b$$ es $$z$$ entonces la concatenación que propones es $$n=k.10^z+b$$ donde $$r=k.10^z$$ es diferencia par y $$b$$ podría ser primo.
Así  que basándome en resultados  previos  en el estudio de la paradoja de gemelos, se sabe que hay infinitos pares de gemelos separados a con $$r>460$$, así que por encima de esa separación entre $$n$$ y $$b$$, se sabe habrá duplas de primos, que r tenga una forma especial  de crearse, no impone ninguna restricción extra, es un número par, luego solo queda mirar que cuanto más grande $$k$$, más cifras por delante tiene el último  impar $$b$$, con $$k=4$$ los impares de 1 cifra ya tienen $$r>1000$$ por lo tanto ya tienen parejas que cumpliran la conjetura, quedan  probar k=3 y k=2, Es fácil demostrar que todos los $$k=3$$  concatenados consecutivos de impares son multiplos de 3 y que por eso no los incluyes en la conjetura.
Solo queda por probar que con k=2 con $$b$$ primo y una sola cifra no se encuentre un ejemplo, para que la conjetura no pudiera ser cierta, y como ya pones el ejemplo (1,  3 ) dando 13 primo, este $$k$$ ya también  cumple, por tanto la conjetura es cierta.

[Norges Grey Pérez]

Hola Richard.

Agradecido por tu participación y aporte a esta conjetura.
Como ya es costumbre en ti, siempre dispuesto a dar tu punto de vista.
En esta ocasión creo que pasaste por algo un dato muy importante y es que debes usar impares sucesivos para concatenarlos.
Por ejemplo: para k=1000 serían mil impares sucesivos concatenados.

La verdad que no le veo mucha relación a tu desarrollo para probarla.

Gracias.

[Richard R Richard]

Hola Norges, es solo mi forma  de ver como se puede demostrar.
Si bien se me puede criticar en que generalizo ,sobre un grupo mayor, cuando quizá el subgrupo de números formado por los los impares consecutivos concatenados pueda no cumplir, pero el caso es que no has puesto cota superior  ni ninguna restricción a que el impar menor sea tan grande como se quiere que la posibilidad de que exista uno es extremadamente alta.
Lo que si es demostrable son dos cosas obvias Los $$k=3x$$ son todos multplos de 3 y no cumplen la conjetura.
Y que para todo k siempre existen infinitos numeros concatenados compuestos, todos aquellos  cuyo impar termine en 5.
Afirmar que para un determinado k ninguno de los infintos números concatenado resulte primo, tiene que tener una razón algebraica manifiesta, cosa que no es facil de encontrar, tal como los k=3x
Lo que argumento es que la concatenación no impone restricciones a los números  primos, hay infintos de ellos, y cualquier sub grupo sin una relación  fija como la concatenación y sin cota superior , no hay inconvenientes en hallar un caso positivo.


Lo más difícil  es que el último  impar y el número  concatenado sean ambos primos, su diferncia es un gap, y hay infintos primos para casi todos los gap, si o si para los de más de 460 de diferencia, es una restricción  menos que se sabe ahora pueden cumplir

[Norges Grey Pérez]

Hola Richard..
Sí, tienes razón, sería mucho más complejo de encontrar y de demostrar si la conjetura exigiera eso, que el último impar concatenado fuera también primo..
Pero ya eso sería tu versión "fuerte" por así llamarle le está conjetura..
Si se hace bien difícil probar la mía, me imagino que tú versión sería imposible de demostrar.
Saludos.

[Richard R Richard]

Hola, Norges , hay un k el 110, que es distinto a todo lo demás hasta el 175, cuando todos en pocos números o miles de impares se encuentra el primer primo, es decir números de mas de trescientas cifras, en ese caso sucede que no hay primos hasta donde revisé, que es todo impar inicial menor a 100.000.000 ... como me pareció extraño tanta diferencia entre k 109 y 112 que son números grandes pero no tanto , aquí hablamos de números concatenados de casi $$8*110\cong 900$$ cifras , y pensé aquí la función de Python que me decía que eran compuestos cuando  puede que sean primos y falla, entonces comprobé uno por uno cada compuesto cual era su menor  divisor primo, en el total hay 177 diferentes para esos 50 millones de números analizados y para el 99,999% de los números se reparte solo entre el 3 5 7 y 11 , el resto de divisores  no suma , el que mas suma es el 13 con 34 números, pero los 4 primeros mas pequeños , son los menores divisores primos de millones de números cada uno , solo 52 números tienen como menor divisor primo un número mas grande que un millón y otros  125 diferentes menores que 1000000. Así que no encontré ninguna regularidad para confirmar que todos para ese k van a ser compuestos.

