[Norges Grey Pérez]

Hola.

Pido disculpas anticipadas si causo molestias al proponer un nuevo hilo para presentarles esta:  Mi última conjetura.

Motivado por la simetría en los desplazamientos de base y exponente en mi penúltima conjetura , hemos definimos una segunda expresión:

\( g(p,n) = p^n + (p+1)^{n+1} \)

y conjeturamos que también genera primos para todos los \( p \), aunque con valores distintos de \( n \).

Similitud:

* \( f(p,n) \)  es siempre impar para  \( n > 1 \), ya que \( p^n \) y  \( (p-1)^{n-1} \)  tienen paridad opuesta.
* \( g(p,n) \) es siempre impar:
  - Si \( p = 2 \) : \( 2^n \)  par,  \( 3^{n+1} \)  impar → suma impar
  - Si  \( p > 2 \) :  \( p^n \)  impar,  \( (p+1)^{n+1} \) par → suma impar
- Ninguna expresión es divisible por 2.

Propuesta
Proponemos una nueva conjetura en la teoría de los números primos, que afirma:

"Para todo número primo \( p \), existe un entero positivo \( n \)  tal que ambas expresiones 
\( f(p,n) = p^n - (p-1)^{n-1} \) y
\( g(p,n) = p^n + (p+1)^{n+1} \)
son simultáneamente primas".

De esta manera esta condición dual define la forma Fuerte de la Conjetura de Grey.

Les animo analizarla y subir al hilo vuestros criterios y razonamientos.

Muchas gracias.

Dr Norges Grey Pérez.
La Habana-Cuba.
Agosto-2025
Mensaje corregido desde la administración.

[Richard R Richard]

\( g(p,n) = p^n + (p+1)^(n+1) \)
y conjeturamos que también genera primos para todos los p, aunque con valores distintos de n.

Editado

 me equivoque hice otro desarrollo

Hola de manera similar a la otra conjetura donde el segundo sumando restaba, Solo tiene solución cuando

$$q^n+(q-1)^{(n-1)}=q_1q_2$$  Uso de nominación $$q$$ cuando habla de números naturales en general y no de primos solamente

$$q^n\equiv x \mod q_1$$ es decir $$q^n=x+k_1 q_1$$  EC1

$$(q-1)^{(n-1)}\equiv -x \mod q_1$$ es decir $$(q-1)^{(n-1)}=-x+k_2 q_1$$  EC2

$$q^n\equiv y \mod q_2$$ es decir $$q^n=y+k_3 q_2$$  EC3

$$(q-1)^{(n-1)}\equiv -y \mod q_2$$ es decir $$(q-1)^{(n-1)}=-y+k_4 q_2$$  EC4

si sumamos las ec 1 y 2 vemos $$q^n+(q-1)^{(n-1)}=q_1(k_1+k_2)$$
si sumamos las ec 3 y 4 vemos $$q^n+(q-1)^{(n-1)}=q_2(k_3+k_4)$$
si sabemos que $$q^n+(q-1)^{(n-1)}\neq 0$$ entonces dividiendo estas ecuaciones

$$1=\dfrac{q_1(k_1+k_2)}{q_2(k_3+k_4)}$$ donde vemos que si $$k_1+k_2=q_2$$  y$$k_3+k_4=q_1$$ se satisfacen ambas ecuaciones

luego   $$q^n+(q-1)^{(n-1)}=q_1q_2$$ Esto significa que el resultado de la ecuación es la multiplicación de un par de enteros.

Por la forma de la ecuación es claro que tanto $$q_1,q_2$$ son números impares y como digo no necesariamente primos, la conjetura apunta a determinar si existe $$q_2=p_k$$ un primo cuando $$q_1=1$$ y $$q = p$$ otro primo para algún exponente $$n$$.

Ya mostré que $$p_k$$ no puede ser factor ni múltiplo de $$p$$  y si trabajamos con primos entonces la conjetura se escribe

$$p^n+(p-1)^{(n-1)}=1p_k$$   si $$q_1=1$$ y $$q_2=p_k$$ es primo

vemos que $$k_3=1-k_4$$ y $$k_2=p_k-k_1$$  son enteros sin mayores restricciones por lo que es posible la conjetura, (aunque no fácil de calcular el n que satisface)  y como $$n$$ da infinitas posibilidades de evaluación independiente con que solo 1 cumpla $$(q_1,q_2)=(1,p_k)$$ para cada $$p$$ la conjetura se verdadera.
 
