Hola, Feriva
Te respondo desde este hilo porque aquí está el PDF con mi última versión sobre la Conjetura de Goldbach en la que he mejorado algunos detalles respecto a la versión anterior.
La principal novedad es que, en la sección 11, he usado la función Totiente de Euler $$\varphi(n)$$: “Si $$n$$ es un número entero positivo, entonces $$\varphi(n)$$ se define como la cantidad de enteros positivos menores que $$n$$ y coprimos con $$n$$”.
Respecto al tema de los primordiales, te explico:
En la tabla 2 (página 15), tenemos las columnas $$p_n$$, $$T_n$$ y $$t_n$$
$$p_n$$ se corresponde con los sucesivos primos $$p$$ desde el 3 (3, 5, 7, 11, 13, …, 997, …). Por ejemplo: $$p_n$$ = 19 corresponde al primo 19.
$$T_n$$ se corresponde con el producto de todos los primos $$p$$ desde el 2 hasta $$p_n$$. Ejemplo: $$T_{17}$$= 2·3·5·7·11·13·17 = 510.510 Representa los módulos de las progresiones para cada $$p_n$$.
$$t_n$$ se corresponde con el producto de todos los $$(p-1)$$ desde el 2 hasta $$p_n$$. Ejemplo: $$t_{17}$$= 1·2·4·6·10·12·16 = 92.160 Representa el número de progresiones aritméticas para cada $$T_n$$.
Lo interesante es la fracción $$\frac{T_n}{t_n}$$ que aumenta de valor a medida que aumenta $$p_n$$. Yo he llegado hasta $$p_n$$=601, pero me hubiera gustado saber los valores de $$T_n$$ y $$t_n$$ (expresados, con aproximación de un dígito seguido de 2 o 3 decimales, como potencia de 10), correspondientes a un primo $$p_n$$ mucho mayor. Solamente es por curiosidad, para comparar el valor de la última columna para este $$p_n$$ con los que ya se han calculado, pero no es necesario.
El planteamiento clásico para intentar demostrar la Conjetura de Goldbach consiste en usar la expresión $$2n=p+q$$ como punto de partida. De momento, sin resultados válidos.
Todo lo que expreso a continuación intenta ser un resumen del PDF que he publicado sobre esta conjetura.
El enfoque que yo propongo empieza por definir todas las parejas de números (primos o compuestos), que suman cualquier número par mayor que 2. Estas parejas estarán formadas por:
Número compuesto más número compuesto (parejas CC)
Número compuesto más número primo (parejas CP-PC)
Y, si cumple la Conjetura de Goldbach, número primo más número primo (parejas PP)
El planteamiento que he usado me permite definir los axiomas y los teoremas que rigen la formación de las parejas CC que suman un número par. Se puede poner un ejemplo sencillo:
Si analizamos todas las parejas que se forman para un número par 2N que sea múltiplo del primo 7, todos múltiplos de 7 desde 0 hasta N estarán emparejados con todos los múltiplos de 7 desde N hasta 2N. En definitiva, las parejas (1/7 del total), de múltiplos de 7 se pueden “tachar” sin afectar al resto de parejas ni a los números primos.
Usando estos axiomas y teoremas se consigue demostrar que, para cada número par, aunque sea cada vez mayor y hasta el infinito, siempre se forma la cantidad suficiente de parejas CC de modo que el número de compuestos que quedan “libres” siempre es menor que el número de primos disponibles. En consecuencia, aunque todos estos compuestos libres estarán emparejados con números primos formando las parejas CP-PC, siempre sobrarán algunos primos que formarán parejas entre ellos cumpliendo la Conjetura de Goldbach.
Para no hacer esta exposición demasiado larga, se puede consultar en la respuesta número #7 de este hilo, como se aplica todo lo expresado al número par 54.
Este razonamiento se puede aplicar a cualquier número par, aunque sea muy grande. Para hacerlo más fácil, usaremos progresiones aritméticas.
Empezaremos con las siguientes 8 progresiones de módulo 30 (30 = 2·3·5). Siendo: $$n$$ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, $$\infty$$
$$30n$$ + 1 $$30n$$ + 7 $$30n$$ + 11 $$30n$$ + 13 $$30n$$ + 17 $$30n$$ + 19 $$30n$$ + 23 $$30n$$ + 29
Estas expresiones representan todas las progresiones aritméticas de módulo 30 ($$30n$$ + $$b$$), tales que mcd($$30$$, $$b$$) = 1 siendo $$30$$ mayor que $$b$$.
