[Richard R Richard]

Siempre me meto a explorar temas relacionados con algún hilo, en particular este https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=130222.0


Así despertó nuevamente las ganas de ver como crece la cantidad de números que están al misma cantidad de pasos del origen 1. Es decir llamo paso a la acción de multiplicar por 3 y sumar 1  como también a la de dividir. por 2.


Entonces cree un algoritmo que me devuelve todos y cada uno  de los números que están a la misma distancia en pasos del 1,  en un paso "cero" estaría el propio 1,  a un paso estaría el 2, a dos pasos el 4, a tres pasos el 8, a cuatro el 16,  a cinco pasos  estarían el 32 pero también el 5, y así voy construyendo una lista de números del paso $$n$$, para que sirva de base para la del paso $$n+1$$
De la lista fui eliminando los múltiplos de 3 que van apareciendo  pues  no van a aportar nada más que duplicarse pues nunca serán del tipo $$1mod3$$ , también fue eliminando los $$1mod 3$$ que provienen de un paso donde el número inicial es par ya que allí la acción es dividir y no multiplicar...además de no repetir  el ciclo 1241.
Ej el 13 es del tipo $$1mod3$$ pero no incluyo en el siguiente  paso al 4 porque no viene de hacer $$4\cdot 3+1$$ , sino de dividir el 26 por 2 , así en el siguiente paso estará el 26,  esta rama no la descarto pues al volver a multiplicar por 2 tengo 52 que es un $$1 mod3$$ que trae al  17 en el siguiente  piso.
Pero al 45 solo puede llegar desde cualquier $$45\cdot 2^x$$ ya que es múltiplo de 3  y cualquier paso posterior solo puede ser  multiplicado por 2 , ninguno de esos múltiplos  será alguna ves distinto de $$0mod3$$ por eso los elimino, me interesa ver solo  como se crean y distribuyen las ramas, no su prolongación  al infinito sin aporte.

Bueno al grano , hice un resumen de las cantidades de números hasta 60 pasos y  observé como crece la cantidad de números de cada paso.
Si bien entiendo que en cada paso siempre aparece entre los números a contar una nueva potencia de 2 , no entiendo porque las cantidades números crece de manera exponencial casi perfecta, es decir si represento con una curva su logaritmo resulta casi -casi lineal respecto al número de pasos.

Hay alguna explicación para esto, no le veo relación a con la potencia de 2  ya que lo que hago es contar números y no tiene nada que ver con su valor. ¿Es un simple dato curioso?

[Richard R Richard]

Creo ya le encontré el origen

Si \( n \) es el numero de elementos de un paso  , yo estaba viendo que la cantidad de elementos del siguiente paso era aproximadamente  $$n\cdot1.264\pm0.005$$.

El siguiente paso siempre tiene  un elemento que es el doble de uno de los del paso anterior  , así ya empieza teniendo n elementos pares el resto serán impares que vienen de aquellos elementos  pares que son ala vez  \( 1 \) mod \( 3 \)

$$n_{p+1}=n_p(1+K)\, \to\, K\cong  0.264\pm0.005$$ 

$$K=\dfrac{1}{K+1}\cdot \frac13\cdot \frac12=$$ Ec1

Esto es la fracción de pares anterior por la fracción de números \( 1 \) mod \( 3 \) que es \( 1/3 \) por la fracción de ello que resulte impar \( 1/2 \).

Si se resuelve la ecuación \( 1 \) resulta $$K=\dfrac{\sqrt{21}-3}6=0,26376261...\cong 0.264$$ que es lo que vengo viendo.

Si hay irregularidades es porque , trabajamos con cantidades pequeñas  cuanto mas grande el paso mejor será la aproximación...

Si bien no busqué los números para conjeturar nada.

Esto solo dice que en infinitos pasos habrá infinitos números que desciendan a 1 , (pero no dice nada si existen números que no descienden a 1 en infinitos pasos).

A la larga debería suceder $$n_{p}=1,26376261^p$$ pero porque al inicio no es tan marcada la tendencia la aproximación tiene errores.

La lista es la siguiente por si alguien le sirve el dato

Spoiler

paso  nros por paso
0   1
1   1
2   1
3   1
4   1
5   2
6   2
7   4
8   2
9   4
10   4
11   6
12   8
13   12
14   14
15   17
16   20
17   26
18   32
19   43
20   52
21   66
22   81
23   104
24   133
25   170
26   211
27   271
28   335
29   424
30   542
31   686
32   873
33   1096
34   1376
35   1730
36   2205
37   2794
38   3522
39   4429
40   5611
41   7100
42   8978
43   11343
44   14296
45   18058
46   22828
47   28924
48   36532
49   46146
50   58399
51   73713
52   93128
53   117787
54   148783
55   188144
56   237734
57   300243
58   379444
59   479445
60   606202
61   766389
62   968140
63   1223685
64   1546232
65   1954298
66   2469786
67   3120464
68   3943932
69   4984414
70   6298990
 

[cerrar]

   
Siempre el máximo $$k$$ de un paso es el mayor entero menor o igual a $$paso/3$$

[Granmurillo]

Involucrar a los números pares en el conteo se lo considera trivial justamente por lo que deduces. Por eso se utiliza la forma reducida o simplificada \( (3x+1)/2^k \) para tratar de resolver los brincos entre números impares que es el verdadero problema de esta conjetura. Por ejemplo lo que hace saltar el 13 al 5 no importa cuántos números pares se encuentran en medio. Si tomamos la orbita del 9 son 19 pasos hasta el 1, pero son 13 disminuciones y 6 incrementos. Si los incrementos son finitos pues las disminuciones también. Lo que hay que buscar, como bien los indicas, es que los incrementos no sean infinitos y para eso no necesitas a los pares.