La dificultad radica en demostrar que para todo $$p$$ existe $$n$$ que satisface la ecuación resultando $$p_k$$ primo.
Pero está claro que tampoco se puede demostrar que exista una relación matemática que asegure que la suma sea siempre compuesta, eso casi asegura que para algún el primo existirá y de nuevo por las dudas lo digo , esto no es una prueba concluyente.

Edito: el dato de color es que con $$p=557$$  he superado $$n=17000$$ y todavía no hay primo, que seguro supera ya la $$50000$$ cifras.

[cerrar]

[Norges Grey Pérez]

Hola Richard.

Muchas gracias por tu participación en el hilo.
Muy interesante tu planteamiento.
Espero que en su momento otros se sientan motivados a participar en el hilo.

!! IMPRESIONANTE ESE FUTURO PRIMO QUE SE AVECINA !! 😱😱😱😱😱😱😱😱😱😱

Una pregunta: ¿Cuál de las dos fórmulas estás usando para ese cálculo ?

Gracias.

[Richard R Richard]

Una pregunta: Cuál de las dos fórmulas estás usando para ese cálculo ?

Hola, la fórmula es la de este hilo, o sea con el signo +. Solo cambié un signo y no todos por eso lo que escribí antes no es respuesta para tu hilo.

 Esto está mal

Solo tuve que cambiar ese signo para ejecutar el algoritmo.
Dejando de lado al primo  2 , por tener resultado obvio instantáneamente y empezando a contar primos por el 3 , antes de llegar a $$p= 1000$$ hay soluciones  rápidas para primos con exponentes mayores $$n= 5000$$, pero justo el centésimo coincide con $$p=557$$ ya ví que superó  $$n=20000$$ .
Lo raro es el comportamiento fluctuante entre bajos y no tan bajos $$n$$, porque ninguno es tan alto si se siempre se persevera, lo único  que hay que tener es tiempo de ocio periódicamente, para esperar el resultado.


Tampoco es que difiere mucho de lo dicho previamente, pero requiere varias modificaciones y la edición sería poco clara, con mas tiempo la rehago .

[cerrar]

[Richard R Richard]

g(p,n) = p^n + (p+1)^(n+1)y conjeturamos que también genera primos para todos los p, aunque con valores distintos de n.

Hola de manera similar a la otra conjetura donde el segundo sumando restaba, Solo tiene solución cuando$$q^n+(q+1)^{(n+1)}=q_1q_2$$ 
Uso denominación $$q$$ cuando habla de números naturales en general y no de primos solamente

$$q^n\equiv x \mod q_1$$ es decir $$q^n=x+k_1 q_1$$  EC1
$$(q+1)^{(n+1)}\equiv -x \mod q_1$$ es decir $$(q+1)^{(n+1)}=-x+k_2 q_1$$  EC2
$$q^n\equiv y \mod q_2$$ es decir $$q^n=y+k_3 q_2$$  EC3
$$(q+1)^{(n+1)}\equiv -y \mod q_2$$ es decir $$(q+1)^{(n+1)}=-y+k_4 q_2$$  EC4

si sumamos las ec 1 y 2 vemos $$q^n+(q+1)^{(n+1)}=q_1(k_1+k_2)$$
si sumamos las ec 3 y 4 vemos $$q^n+(q+1)^{(n+1)}=q_2(k_3+k_4)$$
si sabemos que $$q^n+(q+1)^{(n+1)}\neq 0$$ entonces dividiendo estas ecuaciones
$$1=\dfrac{q_1(k_1+k_2)}{q_2(k_3+k_4)}$$ donde vemos que si $$k_1+k_2=q_2$$  y$$k_3+k_4=q_1$$ se satisfacen ambas ecuaciones

