Hola
Buenísima Richard R Richard
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Voy a escribir en limpio y seguido tu demostración para que quede recogida: son tus ideas.
Se quiere probar que los únicos primos \( a,b \) que verifican simultánemante:
(i) \( 2a-1,2b-1 \) primos.
(ii) \( \overline{ab} \), \( 2\overline{ab}-1=\overline{ba} \) primos (donde \( \overline{ab} \) es la concatenación de ambos números).
son \( a=3 \), \( b=7 \). Prueba:
1)
Observación previa: dado que \( 10=1 \) mod \( 3 \), y por tanto \( 10^k=1 \) mod \( 3 \). Se tiene que si llamamos \( S(x) \) a la suma de las cifras de \( x \), \( S(x)=x \) mod \( 3 \).
2) \( a\neq 2 \) porque en otro caso \( \overline{ba} \) sería par no primo (falla (ii)).
3) Si \( x>3 \) primo y \( 2x-1 \) primo entonces necesariamente \( x=1 \) mod \( 3 \), ya que no pueden ser cero, porque sería divisible por \( 3 \) (no primos). Y si fuese \( 2 \), \( 2x-1=4-1=3 \) mod \( 3 \), \( 2x-1 \) no sería primo.
4) Si \( a,b>3 \) entonces por (3) \( a,b=1 \) mod \( 3 \). Pero entonces por (1):
\( \overline{ab}=S(\overline{ab})=S(a)+s(b)=a+b=2 \) mod \( 3 \)
y por (3) \( \overline{ab},2\overline{ab}-1 \) no podrían ser los dos primos. No se cumpliría (ii).
5) Si \( a=3 \) y \( b \) tiene \( n \) cifras, la condición (ii) queda:
\( 2(3\cdot 10^n+b)-1=10b+3\quad \Leftrightarrow\quad 3\cdot 10^n=2(2b+1) \)
si \( n>1 \) el término de la izquierda es divisible por \( 4 \) y el de la derecha no: no puede ocurrir. Si \( n\leq 1 \) por simple inspección se ve que el único primo \( b \) que cumple es \( b=7 \).
6) Si \( b=3 \) y \( a \) tiene \( n \) cifras, la condición (ii) queda:
\( 2(10a+3)-1=3\cdot 10^n+a\quad \Leftrightarrow\quad 19a+5=10^n\cdot 3 \)
pero entonces \( a \) debería de ser múltiplo de \( 5 \). Por ser primo, necesariamente \( 5 \) pero no cumple (3).
7) Si \( b=2 \), entonces por (1):
\( 2\overline{ab}-1=S(2\overline{ab}-1)=2(S(a)+S(b))-1=2a+2b-1=2a \) mod \( 3 \)
Mientras que
\( \overline{ba}=b+a=a+2 \) mod \( 3 \)
Igualando \( a=2 \) mod \( 3 \) lo cuál contradice (3).
Saludos.
