[JoseOmar]

Hola a todos, 👋

Quiero compartir con ustedes un descubrimiento que he hecho mientras exploraba la conjetura de Collatz. Llevo varias semanas estudiando esta famosa conjetura, y hace poco encontré una propiedad que, hasta donde sé, no había sido reportada antes. He publicado un artículo en Zenodo con todos los detalles, demostraciones y evidencia computacional.

Aquí les dejo el enlace del artículo:

👉 [Pares gemelos en la órbita de Collatz: una estructura oculta y su demostración constructiva]
https://zenodo.org/records/18917285

Si les gusta, luego podemos comentarlo. 😊

Un saludo a todos.

[Luis Fuentes]

Hola

Quiero compartir con ustedes un descubrimiento que he hecho mientras exploraba la conjetura de Collatz. Llevo varias semanas estudiando esta famosa conjetura, y hace poco encontré una propiedad que, hasta donde sé, no había sido reportada antes. He publicado un artículo en Zenodo con todos los detalles, demostraciones y evidencia computacional.

Aquí les dejo el enlace del artículo:

👉 [Pares gemelos en la órbita de Collatz: una estructura oculta y su demostración constructiva]
https://zenodo.org/records/18917285

Si les gusta, luego podemos comentarlo. 😊

 Me pierdo en la demostración del Lema 2 a partir del paso 3. No entiendo como argumentas para obtener diferencias \( \Delta=3^j \). Tampoco entiendo cuando dices que esas diferencias son linealmente independientes sobre \( \Bbb Z \) para \( j=0,1,2,\ldots,r-1 \). De hecho no lo son (o quizá estoy entendiendo mal): \( \{1,3,9,\ldots\} \) no son linealmente independientes sobre \( \Bbb Z \) sino que son unos múltiplos de otro: trivialmente dependientes.

 Incluso hay algo que me despista en los pasos previos. Tomas \( \alpha=0 \); eso quiere decir que no hay pasos pares y que todas las potencias de los \( t_i \) en los impares son cero. Pero entonces solo puede realizarse una operación impar. (\( r=1 \)). Porque una operación impar sólo tiene sentido si el \( x \) es par, porque si \( x \) es impar nunca sería el resultado de aplicar la función de Collatz a un impar, ya que si \( n \) es impar, \( f(n)=3n-1 \) es par.

 ¿Podrías detallarla más?. Como dices que es constructiva, y aunque me interesan más aclaraciones teóricas y generales, también puede ayudar un ejemplo en el que dado un  \( r \), un  \( d \) y siguiendo los pasos de tu demostración se construyan \( A,B \).

Saludos.

P.D. Esto es algo que no he pensado mucho pero, ¿te vale la pena integrar en las operaciones impares inversas las multiplicaciones por \( 2 \)?. Es decir tu las pones como:

\( x\to \dfrac{2^tx-1}{3} \)

que en el fondo equivale a haber hecho \( t \) operaciones pares y luego una impar "pura":

\( \underbrace{x\to 2x\to 4x\to\ldots\to 2^tx}_{t\text{ veces}}\to \dfrac{2^tx-1}{3} \)

A vuelapluma me parece que así simplificaría algo la notación; pero ya digo que es algo que no está pensado en profundidad. De hecho quizá sea una tontería porque después de hacer un \( 3x+1 \) necesariamente al menos hay que dividir por dos una vez.

[Richard R Richard]

Hola no sé que puede aportar la relación 1

$$k(n)+k(n+d)=c(n)$$ es algo vago y repetitivo

si tomo $$n<100000$$   
para cada $$n$$ calculo $$k(n)$$ y $$c(n)$$

luego para cada distancia $$d$$  entre 1 y 5000  cuento cuantas veces hay coincidencia entre la suma de los $$k$$ a cierta distancia $$d$$ con la cantidad de divisiones $$c$$ es decir

$$f(d)=\sum\limits_{d=1,n=1\to100000/\, k(n)+k(n+d)=c(n)}^{5000}1$$



como hay tanta cantidad de coincidencias las grafique para ver si había un patrón o tendencia y no veo nada.




