[Chorite]

Hola, tengo la siguiente demostración, ¿me dan una mano?

¿Existe una función \( f: \mathbb{Q} → \mathbb{R } \) que sea continua y tal que \( f(\mathbb{Q}) = \left\{{1,2,3}\right\}? \) En caso de que no exista, explicar por qué.

Mi idea es que no se puede, porque entre dos racionales siempre hay otros racionales. Entonces, si \( f \) vale 1 en un punto y 2 en otro, entre esos dos puntos hay infinitos racionales. Por continuidad, los valores de 𝑓 tendrían que pasar de alguna manera de 1 a 2, pero eso es imposible si solo puede valer estrictamente 1, 2 o 3. No puede “saltar” de 1 a 2 sin romper la continuidad, lo que contradice nuestra hipótesis. Pero no se si estoy en lo correcto, y no es una demostración muy formal.

[Carlos Ivorra]

Hola, tengo la siguiente demostración, ¿me dan una mano?

¿Existe una función \( f: \mathbb{Q} → \mathbb{R } \) que sea continua y tal que \( f(\mathbb{Q}) = \left\{{1,2,3}\right\}? \) En caso de que no exista, explicar por qué.

Mi idea es que no se puede, porque entre dos racionales siempre hay otros racionales. Entonces, si \( f \) vale 1 en un punto y 2 en otro, entre esos dos puntos hay infinitos racionales. Por continuidad, los valores de 𝑓 tendrían que pasar de alguna manera de 1 a 2, pero eso es imposible si solo puede valer estrictamente 1, 2 o 3. No puede “saltar” de 1 a 2 sin romper la continuidad, lo que contradice nuestra hipótesis. Pero no se si estoy en lo correcto, y no es una demostración muy formal.

Prueba con ésta, a ver si sirve:

\( f(x)= \cases{1& si $x<\sqrt 2$, \cr  2& si $\sqrt 2 < x < \sqrt 3$, \cr 3& si $\sqrt 3 < x$.} \)

[Chorite]

Hola, tengo la siguiente demostración, ¿me dan una mano?

¿Existe una función \( f: \mathbb{Q} → \mathbb{R } \) que sea continua y tal que \( f(\mathbb{Q}) = \left\{{1,2,3}\right\}? \) En caso de que no exista, explicar por qué.

Mi idea es que no se puede, porque entre dos racionales siempre hay otros racionales. Entonces, si  𝑓 vale 1 en un punto y 2 en otro, entre esos dos puntos hay infinitos racionales. Por continuidad, los valores de 𝑓 tendrían que pasar de alguna manera de 1 a 2, pero eso es imposible si solo puede valer estrictamente 1, 2 o 3. No puede “saltar” de 1 a 2 sin romper la continuidad, lo que contradice nuestra hipótesis. Pero no se si estoy en lo correcto, y no es una demostración muy formal.

Prueba con ésta, a ver si sirve:

\( f(x)= \cases{1& si $x<\sqrt 2$, \cr  2& si $\sqrt 2 < x < \sqrt 3$, \cr 3& si $\sqrt 3 < x$.} \)

Hola Carlos, no entiendo tu ejemplo porque el dominio de la función que me señalas no es racional.

[Carlos Ivorra]

Hola carlos, no entiendo tu ejemplo porque el dominio de la funcion que me señalas no es racional.

Sí, la \( x \) es un número racional. La función de mi ejemplo es la función \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q \) que vale \( 1 \) sobre los números racionales \( x \) que cumplen \( x<\sqrt 2 \), vale \( 2 \) sobre los números racionales \( x \) que cumplen \( \sqrt 2 < x < \sqrt 3 \) y vale \( 3 \) sobre los números racionales \( x \) que cumplen \( \sqrt 3 < x \).

¿Es continua?

[Chorite]

Hola carlos, no entiendo tu ejemplo porque el dominio de la funcion que me señalas no es racional.

Sí, la \( x \) es un número racional. La función de mi ejemplo es la función \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q \) que vale \( 1 \) sobre los números racionales \( x \) que cumplen \( x<\sqrt 2 \), vale \( 2 \) sobre los números racionales \( x \) que cumplen \( \sqrt 2 < x < \sqrt 3 \) y vale \( 3 \) sobre los números racionales \( x \) que cumplen \( \sqrt 3 < x \).

¿Es continua?

Es que no entiendo, claramente no es continua porque en los extremos de cada rango del dominio no coinciden los límites laterales. Pero además tampoco comprendo que es lo que estas querindo demostrar, porque el ejercicio pide como hipótesis que \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb R \), no \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q \).

[ani_pascual]

Hola:

...
Es que no entiendo, claramente no es continua porque en los extremos de cada rango del dominio no coinciden los limites laterales. Pero ademas tampoco comprendo que es lo que estas quierendo demostrar, porque el ejercicio pide como hipotesis que \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb R \), no \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q \).

Diría que sí es continua, tanto con \( \mathbb{Q} \) como codominio como con \( \mathbb{R} \), ya que no existe \( x\in \mathbb{Q} \) tal que \( f \) es discontinua en \( x \).

