[Carlos Oyarzo]

Hola.

Hola.

Lo de intuitivo o no intuitivo es algo bastante subjetivo en este caso. En mi opinión es bastante intuitivo decir que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una biyección de uno de ellos en el otro. Simplemente es una manera de extender el concepto de cardinal de conjuntos finitos a infinitos.

Por otro lado, imagínate que hallamos una definición de cardinal que cumpla lo que propones. Imagínate otra cultura que también conoce los números naturales sólo que los denomina diferente. Al uno lo llama dos, al dos lo llama cuatro, al tres seis... En general a cada número lo llama por el nombre que nosotros le damos a su doble. ¿Qué pasaría con la cardinalidad de los naturales en esa cultura? ¿Sería la misma que la de nuestros pares o la de nuestros naturales?

Si aceptas lo primero yo no veo muy intuitivo que la cardinalidad de un conjunto cambie sólo por cambiar de nombre a sus elementos. Si aceptas lo segundo tampoco veo muy intuitivo que la cardinalidad de dos conjuntos cuyos elementos se llaman igual sean diferentes sólo porque una persona sea usuaria de un idioma y otra de otro.

Un saludo.

No creo que sea preciso el ejemplo que pones, porque el 1 y el 2 representan dos objetos matemáticos distintos, no es sólo una convención.

Ya. Pero el nombre que se le da a esos objetos en un idioma determinado sí que es una convención. Lo que te propongo es que admitamos una definición de cardinalidad que cumpliese lo que propones. Entonces la pregunta es, si en otro idioma a cada número natural se le nombrase igual que nosotros nombramos a su doble, ¿afectaría eso a la cardinalidad del conjunto?

Si es que sí, entonces la cardinalidad de los naturales no es universal y depende del idioma en el que estemos hablando.

Si es que no, entonces la cardinalidad del conjunto \[ \{\textrm{dos, cuatro, seis, ocho, ... }\}
 \] es la que depende del idioma en el que se han escrito sus elementos.

No me parece muy intuitivo que la definición de cardinalidad tenga que tener en cuenta el idioma en el que estemos hablando.

Un saludo.

Me sigue sin convencer.
Salu2.

[Carlos Oyarzo]

Holas
Existe la cardinalidad intuitiva?, como que el conjunto de los pares tiene la mitad de elementos que el conjunto de los naturales? |pares| = \( \aleph_0 \)/2

Salu2

Lo que existe, cuando se habla de cardinales infinitos, es una diferencia de concepto entre cardinal y cantidad. Si tenemos dos caños echando agua en unos recipientes, podremos hablar de la cantidad de agua que han echado si terminan de echar alguna vez, en otra circunstancia, si no terminan de echar agua nunca, podremos hablar, si acaso, del caudal de cada grifo, pero no del agua que han echado. Entonces, lo que tu intuyes es que un grifo tiene el doble de caudal, no el doble de cardinal; el cardinal es que ninguno termina de echar agua; y ahí se pueden distinguir dos casos, que se pueda decir cuántas unidades (de litros o lo que sea) echan cada cierto tiempo (aunque nunca acaben de echar agua, un “caudal numerable”) o que no se pueda.

Saludos.

Me confundí.

[Carlos Oyarzo]

Veo que Martiniano ha dado esencialmente el mismo argumento que iba a darte yo, pero lo pongo igualmente:

Decir que "no es intuitivo" que haya el mismo número de números naturales que de números pares es como decir que "no es intuitivo" que si uno juega a la lotería con el número 32711 tiene las mismas probabilidades de ganar que otro que juegue con el número 12345, porque lo "intuitivo" es que 32711 es un número que, podrá ganar o no, pero no sería sorprendente que ganara, mientras que para que pudiera salir ganador el número 12345 tendría que darse una casualidad tan grande que es inimaginable que uno pueda vivir para ver algo así.

En efecto, las dos "verdades intuitivas" se pueden refutar con el mismo argumento (que es el de Martiniano).