Estas 8 progresiones contienen todos los números primos (excepto 2, 3 y 5). También incluyen el 1 y todos los números compuestos que sean múltiplos de primos mayores que 5.
En definitiva, hemos descartado todos números compuestos que son múltiplos de 2, de 3 y de 5.
De este modo, usaremos solo el (8 $$\div$$ 30)·100 = 26,66% de los números naturales, pero manteniendo todos los primos mayores que 5.
Para cada número par, usaremos estas progresiones para definir las sucesiones aritméticas A y B que estarán emparejadas de modo que cada término de la sucesión A, sumado con su pareja de la sucesión B, dé el número par correspondiente.
En las sucesiones aritméticas A-B, aparte de primos, hay números compuestos que son múltiplos de primos mayores que 5.
Para poder expresar los números múltiplos de las sucesiones A y B, consideremos $$m$$ número natural no múltiplo de 2, ni de 3, ni de 5.
Consideremos también $$q$$ número natural o 0.
Supongamos que analizamos un número par $$x$$ que NO sea múltiplo de primos menores que $$\sqrt{x}$$ (excepto 2).
En este caso: $${x}$$ = $$7r$$ + $$a$$ $${x}$$ = $$11s$$ + $$b$$ $${x}$$ = $$13t$$ + $$c$$ $${x}$$ = $$17u$$ + $$d$$ $${x}$$ = $$19v$$ + $$e$$ …
Siendo: $$r$$, $$s$$, $$t$$, $$u$$, $$v$$, … la parte entera de los cocientes de dividir $${x}$$ por los primos 7, 11, 13, 17, 19, … hasta el primo anterior a $$\sqrt{x}$$.
Siendo: $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$, $$e$$, … los restos de dividir $${x}$$ por los primos 7, 11, 13, 17, 19, … hasta el primo anterior a $$\sqrt{x}$$.
Siendo: $$a$$ = número natural < 7 $$b$$ = número natural < 11 $$c$$ = número natural < 13 $$d$$ = número natural < 17 $$e$$ = número natural < 19 …
Para este número par $${x}$$, y para los números pares en general, todos los términos de cada grupo de la sucesión A se emparejan con todos los términos del grupo correspondiente de la sucesión B tal como se detalla a continuación:
Sucesión A Sucesión B Sucesión A Sucesión B
Grupo de múltiplos $$7m_{11}$$ $$\leftrightarrow$$ Grupo de términos ($$7q_{21}$$ + $$a$$) Grupo de términos ($$7q_{11}$$ + $$a$$) $$\leftrightarrow$$ Grupo de múltiplos $$7m_{21}$$
Grupo de múltiplos $$11m_{12}$$ $$\leftrightarrow$$ Grupo de términos ($$11q_{22}$$ + $$b$$) Grupo de términos ($$11q_{12}$$ + $$b$$) $$\leftrightarrow$$ Grupo de múltiplos $$11m_{22}$$
Grupo de múltiplos $$13m_{13}$$ $$\leftrightarrow$$ Grupo de términos ($$13q_{23}$$ + $$c$$) Grupo de términos ($$13q_{13}$$ + $$c$$) $$\leftrightarrow$$ Grupo de múltiplos $$13m_{23}$$
Grupo de múltiplos $$17m_{14}$$ $$\leftrightarrow$$ Grupo de términos ($$17q_{24}$$ + $$d$$) Grupo de términos ($$17q_{14}$$ + $$d$$) $$\leftrightarrow$$ Grupo de múltiplos $$17m_{24}$$
Grupo de múltiplos $$19m_{15}$$ $$\leftrightarrow$$ Grupo de términos ($$19q_{25}$$ + $$e$$) Grupo de términos ($$19q_{15}$$ + $$e$$) $$\leftrightarrow$$ Grupo de múltiplos $$19m_{25}$$
- - - - - - Continua hasta el primo anterior a $$\sqrt{x}$$ - - - - - - - - - - - - - - - - - Continua hasta el primo anterior a $$\sqrt{x}$$ - - - - - -
Primos grupos ($$7q_{11}$$ + $$a$$), … $$\leftrightarrow$$ Múltiplos NO ($$7q_{21}$$ + $$a$$), … Múltiplos NO ($$7q_{11}$$ + $$a$$), … $$\leftrightarrow$$ Primos grupos ($$7q_{21}$$ + $$a$$), …
Primos NO ($$7q_{11}$$ +$$ a$$), … $$\leftrightarrow$$ Primos NO ($$7q_{21}$$ + $$a$$), … Primos NO ($$7q_{11}$$ + $$a$$), … $$\leftrightarrow$$ Primos NO ($$7q_{21}$$ + $$a$$), …
Los grupos de múltiplos $$7m_{11}$$, $$11m_{12}$$, $$13m_{13}$$, $$17m_{14}$$, $$19m_{15}$$, … de la sucesión A contienen todos los compuestos más los primos menores que $$\sqrt{x}$$ que estén presentes.