Luego para las relaciones  2)   $$k(n)=k(n+d) $$ y $$c(n)=c(n+d)=2k(n)$$  también hay muchas coincidencias y sin patrón claro, pero al menos descendente.





Creo se entiende que no veo nada de especial  de un par de gemelos de Collatz definidos así , si integro esa curva hay mas de 1 millón de pares en 1 millón de números,  y esto solo limitando la distancia de a 1/20 avas partes de $$n$$



 

[JoseOmar]

Hola

Quiero compartir con ustedes un descubrimiento que he hecho mientras exploraba la conjetura de Collatz. Llevo varias semanas estudiando esta famosa conjetura, y hace poco encontré una propiedad que, hasta donde sé, no había sido reportada antes. He publicado un artículo en Zenodo con todos los detalles, demostraciones y evidencia computacional.

Aquí les dejo el enlace del artículo:

👉 [Pares gemelos en la órbita de Collatz: una estructura oculta y su demostración constructiva]
https://zenodo.org/records/18917285

Si les gusta, luego podemos comentarlo. 😊

 Me pierdo en la demostración del Lema 2 a partir del paso 3. No entiendo como argumentas para obtener diferencias \( \Delta=3^j \). Tampoco entiendo cuando dices que esas diferencias son linealmente independientes sobre \( \Bbb Z \) para \( j=0,1,2,\ldots,r-1 \). De hecho no lo son (o quizá estoy entendiendo mal): \( \{1,3,9,\ldots\} \) no son linealmente independientes sobre \( \Bbb Z \) sino que son unos múltiplos de otro: trivialmente dependientes.

 Incluso hay algo que me despista en los pasos previos. Tomas \( \alpha=0 \); eso quiere decir que no hay pasos pares y que todas las potencias de los \( t_i \) en los impares son cero. Pero entonces solo puede realizarse una operación impar. (\( r=1 \)). Porque una operación impar sólo tiene sentido si el \( x \) es par, porque si \( x \) es impar nunca sería el resultado de aplicar la función de Collatz a un impar, ya que si \( n \) es impar, \( f(n)=3n-1 \) es par.

 ¿Podrías detallarla más?. Como dices que es constructiva, y aunque me interesan más aclaraciones teóricas y generales, también puede ayudar un ejemplo en el que dado un  \( r \), un  \( d \) y siguiendo los pasos de tu demostración se construyan \( A,B \).

Saludos.

P.D. Esto es algo que no he pensado mucho pero, ¿te vale la pena integrar en las operaciones impares inversas las multiplicaciones por \( 2 \)?. Es decir tu las pones como:

\( x\to \dfrac{2^tx-1}{3} \)

que en el fondo equivale a haber hecho \( t \) operaciones pares y luego una impar "pura":

\( \underbrace{x\to 2x\to 4x\to\ldots\to 2^tx}_{t\text{ veces}}\to \dfrac{2^tx-1}{3} \)

A vuelapluma me parece que así simplificaría algo la notación; pero ya digo que es algo que no está pensado en profundidad. De hecho quizá sea una tontería porque después de hacer un \( 3x+1 \) necesariamente al menos hay que dividir por dos una vez.

Hola
Le escribo para agradecerle la revisión que hizo de mi trabajo sobre los pares gemelos en Collatz. Sus observaciones fueron muy útiles y me ayudaron a mejorar la demostración.

He publicado una nueva versión del artículo en Zenodo, ahora como una conjetura abierta, siguiendo sus sugerencias. Le comparto el enlace por si le interesa ver el resultado:

https://zenodo.org/records/18946629

Quedo atento a cualquier comentario adicional. De nuevo, gracias por su tiempo.