En el caso de la lotería, imagina un bombo que contiene 100000 bolas idénticas. Está claro que, si sacamos una al azar, todas tienen la misma probabilidad de salir. Pero imagina ahora que le pintamos a cada bola un número del 0 al 99999. Si admitimos que el número pintado no afecta al proceso físico por el que se extrae la bola, ¿cómo se puede sostener que las bolas marcadas como 32711 y 12345 ya no tienen las mismas probabilidades de salir? ¿Si les borras las marcas tienen la misma probabilidad y si no se las borras tienen probabilidades muy distintas?

Y más aún: ¿Y si numeras las bolas en base 8? Entonces la bola 12345 tendría el número 30071 ("un número normal"), mientras que la bola 5349 (en base 10) pasaría a tener el número 12345. ¿Sucede entonces que una misma bola tiene probabilidades de salir si su número (en base 10) es 5349, pero pasa a ser prácticamente imposible que salga si la numeras en base 8, porque entonces es la 12345?

Esto mismo se aplica a los cardinales. Imagina que hubiera infinitas estrellas (no es el caso, pero podríamos vivir en un universo infinito con infinitas estrellas), y que los astrónomos hubieran convenido un criterio para numerarlas en función de su distancia al Sol, con algún criterio extra para deshacer empates. Entonces el Sol sería la estrella 0, luego Proxima Centauri sería la estrella 1, Alfa Centauri A sería la 2, Alfa Centauri B sería la 3, la estrella de Barnard sería la 4, etc.

Podríamos decir que hay tantas estrellas como números naturales.

Pero ahora imagina que los astrónomos rusos deciden seguir otro criterio, y asignan a las estrellas números pares y a los planetas números impares. Así 0 sería el Sol, 1 sería Mercurio, 2 sería Proxima Centauri, 3 sería Venus, etc.

Si aceptamos que es "intuitivamente cierto" que hay la mitad de números pares que de números naturales, tendríamos que concluir que los rusos han reducido a la mitad el número de estrellas, porque para ellos hay tantas como números pares. Las estrellas son las que son, ni más ni menos. ¿Es "intuitivo" que el número de estrellas se duplique o se reduzca a la mitad según cómo las etiquetes? La respuesta es que es igual de "intuitivo" que afirmar que la probabilidad de que salga una bola de un bombo es mayor o menor según cómo la etiquetes.

Por otra parte, pongo siempre "intuitivo" entre comillas porque nada de lo dicho aquí tiene nada que ver con la intuición en el sentido que hay que dar a esta palabra como fuente del conocimiento matemático. Que una recta no puede cortar a una circunferencia en más de dos puntos es intuitivamente cierto, pero que el cardinal de los números naturales sea igual al de los números pares no tiene nada de intuitivo o de antiintuitivo. Es intuitivamente cierto si damos la definición de cardinal usual, y no es ni intuitivo ni antiintuitivo si no adoptamos ninguna definición de cardinal. Los argumentos previos muestran que cualquier intento de definir el cardinal de un conjunto infinito que no implique que los números naturales y los números pares tienen el mismo cardinal llevaría a admitir que un mismo conjunto puede tener un cardinal u otro distinto según "el cristal con que se mire", por lo que tal cardinalidad no sería una propiedad intrínseca del conjunto, sino una propiedad "relativa al contador".

Vaya no sé que decir, es más o menos lo que dice el artículo. Me parece bien, tal vez sea un problema de nomenclatura nomás, a cardinalidad yo lo llamaría ordinalidad, y a la densidad cardinalidad.
Por otro lado, en la definición de densidad, el conjunto de los cuadrados tendría densidad 0 me parece, pero eso no me parece intuitivo. Por ejemplo, yo definiría densidad como:
\( d(A(n)) = A^{-1}(\aleph_0) \)
Así, si \( A(n) = n^2, d(A) = \sqrt{\aleph_0} \)
Salu2

[martiniano]

Hola.

Me sigue sin convencer.
Salu2.

Entiendo que no te convence el argumento que he dado en favor de definir el cardinal de un conjunto infinito así como se suele hacer hoy en día. Supongo que es porque tienes una respuesta a la pregunta que te he hecho que consideras satisfactoria, ¿cómo contestas entonces?

[Carlos Oyarzo]

Hola.

Me sigue sin convencer.
Salu2.

