El conjunto de los pares es infinito, no finito.
Y cuando digo que \( d(n^2) = \sqrt{\aleph_0} \), lo que importa es la forma, no hay que comerse la cabeza pensando que en el infinito, los infinitos son iguales.
Salu2
Sí hay que “comerse la cabeza”, porque estas cosas engañan mucho.
Los números naturales van así 1,2,3,4,... ¿Pueden ser infinitos y a la vez no existir ningún número natural de infinitas cifras? En principio, si no existieran los de infinitas cifras, llegaría a un máximo que informaría de la cantidad desde 1 hasta este máximo, y no sería un conjunto infinito. Pero si hubiera números de infinitas cifras, habría números que no serían pares ni impares y que no tendrían un valor definido más allá del propio infinito; por ejemplo, este número 999 es menor que éste 1111, aunque los dígitos sean más pequeños; en el valor de los naturales, manda la cantidad de cifras. Entonces, cualquier “número” que tenga infinitas cifras, ¿qué “valor” tiene?, tiene “valor” infinito y no es ni par ni impar ni divisible por nadie. Dado esto, ¿de verdad que existen infinitos pares, eso es posible? Sí, pero no por extensión, no como una cantidad de cosas metidas en un recinto, sino como una definición (es Russell, la paradoja del barbero, no existe el conjunto de todos los conjuntos); existen como la idea de que siempre se puede encontrar otro mayor. Y, así, cuando intentas hallar la densidad de los pares en los naturales, no puedes considerar el cardinal aleph sub cero, porque eso no existe como numero natural, como número de contar, y, por tanto, no existe como cantidad o valor; ni par ni impar.
Saludos.
