Muchisimas gracias por su paciencia ani_pascual, martiniano y Carlos Ivorra. Me quedo mucho mas claro el ejercicio.
Creo que en ejercicios como éste, más que llegar a conocer la solución, lo que más aporta es que aprendas cómo usar (y cómo no usar) los resultados que conoces, es decir, que sirven para que salgan a la luz confusiones que puedas tener y así poder detectarlas y corregirlas. Por eso creo que le habrías sacado mucho más partido si hubieras tratado de probar que \( f \) es continua (te hubiera salido o no) sin mirar la solución de ani_pascual.
Por ejemplo, tú decías:
Es que no entiendo, claramente no es continua porque en los extremos de cada rango del dominio no coinciden los límites laterales.
¿Ves ahora en qué consistía tu error? Lo que estabas diciendo, sin acabar de decirlo, era que \( f \) no es continua en \( \sqrt 2 \) o en \( \sqrt 3 \), sin caer en la cuenta de que esos puntos no están en su dominio. Pero puedes probar que \( f \) es continua siguiendo esa línea de razonamiento. Para ello considera la función \( g: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R \) dada por
\( f(x)= \cases{1& si $x<\sqrt 2$, \cr 2& si $\sqrt 2 \leq x \leq \sqrt 3$, \cr 3& si $\sqrt 3 < x$.} \)
Estoy seguro de que si te hubieran preguntado en qué puntos es continua esa función, usando las técnicas que conoces para funciones de variable real, habrías dicho que \( g \) es continua en \( \mathbb R\setminus\{\sqrt 2, \sqrt 3\} \). Y, si sabes eso, y observas que \( \mathbb Q\subset \mathbb R\setminus\{\sqrt 2, \sqrt 3\} \), tienes que \( g \) es continua en todos los puntos de \( \mathbb Q \), y eso implica que la restricción \( g|_{\mathbb Q} \) es continua en todo su dominio.
Spoiler
Aquí usamos un resultado topológico general: si una función es continua en un punto y la restringimos a cualquier subespacio que contenga el punto, la restricción sigue siendo continua en el punto.
Pero \( g|_{\mathbb Q} \) es la función \( f \) que te había definido yo. Así tienes una demostración de que es continua basada en los resultados de continuidad que conocías antes de empezar a estudiar topología en general.
Pero, precisamente por eso, esta demostración es un poco "artificial", desde un punto de vista topológico. La demostración de ani_pascual es más natural, pero no está de más que te pares a verla viendo el bosque en lugar de los árboles. Podríamos reformularla así:
Considera los conjuntos \( U_1 = \left]-\infty, \sqrt 2\right[ \), \( U_2 = \left]\sqrt 2, \sqrt 3\right[ \), \( U_3 = \left]\sqrt 3, +\infty\right[ \), que son tres intervalos abiertos en \( \mathbb R \). Entonces, los conjuntos \( V_i = U_i\cap \mathbb Q \) son abiertos en \( \mathbb Q \), por definición de la topología relativa (un abierto en un subespacio es la intersección del subespacio con un abierto del espacio). Pero claramente se tiene que \( \mathbb Q = V_1\cup V_2\cup V_3 \), porque \( V_1 \) contiene a todos los números racionales menores que \( \sqrt 2 \), \( V_2 \) a todos los racionales entre \( \sqrt 2 \) y \( \sqrt 3 \) y \( V_3 \) a todos los racionales mayores que \( \sqrt 3 \), y así no nos dejamos ninguno.
Pero \( f|_{U_i} \) es constante igual a \( i \) para cada \( i \), y las funciones constantes son continuas.
De aquí se sigue que \( f \) es continua en todos los números racionales, pues si \( q \) es un número racional, existe un \( i \) tal que \( q\in U_i \) y \( f|_{U_i} \) es continua en \( q \). Y ahora usamos que la continuidad es una propiedad local: que \( f \) sea continua en un punto \( q \) equivale a que sea continua en un entorno de \( q \). Como \( U_i \) es un entorno de \( q \) (es un abierto que contiene a \( q \)), resulta que \( f \) es continua en \( q \).
Supongo que te habrán definido una función continua como una función que cumple que las antiimágenes de los abiertos son abiertos. Sería interesante que probaras la continuidad de \( f \) usando esta definición. Más aún, la función \( f \) cumple que la antiimagen de cualquier subconjunto de \( \mathbb R \) (sea abierto o no) es abierta en \( \mathbb Q \). ¿Podrías demostrarlo? ¿Podrías ver qué aspecto tiene la antiimagen de un subconjunto cualquiera de \( \mathbb R \)? ¿Cómo es, por ejemplo, \( f^{-1}[\ [1, 2]\,] \)?
Por último, ¿ves ahora qué estaba mal aquí?
Mi idea es que no se puede, porque entre dos racionales siempre hay otros racionales. Entonces, si \( f \) vale 1 en un punto y 2 en otro, entre esos dos puntos hay infinitos racionales. Por continuidad, los valores de 𝑓 tendrían que pasar de alguna manera de 1 a 2, pero eso es imposible si solo puede valer estrictamente 1, 2 o 3. No puede “saltar” de 1 a 2 sin romper la continuidad, lo que contradice nuestra hipótesis. Pero no se si estoy en lo correcto, y no es una demostración muy formal.
Debes quedarte con la idea dde que el hecho de que las funciones continuas "no dan saltos" no es cierto en general. Por ejemplo, la función \( f \) da dos saltos y, pese a ello, es continua. Es una función continua que no cumple el teorema de los valores intermedios.
No sé si habrás estudiado ya el concepto de espacio topológico conexo. Si no es así, quédade simplemente con la idea de que "las funciones continuas no dan saltos" es como "los números negativos no tienen raíz cuadrada". Es algo que deja de ser cierto cuando estudias topología general o números complejos, respectivamente.
Si has estudiado el concepto de espacio conexo, esa propiedad es cierta para funciones definidas sobre espacios conexos, como lo es \( \mathbb R \), o un intervalo en \( \mathbb R \), pero no \( \mathbb Q \).
No sé si habrás estudiado ya espacios topológicos conexos.