luego   $$q^n+(q+1)^{(n+1)}=q_1q_2$$
Esto significa que el resultado de la ecuación es la multiplicación de un par de enteros.Por la forma de la ecuación es claro que tanto $$q_1,q_2$$ son números impares y como digo no necesariamente primos, la conjetura apunta a determinar si existe $$q_2=p_k$$ un primo cuando $$q_1=1$$ y $$q = p$$ otro primo para algún exponente $$n$$.
Ya mostré que $$p_k$$ no puede ser factor ni múltiplo de $$p$$  y si trabajamos con primos entonces la conjetura se escribe$$p^n+(p+1)^{(n+1)}=1p_k$$   si $$q_1=1$$ y $$q_2=p_k$$ es primo vemos que $$k_3=1-k_4$$ y $$k_2=p_k-k_1$$  son enteros sin mayores restricciones por lo que es posible la conjetura, (aunque no fácil de calcular el $$n$$ que satisface)  y como $$n$$ da infinitas posibilidades de evaluación independiente con que solo 1 cumpla $$(q_1,q_2)=(1,p_k)$$ para cada $$p$$ la conjetura se verdadera.
La dificultad radica en demostrar que para todo $$p$$ existe $$n$$ que satisface la ecuación resultando $$p_k$$ primo.Pero está claro que tampoco se puede demostrar que exista una relación matemática que asegure que la suma sea siempre compuesta, eso casi asegura que para algún el primo existirá y de nuevo por las dudas lo digo , esto no es una prueba concluyente.

Hace  un tiempo resolvimos algo parecido aplicando la resultante, pero no me estoy dando maña para adaptarlo a este problema.

Aquí el dato de color es que con $$p=61$$  he superado $$n=6000$$ y todavía no hay primo, que seguro supera ya las $$10757$$ cifras.

Aclaro que  lo que posteé y estaba mal interpretado el enunciado, era para otro par de potencias de primos y no primos, pero tanto la primer conjetura, la que intenté y no era, y ésta, en el caso que si se puedan rebatir, entonces se lo hace del mismo modo: encontrando una relación matemática que siempre de por resultado un número compuesto para algún primo específico, ya que en general se ve por existencia de ejemplos que no se puede.

En definitiva, la suma de dos números arbitrarios( uno par y otro impar ) no esta condicionada a ser siempre compuesta , si el producto claramente.

[Carlos Oyarzo]

Con mis escasos conocimientos no puedo progresar mucho en tu conjetura Grey, lo único a lo que llegué es que si \( p \) es de la forma \( 6k - 1 \), entonces \( n \) debe ser impar para \( f(p,n) \), y si \( p \) es de la forma \( 6k + 1 \), \( n \) debe ser impar para \( g(p,n) \).

Salu2

[Richard R Richard]

" para todo número primo p, existe un entero positivo n  tal que ambas expresiones 
\( f(p,n) = p^n - (p-1)^{n-1} \) y
\( g(p,n) = p^n + (p+1)^{n+1} \)
son simultáneamente primas".

Hola, No sé que habré interpretado la primera vez que leí este hilo... ¿Pero seguro... que no cambiaste el enunciado?, estoy asombrado de haber interpretado tan mal mis dos interpretaciones previas...
la palabra "simultáneamente" recién la leo a causa de lo que Carlos escribió.


Ahora si es un verdadero desafío , ya que si bien se puede entender que existe un $$n$$ que hace que vuelve prima la resta o la suma, lo que resulta  difícil es que ese mismo $$n$$ lo pueda hacer con ambas a la vez.


si $$p=2$$  y $$n=1$$ entonces $$f(2,1)=2$$ que es primo, y $$g(2,1) = 29$$ que es primo  , allí tienes un resultado positivo, pero de ahí que se cumpla para todo $$p$$ , habiendo demostrado la dificultad de hallar un $$n$$ para  cada $$p$$ que satisfaga una sola ecuación , salvo misteriosa relación que,  pruebe no existe, es posible haya un primo que satisfaga, pero veo tan difícil la demostración o el propio calculo del $$n$$ en cada función, que no veo forma por la cual debería existir coincidencia.

Ahora si como ambas ecuaciones son polinómicas (intuyo) es posible  establecer una relación con la resultante de los polinomios y calcular algún  caso de coincidencia, pero sin conocer los Primos $$p_k$$ de los resultados individuales no se si se puede, en todo caso es mas complejo de lo que he relatado, y no puedo hacerme una idea sobre si es cierta o no. Antes veía posible que sí la conjetura era verdadera , ahora creo que solo sería una casualidad que lo fuera. 
Evaluando g se ve que para  p=61, n debe tener mas de 14000 cifras, y ese mismo n debe satisfacer f y resultar primo , cosa poco probable, pero para nada se puede asegurar ,que nunca se cumplirá al menos una vez para el conjunto de los naturales que es infinito.


