Llamémosle \( V \colon \mathcal{C}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{C}(\mathbb{R}) \) al operador Volterra. La ecuación integral se puede expresar, entonces, como \( (\text{I} - V)f = 1 \). Lo que vamos a probar ahora es que el operador \( \text{I} - V \) es invertible. Es más, vamos a probar que
\( (\text{I} - V)^{-1} = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty V^n \). (*)
Antes de nada, dado que el lado derecho de la igualdad es una serie, es obligatorio dotarle al espacio de operadores lineales y continuos \( \mathcal{L}(\mathcal{C}(\mathbb{R}), \mathcal{C}(\mathbb{R})) \) de una topología que la haga convergente. Para que podamos hablar de operadores continuos, consideraremos a \( \mathcal{C}(\mathbb{R}) \) un
espacio de Fréchet con la familia de seminormas
\( \left\| g \right\|_\infty^{(m)} := \left\| g|_{[-m, m]} \right\|_\infty \)
para todo \( m \in \mathbb{N} \). La topología de \( \mathcal{C}(\mathbb{R}) \) inducida por las seminormas coincide con la
topología de convergencia uniforme por compactos. La estructura de espacio de Fréchet de \( \mathcal{C}(\mathbb{R}) \) nos permite considerar a \( \mathcal{L}(\mathcal{C}(\mathbb{R}), \mathcal{C}(\mathbb{R})) \) otro espacio de Fréchet con la familia de seminormas
\( \left\| T \right\|_\infty^{(m)} := \displaystyle\sup\!\left\{ \left\| Tg \right\|_\infty^{(m)} : \left\| g \right\|_\infty^{(m)} \leq 1 \right\} \)
para todo \( m \in \mathbb{N} \). La topología de \( \mathcal{L}(\mathcal{C}(\mathbb{R}), \mathcal{C}(\mathbb{R})) \) inducida por las seminormas cumple la siguiente caracterización de la convergencia en \( \mathcal{L}(\mathcal{C}(\mathbb{R}), \mathcal{C}(\mathbb{R})) \): dado \( T \in \mathcal{L}(\mathcal{C}(\mathbb{R}), \mathcal{C}(\mathbb{R})) \) y dada una sucesión \( (T_n)_{n=0}^\infty \) en \( \mathcal{L}(\mathcal{C}(\mathbb{R}), \mathcal{C}(\mathbb{R})) \) se cumple que
\( \displaystyle\lim_{n \to \infty} T_n = T \qquad \Longleftrightarrow \qquad \lim_{n \to \infty} \left\| T_n - T \right\|_\infty^{(m)} = 0\;\;\forall m \in \mathbb{N} \).
Ahora, sí, pasemos a probar
(*). Fijémonos que
\( (\text{I} - V)(\text{I} + V + \cdots + V^{n-1}) = \text{I} - V^n \)
para todo natural \( n > 0 \). Dado que \( V \in \mathcal{L}(\mathcal{C}(\mathbb{R}), \mathcal{C}(\mathbb{R})) \), obtendríamos de inmediato
(*) si logramos probar que
\( \displaystyle\lim_{n \to \infty} V^n = 0 \).
En primer lugar, podemos probar por inducción que
\( V^ng = \displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1} g(t)\,dt \)
para todo \( g \in \mathcal{C}(\mathbb{R}) \) y todo natural \( n > 0 \).
Ahora fijemos \( m \in \mathbb{N} \). Si tomamos cualquier \( g \in \mathcal{C}(\mathbb{R}) \) con \( \left\| g \right\|_\infty^{(m)} \leq 1 \), entonces
\( \left\| V^ng \right\|_\infty^{(m)} \leq \displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\int_0^m (m-t)^{n-1}\,dt = \displaystyle\frac{m^n}{n!} \)
para todo natural \( n > 0 \). En consecuencia, \( \lim_{n \to \infty} \left\| V^n \right\|_\infty^{(m)} = 0 \). Como habíamos tomado \( m \in \mathbb{N} \) arbitrario, obtenemos \( \lim_{n \to \infty} V^n = 0 \) usando la caracterización de la convergenc¡a en \( \mathcal{L}(\mathcal{C}(\mathbb{R}), \mathcal{C}(\mathbb{R})) \), que es justo lo que queríamos probar.
Una vez asegurado que \( \text{I} - V \) es invertible, podemos despejar \( f \) de \( (\text{I} - V)f = 1 \) para obtener \( f = (\text{I} - V)^{-1}1 \). Ahora bien, como
\( (V^n1)(x) = \displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}\,dt = \frac{x^n}{n!} \)
para todo natural \( n > 0 \) y todo \( x \in \mathbb{R} \), usando
(*) nos queda
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (V^n1)(x) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x \)
para todo \( x \in \mathbb{R} \).