El resto de términos de la sucesión A son los primos mayores que $$\sqrt{x}$$.
Tal como se ha expuesto, todos los grupos de múltiplos $$7m_{11}$$, $$11m_{12}$$, $$13m_{13}$$, $$17m_{14}$$, $$19m_{15}$$, … de la sucesión A estarán emparejados, grupo con grupo, con todos los grupos de términos ($$7q_{21}$$ + $$a$$), ($$11q_{22}$$ + $$b$$), ($$13q_{23}$$ + $$c$$), ($$17q_{24}$$ + $$d$$), ($$19q_{25}$$ + $$e$$), … de la sucesión B.
Estos grupos de términos ($$7q_{21}$$ + $$a$$), ($$11q_{22}$$ + $$b$$), ($$13q_{23}$$ + $$c$$), ($$17q_{24}$$ + $$d$$), ($$19q_{25}$$ + $$e$$) … de la sucesión B contienen una parte de los múltiplos y una parte de los primos (> $$\sqrt{x}$$).
El resto de los múltiplos de la sucesión B, NO son términos ($$7q_{21}$$ + $$a$$), ($$11q_{22}$$ + $$b$$), ($$13q_{23}$$ + $$c$$), ($$17q_{24}$$ + $$d$$), ($$19q_{25}$$ + $$e$$), … y estarán emparejados con los primos (> $$\sqrt{x}$$), de los grupos ($$7q_{11}$$ + $$a$$), ($$11q_{12}$$ + $$b$$), ($$13q_{13}$$ + $$c$$), ($$17q_{14}$$ + $$d$$), ($$19q_{15}$$ + $$e$$), … de la sucesión A.
Igualmente, el resto de los primos (> $$\sqrt{x}$$), de la sucesión B, NO son términos ($$7q_{21}$$ + $$a$$), ($$11q_{22}$$ + $$b$$), ($$13q_{23}$$ + $$c$$), ($$17q_{24}$$ + $$d$$), ($$19q_{25}$$ + $$e$$), … y estarán emparejados con los primos que NO son términos ($$7q_{11}$$ + $$a$$), ($$11q_{12}$$ + $$b$$), ($$13q_{13}$$ + $$c$$), ($$17q_{14}$$ + $$d$$), ($$19q_{15}$$ + $$e$$), … de la sucesión A formando las posibles parejas de primos (> $$\sqrt{x}$$), que cumplirán la Conjetura de Goldbach para el número par $${x}$$.
Igualmente, todo lo anterior se puede aplicar a los grupos de términos ($$7q_{11}$$ + $$a$$), ($$11q_{12}$$ + $$b$$), ($$13q_{13}$$ + $$c$$), ($$17q_{14}$$ + $$d$$), ($$19q_{15}$$ + $$e$$), … de la sucesión A y a los grupos de múltiplos $$7m_{21}$$, $$11m_{22}$$, $$13m_{23}$$, $$17m_{24}$$, $$19m_{25}$$, … de la sucesión B que aparecen expuestos a la derecha.
Definiremos como fracción o factor $$k_{(jx)}$$ de la sucesión B la relación entre el número de múltiplos que hay en el conjunto de todos los términos ($$7q_{21}$$ + $$a$$), ($$11q_{22}$$ + $$b$$), ($$13q_{23}$$ + $$c$$), ($$17q_{24}$$ + $$d$$), ($$19q_{25}$$ + $$e$$), … y el número total de estos para el número par $${x}$$.
Supongamos, excepcionalmente, que en estos grupos de la sucesión B todos los términos son múltiplos (no aparecen primos). En este caso: $$k_{(jx)}$$ = 1.
Como resultado, todos estos términos múltiplos de los grupos ($$7q_{21}$$ + $$a$$), ($$11q_{22}$$ + $$b$$), ($$13q_{23}$$ + $$c$$), ($$17q_{24}$$ + $$d$$), ($$19q_{25}$$ + $$e$$),… de la sucesión B, estarán emparejados, grupo con grupo, con todos los grupos de múltiplos $$7m_{11}$$, $$11m_{12}$$, $$13m_{13}$$, $$17m_{14}$$, $$19m_{15}$$, … de la sucesión A, no apareciendo ningún compuesto libre resultando, en consecuencia, que todos los primos de ambas sucesiones se emparejarán formando el número máximo posible de parejas de primos (> $$\sqrt{x}$$), para el número par $${x}$$.