Saludos cordiales,
Jose Omar del Toro Barroso

[JoseOmar]

Hola no sé que puede aportar la relación 1

$$k(n)+k(n+d)=c(n)$$ es algo vago y repetitivo

si tomo $$n<100000$$   
para cada $$n$$ calculo $$k(n)$$ y $$c(n)$$

luego para cada distancia $$d$$  entre 1 y 5000  cuento cuantas veces hay coincidencia entre la suma de los $$k$$ a cierta distancia $$d$$ con la cantidad de divisiones $$c$$ es decir

$$f(d)=\sum\limits_{d=1,n=1\to100000/\, k(n)+k(n+d)=c(n)}^{5000}1$$



como hay tanta cantidad de coincidencias las grafique para ver si había un patrón o tendencia y no veo nada.




Luego para las relaciones  2)   $$k(n)=k(n+d) $$ y $$c(n)=c(n+d)=2k(n)$$  también hay muchas coincidencias y sin patrón claro, pero al menos descendente.





Creo se entiende que no veo nada de espacial  de un par de gemelos de Collatz definidos así , si integro esa curva hay mas de 1 millón de pares en 1 millón de números,  y esto solo limitando la distancia de a 1/20 avas partes de $$n$$

Hola, gracias por tu análisis y por compartir tus gráficos. Es interesante ver la cantidad de coincidencias para ambas condiciones.

Observo que tu enfoque cuenta el número total de pares que cumplen k(n)+k(n+d)=c(n) en un rango fijo de n. Eso da una idea de la densidad, pero mi interés principal está en la existencia de al menos un par para cada distancia d que además cumpla la condición más fuerte k(n)=k(n+d) y c(n)=c(n+d)=2k. He verificado experimentalmente que para d hasta 200 existe siempre un a (con a hasta 5000). Esto sugiere que la propiedad es universal, y de ahí surge la conjetura.

En el enlace de Zenodo que incluí en el artículo hay un código Python que puedes utilizar para hacer la prueba y extenderla si lo deseas:

https://zenodo.org/records/18946629

Si te animas a explorar más allá de d=200 o con un límite mayor de a, sería muy valioso saber si encuentras algún contraejemplo o si, por el contrario, la tendencia se mantiene. En cualquier caso, agradezco tu interés y la dedicación que has puesto en este análisis.

Un saludo.

[Richard R Richard]

Si te animas a explorar más allá de d=200 o con un límite mayor de a, sería muy valioso saber si encuentras algún contraejemplo o si, por el contrario, la tendencia se mantiene. En cualquier caso, agradezco tu interés y la dedicación que has puesto en este análisis.

Es que he hecho el análisis hasta $$d= 5000$$ , con n o a hasta 1000000 y la cantidad de coincidencias apenas baja un poco pasando $$d=1000$$.
Supongo que será tan difícil de demostrar como la propia conjetura de Collatz, pero todo indica que siempre hallaras un ejemplo para cualquier distancia.
Me resulta bastante obvio pensar  que $un  numero $$n$$ siempre exista una distancia $$d$$ para la cual se cumple y por el contrario , para cualquier distancia $$d$$ siempre exista un $$n$$ que tambien cumpla. pero puede existir un caso en que no se de y la conjetura sea falsa. 


Estoy pensando una estrategia para demostrar  que existe $$n$$ para cualquier $$d$$   y viceversa, pero quiero estar seguro.

[JoseOmar]

Si te animas a explorar más allá de d=200 o con un límite mayor de a, sería muy valioso saber si encuentras algún contraejemplo o si, por el contrario, la tendencia se mantiene. En cualquier caso, agradezco tu interés y la dedicación que has puesto en este análisis.

Es que he hecho el análisis hasta $$d= 5000$$ , con n o a hasta 1000000 y la cantidad de coincidencias apenas baja un poco pasando $$d=1000$$.
Supongo que será tan difícil de demostrar como la propia conjetura de Collatz, pero todo indica que siempre hallaras un ejemplo para cualquier distancia.
Me resulta bastante obvio pensar  que $un  numero $$n$$ siempre exista una distancia $$d$$ para la cual se cumple y por el contrario , para cualquier distancia $$d$$ siempre exista un $$n$$ que tambien cumpla. pero puede existir un caso en que no se de y la conjetura sea falsa. 


Estoy pensando una estrategia para demostrar  que existe $$n$$ para cualquier $$d$$   y viceversa, pero quiero estar seguro.

