[Guli-Guli]

¿Qué opinan de este vídeo? 

[ani_pascual]

Hola:

¿Qué opinan de este vídeo? 
...

Que lo pondría en la sección de humor .
Saludos

[Abdulai]

He visto muchas veces manejos de ese estilo con  operadores para funciones recursivas o generatrices,  pero no conozco sus limitaciones.

De todas maneras la idea es sorprender, ya que la simbología es de una integral indefinida y en el enunciado la constante de integración vale C=-1 y en la serie 0

[Fernando Revilla]

@Dr PK Math: defina \( \int_{}^{}f \) .

[ani_pascual]

Hola:
Ahora que leo el comentario de Abdulai , lo cierto es que el contenido del vídeo me recuerda a las ecuaciones integrales de segunda especie en el espacio \( E=\left({\cal C}([0,1]),\|\cdot\|_{\infty}\right) \), del tipo \( f(x)-\displaystyle\int_0^1K(x,y)f(y)\,dy=g(x) \) siendo \( K\in {\cal C}([0,1]^2) \) un núcleo .
La solución viene dada por \( f(x)=g(x)+\displaystyle\int_0^1\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}K_n(x,y)\right)g(y)\,dy \) donde \( K_n \) se define como \( T_{K_n}=T_K^n \), es decir, \( (T_Kf)(x)=\displaystyle\int_0^1K(x,y)f(y)\,dy\\(T_K^2f)(x)=T_K(T_Kf)(x)=\\\displaystyle\int_0^1K(x,y)\left( \displaystyle\int_0^1K(y,u)f(u)\,du\right)\,dy=\displaystyle\int_0^1\left(\int_0^1K(x,y)K(y,u)\,dy\right)f(\textcolor{blue}{u})\,du=\\\displaystyle\int_0^1K_2(x,u)\textcolor{blue}{f(u)}\,du=T_{K_2}(f)\\\vdots \\
T_K^n(f)=T_{K_n}(f) \).

En la ecuación del vídeo el núcleo sería \( K(x,y)=1, g(x)=1 \) y la solución, en efecto, \( f(x)=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=e^x \)
Editado 
Lo que está en rojo está mal. Además, no se podría aplicar porque no se cumple que \( \|K\|_{\infty}<1 \)
Gracias, Guli-Guli
Saludos

[Guli-Guli]

@Dr PK Math: defina \( \int_{}^{}f \) .

Buena pregunta. Las muchas formas de interpretar el "gusanillo" hacen que la resolución hecha por él no sea válida.

Si interpretamos \( \int_{}^{}f \) como la integral indefinida, la ecuación \( f - \int_{}^{}f = 1 \) no tendría solución. Si interpretamos \( \int_{}^{}f \) como una primitiva, entonces \( f(x) = e^x \) es solución, pero no es única, ya que \( f(x) = 0 \) también valdría.

La única interpretación de \( \int_{}^{}f \) tal que \( f(x) = e^x \) sea la única solución de \( f - \int_{}^{}f = 1 \) es \( \int_{}^{}f := \int_{0}^{x} f(x)\,dx \).

He visto muchas veces manejos de ese estilo con  operadores para funciones recursivas o generatrices,  pero no conozco sus limitaciones.

Yo diría que el problema del vídeo no es ése, sino que utiliza los operadores de manera muy extraña. Por ejemplo, ¿por qué de \( f - \int_{}^{}f = 1 \) pasa a \( f(1 - \int_{}^{}) = 1 \)? ¿No debería escribir así: \( (1 - \int_{}^{})f = 1 \), como es común a la hora de escribir los operadores? Incluso suponiendo que él los denota así, ¿por qué justo después escribe \( f = (1 - \int_{}^{})^{-1}1 \)? ¿No sería \( f = 1(1 - \int_{}^{})^{-1} \)? Además, ¿por qué denota por \( 1 \) el operador identidad? ¿No se confundiría eso con la función constante \( 1 \) que también aparece?

Ahora que leo el comentario de Abdulai , lo cierto es que el contenido del vídeo me recuerda a las ecuaciones integrales de segunda especie en el espacio \( E=\left({\cal C}([0,1]),\|\cdot\|_{\infty}\right) \), del tipo \( f(x)-\displaystyle\int_0^1K(x,y)f(y)\,dy=g(x) \) siendo \( K\in {\cal C}([0,1]^2) \) un núcleo .

Pero si \( K(x, y) = 1 \), también \( K_n(x, y) = 1 \) para todo natural \( n > 0 \), ¿no? Si es así, \( \sum_{n=1}^\infty K_n(x, y) = +\infty \).