En resumidas a ese k=110 no le encontré su primo(todavía), no significa que no existe, pero ves donde radica la cosa, por mas que busque otros 100.000.000 quizá no  cuadre uno que sea primo , pero por ahí sí y listo... que pase el que sigue, tu conjetura sobrevive, el que también tiene el primer primo por encima del 1000000 es el k =175, pero no lo desarrolle como este, voy ha dejar el pc encendido haber que pasa si encuentra un primo, por lo menos para algun impar menor de 1.000.000.000, que son números de 990 cifras que python todavía responde rápido si son primos o no, mas si se da que  se distribuyen de esa manera, la mayoría son divisibles por primos muy pequeños

En si es ya es en sí un desafío encontrar un primo compuesto por 110 impares consecutivos concatenados.

Lo que  tu dices que sería un versión fuerte es la única pega que le veo como escollo para que no sea cierta,  si  hubiera cierta regularidad en los primos de k 110  se podría decir que  existe una posibilidad de que sea falsa, pero con tanta cantidad de divisores diferentes, no hay un criterio inteligible, al menos para mi. Creo que es  cuestión de dejar andar un ordenador para que mas temprano que tarde, de el primo que se busca para cada k, aunque pensé que era tarea fácil, la cantidad de cifras  lo complica, pero aún así encontrar por ejemplo: todos los primos para todos los k por debajo del millón... , no dice nada acerca de la  veracidad  de la conjetura, quizá en el k 1000001 se encuentra una regularidad clara y sencilla que verifica fácilmente que todos los elementos empezados por cualquier impar son todos compuestos.

[Norges Grey Pérez]

Muy impresionante tu pasión por las conjeturas, la tuya me supera😁.
Siempre te tomas con seriedad profesional cada reto y exprimes tu Pc hasta el máximo, de seguro tu ordenador ha visto pasar billones y billones de números 😱😱😱.
Interesantísimo el caso de k=110, asombroso.
Pero como dices en cualquier momento puede caer el primo necesario para dicho k.

Aplausos para tí y para esa Pc.

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, esta relativamente  fácil de probarla verdadera.

No tengo mucho tiempo, pero soy incapaz de ver una demostración en nada de lo que dices.

Grosso modo pareces decir más bien algo así como "no encuentro ninguna objeción por la cuál no habría de cumplirse".

Me cuesta centrar más la crítica, porque estoy lejos de ver un argumento concreto y sólido (más allá de ideas heurísticas o probabllísticas).

Dado un \( k \) no múltiplo de \( 3 \) tienes que demostrar que siempre existe un impar \( n \) de manera que junto con los \( k-1 \) impares siguiente concatenados forme un primo. ¿Cuál se supone qué es el argumento?.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola

Hola, esta relativamente  fácil de probarla verdadera.

No tengo mucho tiempo, pero soy incapaz de ver una demostración en nada de lo que dices.

Ni yo Luis, si algo he demostrado alguna vez es copia y pega de alguna demostración que ya existe para algo y que he aprendido.

Grosso modo pareces decir más bien algo así como "no encuentro ninguna objeción por la cuál no habría de cumplirse".

Exacto, agregar palabra sobra.
No es como otras conjeturas donde la posibilidad de falsarla existe y es real. Aqui tiene que haber una relacion albegraica entre el numero de terminos y las cifras de cualquier numero natural repetido n veces...  como son los $$K =3x$$, porque la divisibilidad esta garantizada por el número 3. No hay ningun otro criterio de divisibilidad (mejor decirlo así, no conozco otro criterio de divisibilidad) que ese relacionado con la suma de las cifras que no sea de algun múltiplo de 3, ni nada parecido para la concatenación de cantidades de cifras variables, hata numeros tan grand como querramos.
Si tu crees que puede existir, pues entonces estoy equivocado.
Mi algoritmo va por el menor impar 460.000.001 y todavía no hallo el impar mínimo para k=110, pero si insisto es porque estoy convencido (aunque no sirva de nada para demostrar) que lo voy a hallar tarde o temprano.
 

Me cuesta centrar más la crítica, porque estoy lejos de ver un argumento concreto y sólido (más allá de ideas heurísticas o probabllísticas).