Hola,
Lo que dices sobre la doble implicación me parece muy interesante. No lo había pensado así. Si se puede demostrar una dirección, quizás la otra sale sola.

Si se te ocurre alguna idea más, estaré encantado de leerla. Un saludo y gracias otra vez.

[Richard R Richard]

Si te animas a explorar más allá de d=200 o con un límite mayor de a, sería muy valioso saber si encuentras algún contraejemplo o si, por el contrario, la tendencia se mantiene. En cualquier caso, agradezco tu interés y la dedicación que has puesto en este análisis.

Es que he hecho el análisis hasta $$d= 5000$$ , con n o a hasta 1000000 y la cantidad de coincidencias apenas baja un poco pasando $$d=1000$$.
Supongo que será tan difícil de demostrar como la propia conjetura de Collatz, pero todo indica que siempre hallaras un ejemplo para cualquier distancia.
Me resulta bastante obvio pensar  que $un  numero $$n$$ siempre exista una distancia $$d$$ para la cual se cumple y por el contrario , para cualquier distancia $$d$$ siempre exista un $$n$$ que tambien cumpla. pero puede existir un caso en que no se de y la conjetura sea falsa. 


Estoy pensando una estrategia para demostrar  que existe $$n$$ para cualquier $$d$$   y viceversa, pero quiero estar seguro.

Hola,
Lo que dices sobre la doble implicación me parece muy interesante. No lo había pensado así. Si se puede demostrar una dirección, quizás la otra sale sola.

Si se te ocurre alguna idea más, estaré encantado de leerla. Un saludo y gracias otra vez.

He cambiado la forma en que busco la igualdad, y de pronto tantas igualdades han desaparecido, siendo muy escasas, revisaré, pero ahora estoy en las antípodas seguramente mi software se saltaba alguna regla y daba mas igualdades que las que realmente hay. Con tiempo  publicare lo que halle luego de revisar con detenimiento.

[JoseOmar]

Si te animas a explorar más allá de d=200 o con un límite mayor de a, sería muy valioso saber si encuentras algún contraejemplo o si, por el contrario, la tendencia se mantiene. En cualquier caso, agradezco tu interés y la dedicación que has puesto en este análisis.

Es que he hecho el análisis hasta $$d= 5000$$ , con n o a hasta 1000000 y la cantidad de coincidencias apenas baja un poco pasando $$d=1000$$.
Supongo que será tan difícil de demostrar como la propia conjetura de Collatz, pero todo indica que siempre hallaras un ejemplo para cualquier distancia.
Me resulta bastante obvio pensar  que $un  numero $$n$$ siempre exista una distancia $$d$$ para la cual se cumple y por el contrario , para cualquier distancia $$d$$ siempre exista un $$n$$ que tambien cumpla. pero puede existir un caso en que no se de y la conjetura sea falsa. 


Estoy pensando una estrategia para demostrar  que existe $$n$$ para cualquier $$d$$   y viceversa, pero quiero estar seguro.

Hola,
Lo que dices sobre la doble implicación me parece muy interesante. No lo había pensado así. Si se puede demostrar una dirección, quizás la otra sale sola.

Si se te ocurre alguna idea más, estaré encantado de leerla. Un saludo y gracias otra vez.

He cambiado la forma en que busco la igualdad, y de pronto tantas igualdades han desaparecido, siendo muy escasas, revisaré, pero ahora estoy en las antípodas seguramente mi software se saltaba alguna regla y daba mas igualdades que las que realmente hay. Con tiempo  publicare lo que halle luego de revisar con detenimiento.

