[Richard R Richard]

Lo he hecho algo rápido pero espero que se entienda la idea. Por supuesto faltan muchos mas cuadraditos y esferitas por dibujar.

Si, se entiende perfectamente, allí estas haciendo que los cubos tengan al menos un vértice sobre una esfera.
Por eso se lo pregunté, si es necesario 1 vértice, o no lo es, eso hace que la cantidad de cubos y esferas sea notoriamente diferente.

[Norges Grey Pérez]

Sí, es algo que se sabe, que seguramente no he sabido explicarme bien. No ha sido algo intencional.
Pero ya van lográndolo.

En el enunciado digo que cada cubo tiene inscrita una esfera, y viceversa.
Solo Cg no está inscrito en un esfera.
También digo que cada cual escoge el diseño para empaquetar, y que se busca el mayor número posible de cubos y de esferas.
Por supuesto que para que obtengamos el mayor número posible, hay que usar esas 4 esquinas que quedan en cada cubo; y ojo, también los que quedan dentro de cada esfera, ( pues dentro de cada esfera hay que inscribir un cubo mayor por así llamarle, pero esto también deja también 4 zonas que deben utilizarse. En esos espacios el empaquetamiento es estratégico.
Yo entiendo que deberían ser rellenados con cubitos de 1 mm de lados, cada cual con sus respectivas esferas inscritas.
De hacerlo de otra manera el número de objetos será menor.

Sinceramente el reto es mucho más complejo de lo que pensaba. Creo que Uds dos tienen la capacidad suficiente para resolverlo.

Gracias.

[Richard R Richard]

Hola, Norges, creo que no estas notando que esta frase

Sí, es algo que se sabe, que seguramente no he sabido explicarme bien. No ha sido algo intencional.
Pero ya van lográndolo.

Se contradice con esta otra
 

En el enunciado digo que cada cubo tiene inscrita una esfera, y viceversa.
Solo Cg no está inscrito en un esfera.

Si me dices que "Sí" que al menos 1 vértice toca una esfera externa, eso no es "inscribir", inscribir es que toquen la esfera los 8 vértices del cubo y que la esfera toque los 6 centros 1 de cada cara.
Y si tocan los 8 vértices tienes 34 figuras nada mas, de esa forma..
1 CG tiene una unica esfera inscrita
2 Esta última esfera inscribe un único cubo.
3 Este último cubo inscribe una única esfera.
4 Esta última esfera inscribe un único cubo.
5 Este último cubo inscribe una única esfera....

Sigue así hasta el infinito, dando sustento a la respuesta a)

Pero para llegar al milímetro de lado, se puede hacer 16 veces cada frase. NO hay posibilidad de más. Es una de mis respuestas dadas. Si estoy equivocado pido me corrijan rápido, así no interfiero en debate de una solución correcta.

Por otro lado
 

También digo que cada cual escoge el diseño para empaquetar, y que se busca el mayor número posible de cubos y de esferas.

Reitero que si las figuras se inscriben unas a otras, no hay posibilidad de diseños, son 34 y punto, lo que puedes variar en el diseño es la orientación espacial de los ejes de cada cubo y eso no afecta para nada la posición de la esfera inscrita menor siguiente en tamaño.

Por supuesto que para que obtengamos el mayor número posible, hay que usar esas 4 esquinas que quedan en cada cubo; y ojo, también los que quedan dentro de cada esfera, ( pues dentro de cada esfera hay que inscribir un cubo mayor por así llamarle, pero esto también deja también 4 zonas que deben utilizarse. En esos espacios el empaquetamiento es estratégico.

Ok,ahora se te entiende por donde vas, y que no es nada de lo que dije previamente,  pero eso para mí no es inscribir,  allí un cubo toca con al menos 1 vértice una esfera exterior, no los 8 vértices....

