[Carlos Oyarzo]

Hola.

Lo importante aquí es que estamos en una situación absurda: la cardinalidad del conjunto C de los cuadrados es la misma que el conjunto de los naturales, y su densidad es cero, siendo que la intuición dice que la cantidad de elementos de C es (bastante) menor que \( \aleph_0 \), pero (bastante) mayor que 0, en consecuencia, simplemente propongo otra función de densidad, eso es todo.

Pero es que yo no sé hasta qué punto tu densidad arregla eso. Si es que hay algo que arreglar que yo no lo veo. ¿No te chirría que para \[ \{1/n:n\in{\mathbb{N}-\{0\}}\} \] dé \( 1/\aleph_0 \)? ¿Se puede calcular para las partes de \[ \mathbb{N} \]?¿Da lo mismo que para  \[ \{\log_2n:n\in{\mathbb{N}}\} \]?
¿Y para conjuntos como los siguientes?

\[ \{1/n:n\in{\mathbb{Z}-\{0\}}\} \]
\[ \{1/n:n \textrm{ es primo}\} \]

No había pensado que sucede con conjuntos finitos, pero de momento no me quiero calentar la cabeza.

Tú mismo. Has abierto tú el debate. Te hago preguntas que pienso que te pueden interesar.

Saludos.

Bueno, se podría definir
\( 1/\aleph_0 = 0 \), y si una densidad es igual a 0, el conjunto es finito.
Con respecto al conjunto de partes, primero hay que definir una función que genere el conjunto de partes, y no se me ocurre  , algún forero podría echar mano.

[martiniano]

Hola.

Bueno, se podría definir
\( 1/\aleph_0 = 0 \), y si una densidad es igual a 0, el conjunto es finito.

Pero el conjunto que propuse al que le has asignado esa densidad no es finito.

Con respecto al conjunto de partes, primero hay que definir una función que genere el conjunto de partes, y no se me ocurre  , algún forero podría echar mano.

¿Quieres decir una función exhaustiva de los naturales en sus partes? Me temo que tal función no existe. El conjunto de las partes de los naturales no es numerable. Igual deberías pensar en qué condiciones debe cumplir un conjunto para poder calcular lo que llamas densidad.

La cosa está en que parece que lo que estás buscando es una extensión de la definición de cardinal que asigne valores diferentes a conjuntos que, según la definición al uso, tienen el mismo cardinal. Me chirría que hayas asignado el valor de \[ 2^{\aleph_0} \] a un conjunto numerable cuando ése es el cardinal de las partes de \[ \mathbb{N} \].

Saludos.

[Carlos Oyarzo]

Hola.

Pero el conjunto que propuse al que le has asignado esa densidad no es finito.

Con respecto al conjunto de partes, primero hay que definir una función que genere el conjunto de partes, y no se me ocurre  , algún forero podría echar mano.

¿Quieres decir una función exhaustiva de los naturales en sus partes? Me temo que tal función no existe. El conjunto de las partes de los naturales no es numerable. Igual deberías pensar en qué condiciones debe cumplir un conjunto para poder calcular lo que llamas densidad.

La cosa está en que parece que lo que estás buscando es una extensión de la definición de cardinal que asigne valores diferentes a conjuntos que, según la definición al uso, tienen el mismo cardinal. Me chirría que hayas asignado el valor de \[ 2^{\aleph_0} \] a un conjunto numerable cuando ése es el cardinal de las partes de \[ \mathbb{N} \].

Saludos.

No pero que 1/n sea natural, el único que lo cumple es cuando n = 1.

Sobre el conjunto de partes, vaya no existe tal función? Entonces me quedaré en la duda. Y con respecto al \( 2^{\aleph_0} \), bueno, eso ocurre cuando el dominio de la función es menor que el conjunto de los naturales, es decir, con menos números de entrada, se generan todos los naturales. No sé, lo encuentro algo secundario, se podría restringir no más si te chirría.

Salu2

[martiniano]

Hola.

Es que \[ 2^{\aleph_0}=\aleph_1 \] es el cardinal de los reales. ¿No te chirría a ti eso? Lo digo porque si no te gustaba que los pares y los naturales tuvieran el mismo cardinal no sé por qué esto lo ves ahora como algo secundario.

Es decir, hay veces que estás dando al símbolo \[ \aleph_0 \] un significado y veces que le estás dando otro.

Un saludo.