Hola,
No te preocupes, estas cosas pasan. Revisa tranquilo y cuando tengas los resultados definitivos, me cuentas. Un saludo

[Richard R Richard]

Agrego gemelos a tu lista, estoy tratando aquellos que surgen para d<1000

Spoiler

n d k(d) 502 1 22 888 2 24 1582 3 26 1959 4 27 6025 5 31 2819 6 28 2810 7 28 799 8 24 3358 9 29 2607 10 28 4523 11 30 603 12 23 4981 13 30 3489 14 29 2535 15 28 2519 16 28 6641 17 31 1417 18 26 6207 19 31 4615 20 30 11849 21 33 11690 22 33 8247 23 32 1889 24 27 45203 25 38 17537 26 34 15799 27 34 10623 28 33 34815 29 37 1065 30 25 10863 31 33 4583 32 30 15587 33 34 1913 34 27 21065 35 35 18883 36 35 28095 37 36 14443 38 34 18999 39 35 34751 40 37 14483 41 34 6111 42 31 27477 43 36 10895 44 33 13153 45 33 2617 46 28 3503 47 29 4535 48 30 14526 49 34 20986 50 35 19257 51 35 37069 52 37 615 53 23 25331 54 36 6055 55 31 2551 56 28 86272 57 40 31223 58 36 37449 59 37 120879 60 41 4671 61 30 65262 62 39 18935 63 35 14585 64 34 14950 65 34 7967 66 32 19366 67 35 27981 68 36 25747 69 36 62987 70 39 33775 71 37 61779 72 39 8073 73 32 189983 74 43 8171 75 32 25247 76 36 175007 77 42 36352 78 37 89279 79 40 120175 80 41 807 81 24 3401 82 29 115293 83 41 59687 84 39 47369 85 38 36522 86 37 19451 87 35 11943 88 33 131395 89 41 80575 90 40 1095 91 25 37306 92 37 83983 93 40 49254 94 38 106543 95 41 47455 96 38 4863 97 30 201609 98 43 65894 99 39 6711 100 31 47551 101 38 37123 102 37 48469 103 38 34623 104 37 61083 105 39 8302 106 32 81255 107 40 82371 108 40 33663 109 37 10750 110 33 65441 111 39 109631 112 41 188191 113 43 16041 114 34 116142 115 41 83079 116 40 45775 117 38 5033 118 30 15369 119 34 62247 120 39 11527 121 33 64625 122 39 155527 123 42 79855 124 40 86835 125 40 8955 126 32 342271 127 45 15913 128 34 4734 129 30 191017 130 43 206689 131 43 87259 133 40 49499 134 38 274233 135 44 44883 136 38 2663 137 28 188413 138 43 11069 139 33 31283 140 36 1963 141 27 157203 143 42 84219 144 40 1435 145 26 19111 146 35 142334 147 42 60499 148 39 35591 149 37 259923 150 44 67127 151 39 188659 152 43 85095 153 40 150869 154 42 154854 155 42 341999 156 45 115779 157 41 335519 159 45 59847 160 39 280801 161 44 88073 162 40 284859 163 44 262407 164 44 87563 165 40 336545 166 45 115417 167 41 342689 168 45 347343 170 45 148821 171 42 19933 172 35 162623 173 42 61201 174 39 25515 176 36 3551 177 29 199431 178 43 144439 180 42 47654 181 38 61550 185 39 339631 186 45 41710 187 37 14758 188 34 154371 189 42 343017 192 45 81391 193 40 109831 194 41 80667 195 40 109433 197 41 84793 199 40 28319 200 36 155127 201 42 141855 202 42 26603 203 36 34031 204 37 278137 207 44 350208 209 45 209915 211 43 60647 213 39 251545 214 44 117431 215 41 208353 216 43 63783 217 39 365611 221 45 252187 222 44 262943 225 44 81607 226 40 266267 229 44 196731 230 43 259631 231 44 259399 232 44 19695 233 35 15135 234 34 157359 236 42 50459 238 38 159215 239 42 108527 241 41 38025 242 37 149735 244 42 283227 246 44 155689 247 42 55613 249 38 217071 250 43 202270 251 43 275015 253 44 263168 254 44 153889 255 42 48128 256 38 265887 258 44 212987 259 43 145911 261 42 362266 262 45 37759 264 37 205831 265 43 74215 267 39 45375 271 38 275295 273 44 26287 281 36 6310 282 31 143471 284 42 156575 285 42 11241 286 33 145183 287 42 113439 289 41 214107 291 43 47835 293 38 108809 294 41 378014 297 45 159935 298 42 21227 304 35 346175 307 45 212287 317 43 50697 318 38 205185 319 43 417215 320 45 151295 321 42 289439 322 44 144703 329 42 212633 334 43 349759 335 45 283983 336 44 8431 337 32 284329 338 44 64170 342 39 274441 343 44 160799 346 42 354523 347 45 194547 350 43 98953 355 40 159579 356 42 112281 359 41 197203 364 43 38267 366 37 373182 369 45 35055 371 37 283511 372 44 107817 377 41 191295 378 43 275779 381 44 193577 384 43 201727 385 43 360063 393 45 160399 400 42 276777 407 44 89775 408 40 26907 416 36 380203 432 45 351949 435 45 365921 447 45 359590 451 45 380635 452 45 28519 456 36 131951 457 41 268969 471 44 214399 476 43 367707 485 45 51023 487 38 370302 491 45 278355 501 44 20105 503 35 255059 507 44 258103 511 44 364809 519 45 90183 522 40 85557 523 40 358639 529 45 343209 535 45 120299 560 41 119607 564 41 377399 565 45 46665 569 38 68030 573 39 35775 577 37 147902 578 42 6811 588 31 62367 611 39 379105 654 45 191679 665 43 371139 671 45 340078 676 45 114074 678 41 285865 681 44 110927 689 41 285153 712 44 90735 735 40 234655 739 43 67279 749 39 83195 773 40 9081 774 32 152107 853 42 51511 868 38 255579 877 44 381153 907 45 417535 941 45 360529 943 45 312903 955 44 270397 963 44 202809 967 43 120975 986 41  [/t][/t][/t]

