Hola
Pero observa que solo la condición 6 limita los valores posible entre todos los naturales y no solo los primos a los pares de valores
$$a= 3 , b= 7 , ab= 37 , ba= 73$$
$$a= 33 , b= 67 , ab= 3367 , ba= 6733$$
$$a= 333 , b= 667 , ab= 333667 , ba= 667333$$
$$a= 3333 , b= 6667 , ab= 33336667 , ba= 66673333$$
....
donde
$$a=3*(\dfrac{10^n-1}{9})$$ donde $$a$$ solo es primo para $$n=1$$
y sale que el único $$b$$ posible es
$$b=2a+1$$
Así que si como para cualquier $$n$$ distinto de 1, $$a$$ resulta no primo, $$3$$ y $$7$$ son el único par que cumple tus 7 condiciones.
Esto es cierto si supones que \( a,b \) tienen el mismo número de cifras y es fácil de demostrar (no has escrito la prueba, pero sale rápido), pero no necesariamente en otro caso. Por ejemplo:
\( b=\underbrace{6\ldots 6}_{n}, a=5b+1 \) (\( b=6 \), \( a=31 \), \( 316\cdot 2-1=631 \), \( b=66 \), \( a=331 \), \( 33166\cdot 2-1=66331 \))
ó \( a=1457 \), \( b=29 \)
La conjetura es cierta, no hay mucho mas que buscar.
Entonces por ahora la conjetura no está completamente demostrada. Es cierto que la condición 6 es muy restrictiva y probablemente de ahí salga, pero hay que trabajarla algo más...
Saludos.
Hola Luis use un algoritmo donde a y b pueden tomar cualquier primo entre 2 y 100000 es decir pueden tomar distinta longitud y aun así no salió ningun otro par.
'''
1. Cada uno( a y b) es un número primo.
2. 2a−1 es un número primo
3. 2b−1 es un número primo
4. La concatenación ab forma un número primo
5. El reverso ba también es un número primo
6. Se cumple: 2×(ab)−1=ba
7. Todos los valores generados en el proceso son primos distintos
'''
import sympy as s
d=0
for a in range(1,100000):
if s.isprime(a) and s.isprime(2*a-1):
for b in range(1,100000):
if s.isprime(b)and s.isprime(2*b-1):
cs=str(a)+str(b)
rs=""
for x in cs:
rs=x+rs
r=int(rs)
c=int(cs)
if s.isprime(c)and s.isprime(r):
if a!=c and a!=r and b!=c and b!=r and c!=r :
d+=1
print("a=",a,", b=",b,", ab=",c,", ba=",r, ", van=", d) Creo que diferimos en cm o armamos el emirp
yo de números naturales $$abc$$ y $$defg$$ formaba uno $$abcdefg$$ y otro $$defgabc$$ y comprobaba la condición 6 eso es lo que citaste solo cumple el par (3,7)
y si los armo los naturales, no solo los primos, de la forma $$abcdefg$$ y $$gfedcba$$ los que que cumplen la condición 6 menores a 100000 son
a= 3 , b= 7 , ab= 37 , ba= 73 , van= 1
a= 3 , b= 97 , ab= 397 , ba= 793 , van= 2
a= 3 , b= 997 , ab= 3997 , ba= 7993 , van= 3
a= 3 , b= 9997 , ab= 39997 , ba= 79993 , van= 4
a= 3 , b= 99997 , ab= 399997 , ba= 799993 , van= 5
a= 39 , b= 7 , ab= 397 , ba= 793 , van= 6
a= 39 , b= 97 , ab= 3997 , ba= 7993 , van= 7
a= 39 , b= 997 , ab= 39997 , ba= 79993 , van= 8
a= 39 , b= 9997 , ab= 399997 , ba= 799993 , van= 9
a= 39 , b= 99997 , ab= 3999997 , ba= 7999993 , van= 10
a= 399 , b= 7 , ab= 3997 , ba= 7993 , van= 11
a= 399 , b= 97 , ab= 39997 , ba= 79993 , van= 12
a= 399 , b= 997 , ab= 399997 , ba= 799993 , van= 13
a= 399 , b= 9997 , ab= 3999997 , ba= 7999993 , van= 14
a= 399 , b= 99997 , ab= 39999997 , ba= 79999993 , van= 15
a= 3999 , b= 7 , ab= 39997 , ba= 79993 , van= 16
a= 3999 , b= 97 , ab= 399997 , ba= 799993 , van= 17
a= 3999 , b= 997 , ab= 3999997 , ba= 7999993 , van= 18
a= 3999 , b= 9997 , ab= 39999997 , ba= 79999993 , van= 19
a= 3999 , b= 99997 , ab= 399999997 , ba= 799999993 , van= 20
Pero como ves solo del conjunto de valores de $$a= 3,39,399,3999,...$$ que vienen aparentemente de una progresión el único que es primo es el 3, luego sigue siendo único.
Si hay que probar como se forman estas únicas relaciones y si es posible ver porque esos números resultan compuestos menos el 3.