Entiendo que no te convence el argumento que he dado en favor de definir el cardinal de un conjunto infinito así como se suele hacer hoy en día. Supongo que es porque tienes una respuesta a la pregunta que te he hecho que consideras satisfactoria, ¿cómo contestas entonces?

Mira la respuesta que le dí a Carlos Ivorra; creo que es sólo un problema de nomenclatura.

[martiniano]

Hola.

Te contesto a esto aunque supongo que Carlos te querrá contestar también.

Vaya no sé que decir, es más o menos lo que dice el artículo. Me parece bien, tal vez sea un problema de nomenclatura nomás, a cardinalidad yo lo llamaría ordinalidad, y a la densidad cardinalidad.

En principio no creo que haya problema por cambiarle el nombre a las cosas. Ahora bien, cuando se hace con algo que está fuertemente consensuado, como es el caso, se suele explicar con más o menos detalle los motivos. Y si quieres redefinir algún concepto o definir un concepto nuevo lo mismo. En este caso conviene, además, que seas preciso. Por ejemplo, en lo que sigue:

Por otro lado, en la definición de densidad, el conjunto de los cuadrados tendría densidad 0 me parece, pero eso no me parece intuitivo. Por ejemplo, yo definiría densidad como:
\( d(A(n)) = A^{-1}(\aleph_0) \)
Así, si \( A(n) = n^2, d(A) = \sqrt{\aleph_0} \)

No se entiende muy bien si lo que estás definiendo ahí es una propiedad de conjuntos arbitrarios, de subconjuntos de naturales, finitos, o infinitos, o que se puedan describir de una determinada manera a partir de una función que cumpla alguna cosa...

Para aclarar un poco el asunto. ¿Podrías calcular lo que llamas densidad de conjuntos como los siguientes?

\[ \{n/2:n\in{\mathbb{N}}\} \]
\[ \{\sqrt n:n\in{\mathbb{N}}\} \]
\[ \{1/n:n\in{\mathbb{N}}\} \]
\[ \{\log_2n:n\in{\mathbb{N}}\} \]

Un saludo.

[Carlos Oyarzo]

Hola.

Te contesto a esto aunque supongo que Carlos te querrá contestar también.

Vaya no sé que decir, es más o menos lo que dice el artículo. Me parece bien, tal vez sea un problema de nomenclatura nomás, a cardinalidad yo lo llamaría ordinalidad, y a la densidad cardinalidad.

En principio no creo que haya problema por cambiarle el nombre a las cosas. Ahora bien, cuando se hace con algo que está fuertemente consensuado, como es el caso, se suele explicar con más o menos detalle los motivos. Y si quieres redefinir algún concepto o definir un concepto nuevo lo mismo. En este caso conviene, además, que seas preciso. Por ejemplo, en lo que sigue:

Por otro lado, en la definición de densidad, el conjunto de los cuadrados tendría densidad 0 me parece, pero eso no me parece intuitivo. Por ejemplo, yo definiría densidad como:
\( d(A(n)) = A^{-1}(\aleph_0) \)
Así, si \( A(n) = n^2, d(A) = \sqrt{\aleph_0} \)

No se entiende muy bien si lo que estás definiendo ahí es una propiedad de conjuntos arbitrarios, de subconjuntos de naturales, finitos, o infinitos, o que se puedan describir de una determinada manera a partir de una función que cumpla alguna cosa...

Para aclarar un poco el asunto. ¿Podrías calcular lo que llamas densidad de conjuntos como los siguientes?

\[ \{n/2:n\in{\mathbb{N}}\} \]
\[ \{\sqrt n:n\in{\mathbb{N}}\} \]
\[ \{1/n:n\in{\mathbb{N}}\} \]
\[ \{\log_2n:n\in{\mathbb{N}}\} \]

Un saludo.