Spoiler

Si \( x\in (-\infty,\sqrt{2})\cap \mathbb{Q} \) es \( f(x)=1 \) constante, luego continua.
Si \( x\in (\sqrt{2},\sqrt{3})\cap \mathbb{Q} \) es \( f(x)=2 \) constante, luego continua.
Si \( x\in (\sqrt{3},\infty)\cap \mathbb{Q} \) es \( f(x)=3 \) constante, luego continua.
No hay punto racional de discontinuidad.
Si es \( f:\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{Q} \),
\( \forall\,0<\varepsilon, f^{-1}((1-\varepsilon,1+\varepsilon)\cap\mathbb{Q})=\left\{\begin{array}{lr}(-\infty,\sqrt{2})\cap\mathbb{Q}&\varepsilon<1\\(-\infty,\sqrt{3})\cap\mathbb{Q}&1\leq\varepsilon<2\\
\mathbb{Q}&2\leq \varepsilon\end{array}\right. \)
Análogamente con \( f^{-1}((2-\varepsilon,2+\varepsilon)\cap\mathbb{Q}) \) y con \( f^{-1}((3-\varepsilon,3+\varepsilon)\cap\mathbb{Q}) \).
Si es \( f:\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{R} \),
\( \forall\,\varepsilon>0, f^{-1}((1-\varepsilon,1+\varepsilon))=\left\{\begin{array}{lr}(-\infty,\sqrt{2})\cap\mathbb{Q}&\varepsilon<1\\(-\infty,\sqrt{3})\cap\mathbb{Q}&1\leq\varepsilon<2\\
\mathbb{Q}&2\leq \varepsilon\end{array}\right. \)
Análogamente con \( f^{-1}((2-\varepsilon,2+\varepsilon)) \) y con \( f^{-1}((3-\varepsilon,3+\varepsilon)) \).
Es decir, las imágenes inversas de abiertos son abiertos en \( \mathbb{Q} \)

[cerrar]

Saludos

[Carlos Ivorra]

Pero ademas tampoco comprendo que es lo que estas quierendo demostrar, porque el ejercicio pide como hipotesis que \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb R \), no \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q \).

Vale, debería haber puesto \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb R \), pero sería bueno que te dieras cuenta de que es lo mismo. La función \( f \) tiene imagen \( \{1, 2, 3\} \), luego es verdad que \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q \), y también que \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb R \), y también que \( f: \mathbb Q\longrightarrow \{1, 2, 3\} \), y también que \( f: \mathbb Q\longrightarrow [0, 10] \), etc.

Más aún, sería bueno que te dieras cuenta de que eso no afecta a la continuidad de \( f \).

Spoiler

En general, si tienes espacios topológicos \( X \) e \( Y\subset Z \) (considerando en \( Y \) la topología inducida desde \( Z \)), una aplicación \( f: X\longrightarrow Y \) es también una aplicación \( f: X\longrightarrow Z \), y sucede que \( f \) es continua vista como aplicación \( f: X\longrightarrow Y \) si y sólo si lo es como aplicación \( f: X\longrightarrow Z \). Si no sabes eso, es un ejercicio interesante que puedes pensar.

[cerrar]

Pero, yendo al meollo de la cuestión, tanto aquí:

Es que no entiendo, claramente no es continua porque en los extremos de cada rango del dominio no coinciden los limites laterales.

como aquí:

Mi idea es que no se puede, porque entre dos racionales siempre hay otros racionales. Entonces, si \( f \) vale 1 en un punto y 2 en otro, entre esos dos puntos hay infinitos racionales. Por continuidad, los valores de 𝑓 tendrían que pasar de alguna manera de 1 a 2, pero eso es imposible si solo puede valer estrictamente 1, 2 o 3. No puede “saltar” de 1 a 2 sin romper la continuidad, lo que contradice nuestra hipótesis.

parece que estás intentando usar resultados que conoces del análisis de funciones reales de variable real en un contexto en el que no son aplicables. Así que es importante que estés en guardia respecto a eso, porque si aplicas irreflexivamente "cosas que sabías de antes", puedes llegar a mucho resultados incorrectos. Es como si usas que "los números negativos no tienen raíz cuadrada" en un problema sobre números complejos.

En este caso tenemos una función \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb R \), es decir, una función definida sobre todos los números racionales. Será continua si es continua en todos los números racionales y, por el contrario, será discontinua si existe un número racional en el que no sea continua.

Si consideras que es discontinua, tienes que ponerme un ejemplo de número racional en el cual no sea continua. ¿Hay alguno?  Si no hay ninguno, será que es continua.

[martiniano]

Hola.

Como comentario adicional, Chorite, lo que le pasa a esta función es que no se puede extender a los reales sin que deje de ser continua. Creo que es en parte lo que quieres decir.

Un saludo.

[ani_pascual]

Hola:

...
Es que no entiendo, claramente no es continua porque en los extremos de cada rango del dominio no coinciden los límites laterales. ...