[feriva]

No había pensado que sucede con conjuntos finitos, pero de momento no me quiero calentar la cabeza.
Lo importante aquí es que estamos en una situación absurda: la cardinalidad del conjunto C de los cuadrados es la misma que el conjunto de los naturales, y su densidad es cero, siendo que la intuición dice que la cantidad de elementos de C es (bastante) menor que ℵ0, pero (bastante) mayor que 0, en consecuencia, simplemente propongo otra función de densidad, eso es todo.
Salu2

Pero tú hablabas de la densidad (densidad natural, que se define, según dice Eparoh) a raíz del artículo que había enlazado ani pascual, ¿no? Pues esa densidad es con conjuntos finitos, para un “n” tan grande como se quiera, no para el cardinal infinito. No existe la mitad de infinito ni nada así, porque no es una cantidad, no es un número.

Este número 123 es la mitad de éste 246, ¿pero cuál es la mitad de 24689761112... sin acabar nunca, cuántos “números” distintos infinitos hay, como podrías decir cuál es mayor cuando son infinitamente parecidos? Ni siquiera está definida la paridad de los “números” infinitos, porque no acaban en cifra par ni en nada, no son comparables, son representantes de un sólo “valor”, infinito (infinito numerable). 

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Vaya está guapo el artículo. La definición de función que da es en realidad de aplicación no?
...

Creo que la diferencia sutil es que se suele usar función cuando el codominio es un conjunto numérico y aplicación cuando es cualquier conjunto, pero en esencia es lo mismo: una correspondencia entre dos conjuntos que a cada elemento del dominio le asigna uno y solo uno del codominio ¿no? 
Saludos

[Carlos Oyarzo]

Hola.

Es que \[ 2^{\aleph_0}=\aleph_1 \] es el cardinal de los reales. ¿No te chirría a ti eso? Lo digo porque si no te gustaba que los pares y los naturales tuvieran el mismo cardinal no sé por qué esto lo ves ahora como algo secundario.

Es decir, hay veces que estás dando al símbolo \[ \aleph_0 \] un significado y veces que le estás dando otro.

Un saludo.

Bueno, en tal caso, restringo la densidad a aplicaciones \( f:N\longrightarrow{}S\subseteq{}N \)

Salu2

[Carlos Oyarzo]

No había pensado que sucede con conjuntos finitos, pero de momento no me quiero calentar la cabeza.
Lo importante aquí es que estamos en una situación absurda: la cardinalidad del conjunto C de los cuadrados es la misma que el conjunto de los naturales, y su densidad es cero, siendo que la intuición dice que la cantidad de elementos de C es (bastante) menor que ℵ0, pero (bastante) mayor que 0, en consecuencia, simplemente propongo otra función de densidad, eso es todo.
Salu2

Pero tú hablabas de la densidad (densidad natural, que se define, según dice Eparoh) a raíz del artículo que había enlazado ani pascual, ¿no? Pues esa densidad es con conjuntos finitos, para un “n” tan grande como se quiera, no para el cardinal infinito. No existe la mitad de infinito ni nada así, porque no es una cantidad, no es un número.

Este número 123 es la mitad de éste 246, ¿pero cuál es la mitad de 24689761112... sin acabar nunca, cuántos “números” distintos infinitos hay, como podrías decir cuál es mayor cuando son infinitamente parecidos? Ni siquiera está definida la paridad de los “números” infinitos, porque no acaban en cifra par ni en nada, no son comparables, son representantes de un sólo “valor”, infinito (infinito numerable). 

Saludos.

El conjunto de los pares es infinito, no finito.
Y cuando digo que \( d(n^2) = \sqrt{\aleph_0} \), lo que importa es la forma, no hay que comerse la cabeza pensando que en el infinito, los infinitos son iguales.

Salu2

[Carlos Oyarzo]

Hola:

...
Vaya está guapo el artículo. La definición de función que da es en realidad de aplicación no?
...

Creo que la diferencia sutil es que se suele usar función cuando el codominio es un conjunto numérico y aplicación cuando es cualquier conjunto, pero en esencia es lo mismo: una correspondencia entre dos conjuntos que a cada elemento del dominio le asigna uno y solo uno del codominio ¿no? 
Saludos

Yo entiendo que en una función, un valor de entrada podría no tener un valor asignado de salida, en cambio, en una aplicación, todos los valores de entrada tienen asignado un valor de salida.

Salu2

[ani_pascual]

Hola:

...
Yo entiendo que en una función, un valor de entrada podría no tener un valor asignado de salida, en cambio, en una aplicación, todos los valores de entrada tienen asignado un valor de salida.
...

Pues según tengo entendido, toda función es una aplicación, pero no toda aplicación es una función (aunque creo que la mayoría las usamos como si fueran lo mismo... ). Por tanto, en una función, todo valor de entrada tiene uno y solo un valor de salida.
Saludos