\( 2\aleph_0
\\
\aleph_0^2
\\
\dfrac{1}{\aleph_0}
\\2^{\aleph_0} \)
La verdad no sé como intuir esto, puede ser por ejemplo en el primer conjunto que con la mitad de los naturales, se reproducen todos los naturales 

Salu2

[feriva]

Por otro lado, en la definición de densidad, el conjunto de los cuadrados tendría densidad 0 me parece, pero eso no me parece intuitivo. Por ejemplo, yo definiría densidad como:
\( d(A(n)) = A^{-1}(\aleph_0) \)
Así, si \( A(n) = n^2, d(A) = \sqrt{\aleph_0} \)
Salu2

En todo caso, suponiendo que sea correcto escribir eso (que no lo sé, sinceramente) sería al revés; o sea, si el cardinal de A fuera $$ |A| $$, la densidad sería $$|A|\aleph^{-1}$$ , y daría cero para cualquier cardinal de A finito.

Tal como tú lo has puesto, daría el propio infinito para un cardinal de A finito.

Otra cosas es si consideras un “n” tan grande como quieras, que no es lo mismo que el cardinal infinito, y entonces, según el conjunto, se irá acercando a una densidad que será siempre menor que 1. Por ejemplo, el mínimo de primos que hay hasta un “n”es $$\dfrac{n}{\log(n)}$$, la densidad de primos consistiría en el cociente de dividr eso por “n”, y quedaría $$\dfrac{1}{\log(n)}$$.

Saludos.

[Carlos Oyarzo]

Por otro lado, en la definición de densidad, el conjunto de los cuadrados tendría densidad 0 me parece, pero eso no me parece intuitivo. Por ejemplo, yo definiría densidad como:
\( d(A(n)) = A^{-1}(\aleph_0) \)
Así, si \( A(n) = n^2, d(A) = \sqrt{\aleph_0} \)
Salu2

En todo caso, suponiendo que sea correcto escribir eso (que no lo sé, sinceramente) sería al revés; o sea, si el cardinal de A fuera $$ |A| $$, la densidad sería $$|A|\aleph^{-1}$$ , y daría cero para cualquier cardinal de A finito.

Tal como tú lo has puesto, daría el propio infinito para un cardinal de A finito.

Otra cosas es si consideras un “n” tan grande como quieras, que no es lo mismo que el cardinal infinito, y entonces, según el conjunto, se irá acercando a una densidad que será siempre menor que 1. Por ejemplo, el mínimo de primos que hay hasta un “n”es $$\dfrac{n}{\log(n)}$$, la densidad de primos consistiría en el cociente de dividr eso por “n”, y quedaría $$\dfrac{1}{\log(n)}$$.

Saludos.

No había pensado que sucede con conjuntos finitos, pero de momento no me quiero calentar la cabeza.
Lo importante aquí es que estamos en una situación absurda: la cardinalidad del conjunto C de los cuadrados es la misma que el conjunto de los naturales, y su densidad es cero, siendo que la intuición dice que la cantidad de elementos de C es (bastante) menor que \( \aleph_0 \), pero (bastante) mayor que 0, en consecuencia, simplemente propongo otra función de densidad, eso es todo.
Salu2

[martiniano]

Hola.

Lo importante aquí es que estamos en una situación absurda: la cardinalidad del conjunto C de los cuadrados es la misma que el conjunto de los naturales, y su densidad es cero, siendo que la intuición dice que la cantidad de elementos de C es (bastante) menor que \( \aleph_0 \), pero (bastante) mayor que 0, en consecuencia, simplemente propongo otra función de densidad, eso es todo.

Pero es que yo no sé hasta qué punto tu densidad arregla eso. Si es que hay algo que arreglar que yo no lo veo. ¿No te chirría que para \[ \{1/n:n\in{\mathbb{N}-\{0\}}\} \] dé \( 1/\aleph_0 \)? ¿Se puede calcular para las partes de \[ \mathbb{N} \]?¿Da lo mismo que para  \[ \{\log_2n:n\in{\mathbb{N}}\} \]?
¿Y para conjuntos como los siguientes?

\[ \{1/n:n\in{\mathbb{Z}-\{0\}}\} \]
\[ \{1/n:n \textrm{ es primo}\} \]

No había pensado que sucede con conjuntos finitos, pero de momento no me quiero calentar la cabeza.

Tú mismo. Has abierto tú el debate. Te hago preguntas que pienso que te pueden interesar.

Saludos.