Por si sirve para aclarar...
Para cualquier racional \( q<\sqrt{2} \) que se tome, por muy próximo que esté por la izquierda a \( \sqrt{2} \), su imagen será \( f(q)=1 \) y por muy pequeño que sea el entorno de \( 1 \), digamos, \( (1-\varepsilon,1+\varepsilon) \), siempre va a existir un entorno de \( q \) del tipo \( (q-\delta,q+\delta)\cap \mathbb{Q}\subset (-\infty,\sqrt{2}) \), tal que \( f((q-\delta,q+\delta)\cap\mathbb{Q})=\{1\}\subset (1-\varepsilon,1+\varepsilon) \).
Análogamente, sucede en las proximidades de \( \sqrt{2} \) por la derecha y en las proximidades de \( \sqrt{3} \), tanto por la derecha como por la izquierda. En definitiva, no hay puntos racionales de discontinuidad, tal y como bien explica Carlos Ivorra.

Spoiler

[cerrar]

Saludos

[Chorite]

Pero ademas tampoco comprendo que es lo que estas quierendo demostrar, porque el ejercicio pide como hipotesis que \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb R \), no \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q \).

Vale, debería haber puesto \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb R \), pero sería bueno que te dieras cuenta de que es lo mismo. La función \( f \) tiene imagen \( \{1, 2, 3\} \), luego es verdad que \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q \), y también que \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb R \), y también que \( f: \mathbb Q\longrightarrow \{1, 2, 3\} \), y también que \( f: \mathbb Q\longrightarrow [0, 10] \), etc.

Más aún, sería bueno que te dieras cuenta de que eso no afecta a la continuidad de \( f \).

Spoiler

En general, si tienes espacios topológicos \( X \) e \( Y\subset Z \) (considerando en \( Y \) la topología inducida desde \( Z \)), una aplicación \( f: X\longrightarrow Y \) es también una aplicación \( f: X\longrightarrow Z \), y sucede que \( f \) es continua vista como aplicación \( f: X\longrightarrow Y \) si y sólo si lo es como aplicación \( f: X\longrightarrow Z \). Si no sabes eso, es un ejercicio interesante que puedes pensar.

[cerrar]

Pero, yendo al meollo de la cuestión, tanto aquí:

Es que no entiendo, claramente no es continua porque en los extremos de cada rango del dominio no coinciden los limites laterales.

como aquí:

Mi idea es que no se puede, porque entre dos racionales siempre hay otros racionales. Entonces, si \( f \) vale 1 en un punto y 2 en otro, entre esos dos puntos hay infinitos racionales. Por continuidad, los valores de 𝑓 tendrían que pasar de alguna manera de 1 a 2, pero eso es imposible si solo puede valer estrictamente 1, 2 o 3. No puede “saltar” de 1 a 2 sin romper la continuidad, lo que contradice nuestra hipótesis.

parece que estás intentando usar resultados que conoces del análisis de funciones reales de variable real en un contexto en el que no son aplicables. Así que es importante que estés en guardia respecto a eso, porque si aplicas irreflexivamente "cosas que sabías de antes", puedes llegar a mucho resultados incorrectos. Es como si usas que "los números negativos no tienen raíz cuadrada" en un problema sobre números complejos.

En este caso tenemos una función \( f: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb R \), es decir, una función definida sobre todos los números racionales. Será continua si es continua en todos los números racionales y, por el contrario, será discontinua si existe un número racional en el que no sea continua.

Si consideras que es discontinua, tienes que ponerme un ejemplo de número racional en el cual no sea continua. ¿Hay alguno?  Si no hay ninguno, será que es continua.

Hola.

Como comentario adicional, Chorite, lo que le pasa a esta función es que no se puede extender a los reales sin que deje de ser continua. Creo que es en parte lo que quieres decir.

Un saludo.

Hola:

...
Es que no entiendo, claramente no es continua porque en los extremos de cada rango del dominio no coinciden los límites laterales. ...

Por si sirve para aclarar...
Para cualquier racional \( q<\sqrt{2} \) que se tome, por muy próximo que esté por la izquierda a \( \sqrt{2} \), su imagen será \( f(q)=1 \) y por muy pequeño que sea el entorno de \( 1 \), digamos, \( (1-\varepsilon,1+\varepsilon) \), siempre va a existir un entorno de \( q \) del tipo \( (q-\delta,q+\delta)\cap \mathbb{Q}\subset (-\infty,\sqrt{2}) \), tal que \( f((q-\delta,q+\delta)\cap\mathbb{Q})=\{1\}\subset (1-\varepsilon,1+\varepsilon) \).
Análogamente, sucede en las proximidades de \( \sqrt{2} \) por la derecha y en las proximidades de \( \sqrt{3} \), tanto por la derecha como por la izquierda. En definitiva, no hay puntos racionales de discontinuidad, tal y como bien explica Carlos Ivorra.

Spoiler

[cerrar]

Saludos

Muchisimas gracias por su paciencia ani_pascual, martiniano y Carlos Ivorra. Me quedo mucho mas claro el ejercicio. Realmente es invaluable su ayuda