Hola:
Buenas a todos,
Perdón por meterme en el hilo pero; si la sucesión original converge a \( 0 \), como puede una subsucesión converger a \( \sqrt{2} \)?
...
Leer tus aportaciones es siempre instructivo...
Tienes razón; si fuera una subsucesión debería dar el mismo límite, pero lo que creo que sucede es que no es una subsucesión de la original con naturales. La subsucesión correspondiente con primos de la sucesión original \( \left\{\dfrac{n\sqrt{2}}{(1+n)\ln n}\right\} \) sería \( \left\{\dfrac{p_n\sqrt{2}}{(1+p_n)\ln p_n}\right\} \) cuyo límite es también cero.
Spoiler
\( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{p_n\sqrt{2}}{(1+p_n)\ln p_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{2}\,n\ln n}{(1+n\ln n)\ln (n\ln n)}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\sqrt{2}}{\left(n+\frac{1}{\ln n}\right)\ln (n\ln n)}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{2}}{\ln (n\ln n)}=0 \)
Así pues, el límite que propone
RH no parece ser el de una subsucesión de la sucesión original.
\( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left|\dfrac{p_n^{2+i}}{(i-1)\displaystyle\sum\limits_{k=1}^np_k}\right|}{\ln p_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{p_n\sqrt{2}}{n\ln p_n} \)
No es lo mismo la suma de los naturales hasta el primo n-ésimo que la suma de los primos hasta el primo n-ésimo.
Saludos