Por cierto, estuve mirando eso de las ecuaciones integrales, y al parecer existen el del tipo Fredholm y el del tipo Volterra, y en ambos casos se dividen, a su vez, en primera especie y segunda especie. Lo que tú pusiste es la ecuación integral del tipo Fredholm de segunda especie. El de tipo Volterra es la misma que escribiste tú, salvo que se cambia el \( 1 \) del integral por \( x \).

[ani_pascual]

Hola:

...
Pero si \( K(x, y) = 1 \), también \( K_n(x, y) = 1 \) para todo natural \( n > 0 \), ¿no? Si es así, \( \sum_{n=1}^\infty K_n(x, y) = +\infty \).

Tienes razón; creo que me lié al hacer los cálculos... Ya lo he editado. De alguna manera, el vídeo me recordó a ese tipo de ecuaciones, pero ya veo que para el caso \( K(x,y)=1 \), no se cumple que \( (I-T_K)^{-1}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}T_K^n \), pues \( \|K\|_{\infty}\not< 1 \)

Por cierto, estuve mirando eso de las ecuaciones integrales, y al parecer existen el del tipo Fredholm y el del tipo Volterra, y en ambos casos se dividen, a su vez, en primera especie y segunda especie. Lo que tú pusiste es la ecuación integral del tipo Fredholm de segunda especie. El de tipo Volterra es la misma que escribiste tú, salvo que se cambia el \( 1 \) del integral por \( x \).

Gracias por la info 
Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Ya que he sacado a colación esto de las ecuaciones integrales, propongo un ejercicio para aplicar el resultado que he mencionado en los mensajes anteriores.
Hállese la función real \( f\in {\cal C}([0,1]) \), tal que \( f(x)-\displaystyle\int_0^1\dfrac{xy}{2}f(y)\,dy=e^{x^2},\,\forall\,x\in [0,1] \)
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
Yo diría que el problema del vídeo no es ése, sino que utiliza los operadores de manera muy extraña. Por ejemplo, ¿por qué de \( f - \int_{}^{}f = 1 \) pasa a \( f(1 - \int_{}^{}) = 1 \)? ¿No debería escribir así: \( (1 - \int_{}^{})f = 1 \), como es común a la hora de escribir los operadores? Incluso suponiendo que él los denota así, ¿por qué justo después escribe \( f = (1 - \int_{}^{})^{-1}1 \)? ¿No sería \( f = 1(1 - \int_{}^{})^{-1} \)?
...

Creo que si se interpreta \( \int \) como un operador y se denota la identidad con el \( 1 \) en el miembro de la izquierda y la función constante uno en el de la derecha, entonces veo correcto el paso de la expresión
\( f - \int_{}^{}f = 1 \) a \( f=(1-\int_{}^{} )^{-1}(1) \), ya que sería \( f-\int_{}^{}f=1\Longleftrightarrow (1-\int_{}^{})f=1\Longrightarrow f=(1-\int_{}^{})^{-1}(1) \)
Saludos

[Masacroso]

Se mire como se mire, es una chapuza. Para definir un operador, hay que definir el espacio donde actúa y su definición precisa. Lo que se interpreta más sencillamente es que \( \int \) representa el operador de Volterra, usualmente denotado por \( V \), en el espacio de Banach \( C[0,1] \) con la norma del supremo (lo que ha dicho Guli-Guli antes, es decir que \( \int f:=Vf:=\int_0^x f(t)\,d t \)), entonces es cierto que \( (I-V)f=1 \) tiene como solución \( f(x)=e^x \).

El operador de Volterra es compacto, y por tanto debido a un conocido teorema de Fredholm el operador \( I-V \) es o bien biyectivo, o bien ni inyectivo ni sobreyectivo. Es lo primero, ya que se puede demostrar que el operador de Volterra carece de valores propios, por tanto \( (I-V)f=0 \) si y solo si \( f=0 \), entonces \( I-V \) es invertible, y además debido al teorema de invertibilidad de Banach resulta que tal inversa es también un operador continuo en \( C[0,1] \).

Ahora, no tengo del todo claro que la identidad \( (I-V)^{-1}f=\sum_{k\geqslant 0}V^k f \) se cumpla para todo \( f\in C[0,1] \), pero seguramente sea así.

Añadido: ahora tengo una duda muy seria, y es que \( V \) es compacto como operador en \( L_2[0,1] \), pero ahora mismo no tengo claro que también lo sea en \( C[0,1] \). Pero leyendo por ahí parece que sí, que es compacto también en \( C[0,1] \) (se puede ver a partir del teorema de Arzelà-Ascoli).