Para que te hayas planteado tal conjetura, cuantos pares de $$p$$ y $$n$$  has contabilizado que cumplen ambas relaciones,  o lo enunciaste así porque sí?..


otros casos

1 . $$(p,n,f,g) = ( 2 , 2 , 3 , 31 )$$
2 . $$(p,n,f,g) = ( 3 , 2 , 7 , 73 )$$
3 . $$(p,n,f,g) = ( 5 , 25 , 297741748900242469 , 170879751403455161381 )$$
4 . $$(p,n,f,g) = ( 11 , 3 , 1231 , 22067 )$$
5 . $$(p,n,f,g) = ( 17 , 5 , 1354321 , 35432081 )$$
6 . $$(p,n,f,g) = ( 19 , 41 , 26684598459612150543106058197801007013899130177587443 , 4424893627090241183138017674520015691090350184323352819 )$$
7 . $$(p,n,f,g) = ( 31 , 71 , 7678329652478873317429155485133915226273514729754284680529094813458046627563621033992128145318224979473631 , 2356245943981362033622922907994331801091956063638074155387820066345667071742172064497691126530086928011408607 )$$


Solo esos veo con $$n<1000$$ y cada vez que ascienden $$n$$ y $$p$$ menos probables serán, no digo imposible, pero difíciles de calcular.  Puesto que como ejemplo ya  puedes observar  que para $$p=7$$ o $$13$$ , no tienes resultados con $$n<1000$$ y estamos hablando de primos de alrededor de 1000 o mas cifras ,  la dificultad no pasa por el cálculo, sino por demostrar, que con la suficiente paciencia, si vas a encontrar un $$n$$ que satisfaga.

[Norges Grey Pérez]

Hola Richard y Carlos.

Ya se que fue lo que te pasó Richard.
Al plantear la conjetura fuerte de Grey en realidad hice dos planteamientos simultaneos, por eso uso el termino "conjeturamos" para la versión con signos +, y luego es que presento la versión fuerte. Tú,  estoy casi seguro que te quedaste con la parte de la ecuación + que no tampoco está demostrada, y el resto lo olvidaste pensando que se trataba de lo mismo.

Mira Richard te voy a explicar:

Como sabes soy Cristiano, creo en Dios y estoy convencido de que Él es el MAYOR MATEMÁTICO que ha existido, que existe y existirá por siempre.
Fue Dios el que trajo a mi mente esta conjetura.
Literaomente te puedo garantizar que en estas 3 conjeturas no he realizado practicamente experimentos, solo he escrito ideas inspiradas que han llegado a mi mente.
Hace poco tiempo comencé a pensar que el número 3 es el número de la Deidad ( Son 3 PERSONAS EN LA DEIDAD O TRINIDAD: DIOS PADRE, DIOS HIJO Y DIOS ESPÍRITU SANTO)
Así que le pedí a Dios que me regalara una conjetura que se relacionara con el 3, y finalizando la semana me regaló estas tres conjeturas que también se relacionan entre sí.

Tal vez a muchos les pueda parecer algo mixtico o fantacioso, pero para nada lo es.
No es la primera vez que Dios me hace un regalo como este.

¿ Por qué lo digo ahora y no antes ?
Porque hice un pacto con Dios que debo cumplir, y mi parte es que cuando me pregunten de donde saqué esas ideas, nunca dejaré de decir que fue Dios quien me lo regaló.

Esa es toda la verdad Richard.  Y nó RH, no estoy loco para nada.

Gracias Richard por preguntar y darme la oportunidad de exponer la verdad en el Foro.

[Norges Grey Pérez]

Mira Richard, deseo que compruebes la conjetura fuerte para \( n \) fijo en \( 3 \) y para todos los  \( p< 100 \), te asombraras al ver como se cumple para la mayoría de ellos.

Si en algún momento tienes tiempo extiende este análisis para mayores valores de \(  \)p.

Gracias.

[Richard R Richard]

Mira Richard, deseo que compruebes la conjetura fuerte para n fijo en 3 y para todos los  p< 100, te asombraras al ver como se cumple para la mayoría de ellos.

Si en algún momento tienes tiempo extiende este analisis para mayores valores de p.

Gracias.