Como caso más desfavorable, supongamos un número par $${x}$$ en el que los grupos ($$7q_{21}$$ + $$a$$), ($$11q_{22}$$ + $$b$$), ($$13q_{23}$$ + $$c$$), ($$17q_{24}$$ + $$d$$), ($$19q_{25}$$ + $$e$$), … de la sucesión B contengan, aparte de múltiplos, todos los primos (> $$\sqrt{x}$$), de la sucesión.
En este caso, resulta que todos los primos de la sucesión B se emparejarían con múltiplos de la A y, recíprocamente , todos los primos de la A se emparejarían con múltiplos de la B, por lo que no aparecerán parejas de primos (> $$\sqrt{x}$$), no cumpliéndose, en este caso, la Conjetura de Goldbach.
Para analizar estos supuestos números pares, que no cumplen la conjetura, definiremos el factor $$k_{(0x)}$$.
Este factor $$k_{(0x)}$$ sería, como concepto, el valor mínimo del factor $$k_{(jx)}$$ (que ya se ha definido), para el cual la conjetura sería falsa.
En definitiva, para un supuesto número par que no cumpla la conjetura, tenemos que: $$k_{(jx)} = k_{(0x)}$$.
Para que la Conjetura de Goldbach sea verdadera, el factor $$k_{(jx)}$$ debe ser mayor que el factor $$k_{(0x)}$$ para cualquier valor de $${x}$$.
Para que esta condición se cumpla, simplemente necesitamos, para cualquier número par $${x}$$, que en la sucesión B aparezca, como mínimo, un número primo (> $$\sqrt{x}$$), que NO pertenezca a los grupos de términos ($$7q_{21}$$ + $$a$$), ($$11q_{22}$$ + $$b$$), ($$13q_{23}$$ + $$c$$), ($$17q_{24}$$ + $$d$$), ($$19q_{25}$$ + $$e$$), …
Este primo de la sucesión B se emparejaría con un primo de la sucesión A formando una pareja de primos (> $$\sqrt{x}$$), cumpliendo la conjetura.
Usando progresiones aritméticas de módulo 30 y para los números pares menores que $${10}^{11,4}$$, queda demostrado (página 12 del PDF), que el factor $$k_{(jx)}$$ es mayor que $$k_{(0x)}$$, lo que permite afirmar que la Conjetura de Goldbach se cumplirá, como mínimo, hasta $${10}^{11,4}$$.
Si usamos progresiones de módulo 210, aparte de descartar los múltiplos de 2, de 3 y de 5, también descartamos los múltiplos de 7. Aplicando el mismo procedimiento que a las progresiones de módulo 30, queda demostrado (página 14 del PDF), que la Conjetura de Goldbach se cumplirá, como mínimo, hasta $${10}^{21}$$.
Observando la tabla 2 de la página 15, comprobamos que, si usamos progresiones aritméticas con módulos cada vez mayores, aumenta exponencialmente el valor de $${x}$$ hasta el cual el cumplimiento de la conjetura hasta asegurado.
En consecuencia, si ampliamos esta tabla hasta el infinito, aseguraríamos el cumplimiento de la conjetura, también hasta el infinito, lo que permite afirmar que:
La Conjetura de Goldbach es verdadera.
Seguramente, habrá quién manifieste que todo lo expuesto en el PDF no se puede aceptar como prueba válida de la Conjetura de Goldbach.
En este caso, hago el siguiente razonamiento:
Recordemos que Harald Andrés Helfgott necesitó de varios artículos con más de 200 páginas en total para demostrar la Conjetura Ternaria de Goldbach para todos los números impares mayores que $${10}^{30}$$.
Para todos los números impares menores que $${10}^{30}$$ se han usado ordenadores para comprobar que cumplen esta conjetura.
Estoy plenamente convencido que, con todo lo expuesto en el PDF, queda demostrado que todo número par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos.
En definitiva, se ha “comprobado”, igual que la Conjetura Ternaria para números impares menores que $${10}^{30}$$, que la Conjetura Binaria de Goldbach se cumple para todos los números pares mayores que 2 y hasta el infinito.
Por otro lado, alguien puede manifestar: “y si … hay un número par que no se pueda expresar como suma de dos primos”.
La respuesta es clara y concisa. El planteamiento aplicado abarca todos los números pares desde el 2 hasta el infinito no existiendo un número par que se pueda “escapar” e ir por “libre”.
Saludos cordiales