La pregunta es entonces si ocurre también el recíproco ...¿del mismo modo puede hacerce que una esfera toque una sola cara del cubo? (sea de CG o no) . Por lo que te vengo entendiendo es que la esfera sí o sí está centrada en cada cubo y toca el centro de cada cara, pero no se lo exiges a un cubo sobre una esfera. Si es así confirma o desmiente.

Yo entiendo que deberían ser rellenados con cubitos de 1 mm de lados, cada cual con sus respectivas esferas inscritas.

Es que eso es imposible, porque las esferitas dentro de un cubo de 1mm de lado no tienen $$1mm^3$$ de volumen que es tu límite para los "objetos" (cubos y esferas)  como dices en el punto 4, sino $$0.523mm^3$$ allí ya has rebasado tu límite,  el mínimo cubo que puede inscribir una esfera de $$1mm^3$$ tiene mínimo $$\sqrt3mm=1.73...mm$$ de lado, cosa que también ya expliqué, trata de seguirme que no todo es delirio.

De hacerlo de otra manera el número de objetos será menor.

Sí, claro, llenar el espacio con la mayor cantidad de cubos con esferas de $$1mm^3$$ al interior sería el que permita la mayor cantidad como dije en mi primer mensaje, y la cantidad será mayor si permites que algunos cubos no toquen con ningún vértice ninguna esfera, pero si es imprescindible que al menos un vértice toque una esfera, entonces, la cantidad se reduce notablemente y no todo el espacio interior podrá rellenarse con cubos. Seguro hay un límite a alcanzar, no es tarea fácil, pero confirma si es eso lo que quieres para no poner energía en ello innecesariamente.

[Norges Grey Pérez]

sí Richard, comprendo tu punto.
Ahora, debes analizar que al decir que el volumen mínimo es de 1 mm cúbico, eso bien pudiera significar que la menor figura usada puede ser un cubo de 1 mm de lado, o una esfera con igual volumen, y como cada esfera tiene que tener un cubo  externo y otro interno, entonces los cubos de 1 mm cúbico  son las menores figuras a usarse, estos no pueden tener ninguna esfera en su interior. Entonces la mayor cantidad posible de cubitos contenedores deberían tener como lado el equivalente al diámetro de la esfera circunscrita al cubo menor de 1 mm de lado ( que no es más que 1.41421356237 mm de lado.
Y los cubos pequeños no tienen obligatoriamente que tocar ningún lado del cubo mayor que los contengan. Sería una construcción en bloques. Solo los que estén en la parte externa tocarán las caras internas del cubo contenerdor.

Una buena imagen 3D ilustraría muchísimo, pero la IA no me logra hacer una buena imagen.

Gracias.

[Richard R Richard]

sí Richard, comprendo tu punto.
Ahora, debes analizar que al decir que el volumen mínimo es de 1 mm cúbico, eso bien pudiera significar que la menor figura usada puede ser un cubo de 1 mm de lado, o una esfera con igual volumen, y como cada esfera tiene que tener un cubo  externo y otro interno, entonces los cubos de 1 mm cúbico  son las menores figuras a usarse,

Bien, entendido.

 

Entonces la mayor cantidad posible de cubitos contenedores deberían tener como lado el equivalente al diámetro de la esfera circunscrita al cubo menor de 1 mm de lado ( que no es más que 1.41421356237 mm de lado.

Mmmh, no, eso será para un cuadrado y un circulo en 2d, pero  en 3d  el diámetro de la esfera que inscribe al cubo tiene $$\sqrt3mm L$$

Si pongo subindice + al cubo que inscribe a la esfera que inscribe a un cubo cuyo lado le pongo subindice -

La distancia entre el centro del cubo  a una de sus caras es L/2 y la distancia entre ese centro y uno de sus vértices es el radio de la esfera contenedora y es a la vez la mitad del lado del cubo que la inscribe.

$$R=D/2=\dfrac{L_+}{2}=\sqrt{\dfrac{L_-^2}{2^2}+\dfrac{L_-^2}{2^2}+\dfrac{L_-^2}{2^2}}=\sqrt{3\dfrac{L_-^2}{2^2}}=\sqrt3\dfrac{L_-}{2}$$

Luego $$L_+=\sqrt3 L_-$$  así si el lado de cubo mas pequeño tiene 1mm el siguiente sin desperdicio de espacio es el que tiene $$\sqrt3 mm=1.73205...mm$$

Y los cubos pequeños no tienen obligatoriamente que tocar ningún lado del cubo mayor que los contengan.