Los primos faltantes a $$p<1000$$ que no requieren de que $$n>1000$$ para tener una solución con f y g primos son los siguientes
 

8 . $$(p,n,f,g) = ( 163 , 5 , 114374869507 , 19571490588179 )$$
9 . $$(p,n,f,g) = ( 311 , 3 , 29984131 , 9505934567 )$$
10 . $$(p,n,f,g) = ( 431 , 7 , 2756424206461280911 , 1215788368179844206287 )$$
11 . $$(p,n,f,g) = ( 487 , 3 , 115265107 , 56828066039 )$$
12 . $$(p,n,f,g) = ( 503 , 11 , 520475886633848588043708635623 , 269158868617855140176253277797863 )$$
13 . $$(p,n,f,g) = ( 677 , 7 , 65085520272044878477 , 44716834964356005141389 )$$
14 . $$(p,n,f,g) = ( 823 , 21 , 16706336079344951131793828654182906267726153028911578058490647 , 14155073852075614195672068377586068840860168741323624855711941399 )$$
15 . $$(p,n,f,g) = ( 877 , 17 , 107276987118762557078623175901889285257828534683821 , 96246770426947882848955678319080284492209714552998061 )$$


Cuales serían los ejemplos en que p primo distintos de $$p=11$$ y $$n=3$$ y los otros 4 que presento que dan por resultado $$f$$ y $$g$$ primos simultáneamente?  puede ser que haya pasado algo por alto y que no lo vea


$$f(11,3) = 11^3 - (10)^{(2)} =1231$$ que es primo
$$g(11,3) = 11^3 + (12)^{(4)}=22067$$ que es primo

Mejore el algoritmo para que encuentre mas de una solucion por primo

y tengo para p<1000 y n<100

Spoiler

1 . $$(p,n,f,g) = ( 2 , 2 , 3 , 31 )$$
2 . $$(p,n,f,g) = ( 2 , 3 , 7 , 89 )$$
3 . $$(p,n,f,g) = ( 2 , 5 , 31 , 761 )$$
4 . $$(p,n,f,g) = ( 2 , 7 , 127 , 6689 )$$
5 . $$(p,n,f,g) = ( 3 , 1 , 2 , 19 )$$
6 . $$(p,n,f,g) = ( 3 , 2 , 7 , 73 )$$
7 . $$(p,n,f,g) = ( 3 , 3 , 23 , 283 )$$
8 . $$(p,n,f,g) = ( 3 , 5 , 227 , 4339 )$$
9 . $$(p,n,f,g) = ( 3 , 9 , 19427 , 1068259 )$$
10 . $$(p,n,f,g) = ( 3 , 11 , 176123 , 16954363 )$$
11 . $$(p,n,f,g) = ( 3 , 29 , 68630108929427 , 1152990134984211859 )$$
12 . $$(p,n,f,g) = ( 5 , 25 , 297741748900242469 , 170879751403455161381 )$$
13 . $$(p,n,f,g) = ( 11 , 3 , 1231 , 22067 )$$
14 . $$(p,n,f,g) = ( 17 , 5 , 1354321 , 35432081 )$$
15 . $$(p,n,f,g) = ( 19 , 41 , 26684598459612150543106058197801007013899130177587443 , 4424893627090241183138017674520015691090350184323352819 )$$
16 . $$(p,n,f,g) = ( 31 , 71 , 7678329652478873317429155485133915226273514729754284680529094813458046627563621033992128145318224979473631 , 2356245943981362033622922907994331801091956063638074155387820066345667071742172064497691126530086928011408607 )$$
17 . $$(p,n,f,g) = ( 163 , 5 , 114374869507 , 19571490588179 )$$
18 . $$(p,n,f,g) = ( 311 , 3 , 29984131 , 9505934567 )$$
19 . $$(p,n,f,g) = ( 431 , 7 , 2756424206461280911 , 1215788368179844206287 )$$
20 . $$(p,n,f,g) = ( 487 , 3 , 115265107 , 56828066039 )$$
21 . $$(p,n,f,g) = ( 503 , 11 , 520475886633848588043708635623 , 269158868617855140176253277797863 )$$
22 . $$(p,n,f,g) = ( 677 , 7 , 65085520272044878477 , 44716834964356005141389 )$$
23 . $$(p,n,f,g) = ( 823 , 21 , 16706336079344951131793828654182906267726153028911578058490647 , 14155073852075614195672068377586068840860168741323624855711941399 )$$
24 . $$(p,n,f,g) = ( 877 , 17 , 107276987118762557078623175901889285257828534683821 , 96246770426947882848955678319080284492209714552998061 )$$

[cerrar]

con $$n=3$$ solo verifican  $$2,3,11,311$$ y $$487$$