[cerrar]

Hasta el 131 he hallado todos en continuo, el primer faltante es el 132, pero solo hay que esperar que aparezca mas adelante.  Dejare el pc  hasta hallar los 1000, es lento se hallan muchas combinaciones pero lo que busca el la primera aparición de una distancia $$d$$ que corrobore la relación.

Se puede hacer  diferente establecer el $$d$$, y ver cual es el primer $$n$$ que lo cumple, pero son formas equivalentes de resolver lo mismo creo que la que elegí lleva menos operaciones.

Lo que si no es cierto es que para cada $$n$$ existe al menos un $$d$$ que cumple la relacion 2, puesto que a medida que $$d$$ se hace mas grande   $$c(n+d)$$ incrementa y nunca podra ser igual a  $$c(n)$$ que es pequeño , por ello no tienes resultados  debajo de $$n =502$$


para estar seguros hay que comprobar la relacion 2  para cada n  hasta $$max=n\cdot1.5^k(n)-n$$ porque por encima no puede ascender una orbita de $$n$$, hasta  el 26 es fácil pero 27 tiene $$k(27)=41$$ lo que puede llevar a muchas comprobaciones , mas de 4 millones de orbitas y encontrar una que coincidencia,
 

Lo que no veo claro es la utilidad de estos gemelos $$c(n) =2k(n)$$ , ya que podrías elegir $$c(n) =3k(n)$$  en general $$c(n)=x\cdot k(n)$$    ya que siempre existe  $$k(n)log_2\frac32<x<k(n)log_2\frac32+log_2 n$$ y como el término a la derecha puede crecer entonces podrás hallar cualquier de esas relaciones enteras, igualmente aunque halles los ejemplos, ¿en que contribuyen para probar Collatz?, si solo es el planteo de la nueva conjetura con $$x=2$$ creo que es cierta, que toda distancia $$d$$ , tendrá un ejemplo de que $$2k(n)=c(n)=c(n+d)$$ con $$k(n)=k(n+d)$$  ya que eres libre de escoger entre infinitos $$n$$ alguno cumplirá, (no hay ninguna razón que obstaculice eso), solo estamos buscando el mas bajo de todos ellos. Hallar millones de ejemplos , no da por verdadera la conjetura, no hay forma de probar todos los $$n$$ para una distancia $$d$$ fija.[/td][/tr][/table]