Aver si te transmito la idea mejor , yo no tengo duda que la suma de dos números cualesquiera pueden resultar en un primo, cuando restrinjo  esos "cualquieras" a (k-1) números concatenados de $$q$$ cifras multiplicado por $$10^z$$ donde $$z\geq q$$ es el número de cifras del ultimo impar $$k$$, no veo que nada cambie con la restricción,  solo veo que si ese impar final es primo y  pretendo que el número concatenado sea primo, entonces la diferencia entre ambos es un gap.
De algún video de divulgación sé que esta probado que hay infinitos gemelos de gap mayor a $$70.000.000$$ por lo que si ser ambos primos imponía una restricción a que posiblemente ese gap no se consiga, bueno en números de 1000 cifras ya supere con creces ese gap, la posible restricción de que ambos sean primos está superada. Incluso,   esta demostrado para gaps mayores a 460, sin ser necesarios axiomas o suponer ciertas otras conjeturas, que si fueran ciertas  hay infinitos gemelos  con gap mayor a 6, por lo que no veo restricción alguna  para que la suma de esos números o su concatenación no pueda dar primos.
Pero lo más curioso sería que todos los concatenados fuesen compuestos y sin un ninguna regla fija con la que se lo pueda explicar. Por eso analicé el menor primo que divide a cada uno de los millones de números de esa serie, y vi que hay cientos y no siguen ninguna relación fija...  Crees que puede ser casualidad que todos sean compuestos y que ningún primo pueda aparecer sin que medie nada de álgebra en toda la serie K110 para cualquier natural que inicie la concatenación... yo no creo en las casualidades, voy intentar encontrar el primo, con los recursos que tengo.  Sé que me vas tirar de las orejas  y que quieres rigor, pero lo busco y retiero creo que no hay para demostrar que ningún es k sea especial y completamente compuesto sin ninguna relación clara algebraica entre los números que participan de la concatenación , 110 no tiene nada de especial. Y solo lo digo porque no encontré ese número , ya son millones de casualidades seguidas y ninguno es primo, pero seguro hay uno.

[Luis Fuentes]

Hola

Ni yo Luis, si algo he demostrado alguna vez es copia y pega de alguna demostración que ya existe para algo y que he aprendido.

Por si hay dudas, está frase: "...soy incapaz de ver una demostración en nada de lo que dices...", se refiere exclusivamente a lo que has escrito en este hilo. 

Has hecho muchas demostraciones en el foro; me viene a la memoria alguna a una de estas conjeturas de Norges muy bonita y bien hecha. Y todos los que en algún momento presentamos una demostración nos basamos en cosas previas que hemos aprendido.

No es como otras conjeturas donde la posibilidad de falsarla existe y es real. Aqui tiene que haber una relacion albegraica entre el numero de terminos y las cifras de cualquier numero natural repetido n veces...  como son los $$K =3x$$, porque la divisibilidad esta garantizada por el número 3. No hay ningun otro criterio de divisibilidad (mejor decirlo así, no conozco otro criterio de divisibilidad) que ese relacionado con la suma de las cifras que no sea de algun múltiplo de 3, ni nada parecido para la concatenación de cantidades de cifras variables, hata numeros tan grand como querramos.
Si tu crees que puede existir, pues entonces estoy equivocado.

Yo creo que la conjetura es cierta. Entra dentro de esas conjeturas "fáciles de enunciar y difíciles de demostrar".

Pero si fuese falsa, el motivo no tendría porque ser tan simple como lo que ocurre con el caso \( k \) múltiplo de \( 3 \).

Aver si te transmito la idea mejor , yo no tengo duda que la suma de dos números cualesquiera pueden resultar en un primo, cuando restrinjo  esos "cualquieras" a (k-1) números concatenados de $$q$$ cifras multiplicado por $$10^z$$ donde $$z\geq q$$ es el número de cifras del ultimo impar $$k$$, no veo que nada cambie con la restricción,  solo veo que si ese impar final es primo y  pretendo que el número concatenado sea primo, entonces la diferencia entre ambos es un gap.
De algún video de divulgación sé que esta probado que hay infinitos gemelos de gap mayor a $$70.000.000$$ por lo que si ser ambos primos imponía una restricción a que posiblemente ese gap no se consiga, bueno en números de 1000 cifras ya supere con creces ese gap, la posible restricción de que ambos sean primos está superada. Incluso,   esta demostrado para gaps mayores a 460, sin ser necesarios axiomas o suponer ciertas otras conjeturas, que si fueran ciertas  hay infinitos gemelos  con gap mayor a 6, por lo que no veo restricción alguna  para que la suma de esos números o su concatenación no pueda dar primos.

Pero estamos en la mismas: que con los conocimientos de las matemáticas actuales, no veamos ninguna restricción para que algo se cumpla, no quiere decir que se cumpla. Eso no llega como demostración. En realidad esa es la situación de la mayoría de conjeturas abiertas, que todos los indicios apuntan a que son ciertas pero no se ha logrado demostrar firmemente.

Saludos.

P.D. Al respecto de conjeturas que parecían una cosa y fueron otra, puedes echar un vistazo a este artículo

https://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Un-millon-de-casos-no-bastan-MatMat.pdf

He adjuntado también un resumen del mismo hecho por IA