Ok, de acuerdo con eso,  pero eso no es lo que pregunté, lo que pregunto es si ese cubo que contiene a la esfera con el cubo interior necesariamente tiene un vértice sobre la superficie de alguna esfera, que puede que lo contenga o que no lo contenga.

Solo los que estén en la parte externa tocarán las caras internas del cubo contenedor.

De nuevo de acuerdo pero el lado de ese Cubo quedara determinado por los cubos que tenga adyacente, y por la necesidad o no(que es lo que quiero respondas) de que uno de sus vértices este tocando una esfera que lo contenga  o que no lo contenga.




Lo que se puede colocar como bloque es A sea del tamaño que sea.
¿Se pueden poner bloques  adyacentes como en B ? ¿Se, pueden colocar rodeando totalmente a uno central  en 3d completamente, o sea 26 cubos rodeando a un cubo central , sean del tamaño que sean?
¿Qué al menos un vértice de cada cubo externo del bloque  toque a una esfera por el exterior como en C es necesario o no? sea optimo o no optimo para la solución. o bien si eso no sucede
¿Qué al menos un vértice de cada cubo exerno del bloque  toque una esfera por el interior como en D  es necesario o no? sea optimo o no optimo para la solución.

[Norges Grey Pérez]

Ya entiendo tu pregunta Richard.
Te refieres a que existe la superficie de la esfera que es curva y por otro lado las caras de los cubos que son planas.
Yo los colocaría paralelos a la superficie plana de los cubos. De esa manera se pueden colocar más. Según mi punto de vista, aunque de otra forma alguien tal vez pueda probar que caben más.

Gracias.

[Norges Grey Pérez]

Las opciones A y B son las que yo usaría.

[Richard R Richard]

Las opciones A y B son las que yo usaría.

Ok Entendido, no es fácil de calcular pero veré que de forma me las ingenio, por la dudas revisa de nuevo las preguntas porque  estuve editando mejorando la redacción y por ahí les cambie el sentido sin buscarlo.

[Richard R Richard]

Lo que entiendo es que estoy obligado a inscribir una esfera dentro de cada cubo, siempre y cuando el tamaño del cubo que pongo tiene mas de 1.73205...mm de lado porque en esa esfera se puede inscribir un cubo de 1mm^3 que es el limite, así que no puedo evitar las superficies de las 17 esferas concéntricas a CG que había puesto en la segunda solución, solo que ahora las puedo rellenar con cubos mas pequeños con esferas inscritas que tienen cubos inscritos hasta el tamaño mínimo. 

[Richard R Richard]

No me he puesto a contar con la mano, programe un algoritmo, en 2 horas completó 7 niveles de mas de 5000, y lleva 831000000 de cubos con una esfera inscrita con un cubo de 1mm de lado inscrito. Esto va a tardar días sino algo mas de 1 semana en contar me parece, quizá las restricciones al interior se hagan mas rápido y  este estimando mal el tiempo total.
Por un lado cuenta los cubos externos a las esferas inscritas dentro de cada cubo contenedor, y por otro los que caben en el interior en las esferas y por fuera del cubo interior inscrito.
Ya he contemplado muchas cosas que se pueden optimizar, sobre todo al interior para ser mas exacto, veremos si el resultado se ajusta a alguno ya publicado... o ese dato no existe?


Pd espero  que no se corte la luz , no he dejado registro de lo ultimo que va contado, si falla la energía tengo que empezar de cero.