Hola
He estado revisando alguna cosa de tu artículo y no está bien. Dices:
Desde luego la conjetura 1 tal como está enunciada es falsa. Si fijado \( r \) tu acotas \( 2r\geq a_i,b_i\geq 0 \) entonces las posibles sucesiones que cumplen esa cota son un numero finito y por tanto los valores de:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^r{}(2^{a_i}-2^{b_i})3^{r-i} \)
son un número finito. Es imposible que con ellos se pueda obtener \( 3^r\cdot d \) para
cualquier \( d \).
Pero más aún, ni siquiera sin esa restricción la conjetura es cierta. Supongamos \( r=2 \) y \( d=1 \). Necesitaríamos encontrar \( a_1>a_2\geq 0 \), \( b_1>b_1\geq 0 \) tales que:
\( 3(2^{a_1}-2^{b_1})+2^{a_2}-2^{b_2}=9 \)
Pero dado que \( 2^{a_1}-2^{b_1} \) es par, necesariamente \( 2^{a_2}-2^{b_2} \) ha de ser impar y así \( a_2=0 \) y \( b_2\geq 1 \) ó \( b_2=0 \) y \( a_2\geq 1 \).
- Si \( a_2=0 \) queda \( 3\cdot 2^{a_1}=3\cdot 2^{b_1}+2^{b_2}+8 \). Pero entonces \( a_1>b_1 \) y
\( 3\cdot 2^{a_1}=8+2^{b_2}+3\cdot 2^{b_1}\leq 8+4\cdot 2^{b_1}\leq 8+2\cdot 2^{a_1} \)
de donde \( 0<b_2<b_1<a_1\leq 3 \) y así la única opción sería \( b_2=1 \), \( b_1=2 \), \( a_1=3 \), que no cumple la ecuación.
- Si \( b_2=0 \) queda \( 3(2^{a_1-1}-2^{b_1-1})+2^{a_2-1}=5 \) y por paridad o bien \( b_1=1 \) ó bien \( a_2=1 \).
Si \( b_1=1 \) queda \( 3\cdot 2^{a_1-1}+2^{a_2-1}=6 \): imposible.
Si \( a_2=1 \) queda \( 3(2^{a_1-1}-2^{b_1-1})=4 \): imposible.
Saludos.
