Conjetura sobre primos bajo transformación digital
Formulación
Sea \( n \) un número natural primo;
Si tiene cifras pares, se escribe la mitad de cada una, dígito a dígito, y se forma un nuevo número.
No se realizan operaciones aritméticas, solo sustitución directa.
Por ejemplo:
- \( 8 \to 4 \)
- \( 4 \to 2 \)
- \( 2 \to 1 \)
- \( 6 \to 3 \)
Los dígitos impares permanecen inalterados y en su mismo lugar.
Esta regla define una función \( T(n) \), aplicada sobre la representación decimal de \( n \).
Aplicando \( T \), incluso repetidamente, se pueden generar cadenas del tipo:
\[
p_0 \xrightarrow{T} p_1 \xrightarrow{T} p_2 \xrightarrow{T} p_3
\]
donde \( p_0 \) es primo, y todos los términos son enteros mayores que 1.
Conjetura
Existen infinitos números primos \( p \) tales que sus transformaciones \( T(p) \), también son números primos.
Ejemplos verificados
1. \( p = 83 \):
\[
83 \xrightarrow{T} 43 \xrightarrow{T} 23 \xrightarrow{T} 13
\]
Todos son primos.
2. \( p = 883 \):
\[
883 \xrightarrow{T} 443 \xrightarrow{T} 223 \xrightarrow{T} 113
\]
Todos son primos.
3. \( p = 88889 \):
\[
88889 \xrightarrow{T} 44449 \xrightarrow{T} 22229 \xrightarrow{T} 11119
\]
Todos son primos.
Veamos algunos ejemplos con el dígito 6:
La transformación \( 6 \to 3 \) permite una única iteración.
Sin embargo, hay múltiples casos donde tanto el número original como su imagen son primos:
- \( 67 \to 37 \)
- \( 666667 \to 333337 \)
- \( 66666667 \to 33333337 \)
- \( 6666666667 \to 3333333337 \)
- \( 66666666667 \to 33333333337 \)
En todos los casos, ambos números son primos.
Esto muestra que existen familias regulares donde la transformación digital preserva la primalidad, al menos una vez.
Observación adicional
Se han encontrado tres familias completas donde, partiendo de un primo formado por muchos \( 1 \)’s y un dígito impar, al duplicar iteradamente esos dígitos (mediante la inversa de \( T \)) se obtienen nuevos primos:
1. \( 13 \to 23 \to 43 \to 83 \)
2. \( 113 \to 223 \to 443 \to 883 \)
3. \( 11119 \to 22229 \to 44449 \to 88889 \)
Cada cadena está compuesta únicamente por números primos.
Autor: Norges Grey Pérez
Fecha: 12 de enero de 2026
