[danizafa]

Hola,
Estimados miembros del foro:

Me gustaría compartir con ustedes una demostración estructural y combinatoria de la inexistencia de números perfectos impares, la cual acabo de publicar en el repositorio Zenodo con DOI asignado.

📄 Título del artículo:
Demostración de la Inexistencia de Números Perfectos Impares

📚 Resumen breve:
En el trabajo se demuestra que la igualdad
 
\( \sigma(n) = 2n\)

no puede sostenerse en el caso impar, debido a restricciones combinatorias en la forma multiplicativa de la función suma de divisores. Se analiza también por qué sí es posible en el caso par, y se restringen formas propuestas como

\( n = p^a M^2\)

La demostración es elemental, pero explora aspectos estructurales y se propone una interpretación combinatoria de la simetría necesaria.

Acompaño el PDF.

También dejo el enlace al artículo publicado en zenodo:

Spoiler

https://zenodo.org/records/15794570

[cerrar]

Estoy abierto a comentarios, sugerencias o críticas constructivas.

Muchas gracias!

Saludos cordiales,
Daniel Augusto Jorge Zafaranich

[Richard R Richard]

Hola cito parte del documento

observamos que es imposible que $$ \sigma(p^\alpha)$$ sea igual al doble de un cuadrado perfecto, ni que se
ajuste a la igualdad anterior con un M2 arbitrario.

Hola, Danizafa eso no es cierto o yo lo interpreto mal la frase

 esto esta mal , pero se corrigío mas adelante

  $$\sigma(3^{66}) =46354731573948918542880962705293$$  que al dividirlo por $$2$$ y hacerle raíz cuadrada da  $$4814287671813397$$
y sería el primero de muchos que he encontrado

Los términos de $$3^i$$ son

Spoiler

$$[1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 387420489, 1162261467, 3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827, 282429536481, 847288609443, 2541865828329, 7625597484987, 22876792454961, 68630377364883, 205891132094649, 617673396283947, 1853020188851841, 5559060566555523, 16677181699666569, 50031545098999707, 150094635296999121, 450283905890997363, 1350851717672992089, 4052555153018976267, 12157665459056928801, 36472996377170786403, 109418989131512359209, 328256967394537077627, 984770902183611232881, 2954312706550833698643, 8862938119652501095929, 26588814358957503287787, 79766443076872509863361, 239299329230617529590083, 717897987691852588770249, 2153693963075557766310747, 6461081889226673298932241, 19383245667680019896796723, 58149737003040059690390169, 174449211009120179071170507, 523347633027360537213511521, 1570042899082081611640534563, 4710128697246244834921603689, 14130386091738734504764811067, 42391158275216203514294433201, 127173474825648610542883299603, 381520424476945831628649898809, 1144561273430837494885949696427, 3433683820292512484657849089281, 10301051460877537453973547267843, 30903154382632612361920641803529]$$

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 otros

Primos hasta el 1000  que cumplen con el $$alpha$$ mas pequeño menor a 100

Con el primo $$ 3 $$ y $$\alpha = 66 $$ se suma $$n= 46354731573948918542880962705293 $$ y $$n=2 \times  4814287671813397 ^2$$
Con el primo $$ 5 $$ y $$\alpha = 45 $$ se suma $$n= 35527136788005009293556213378906 $$ y $$n=2 \times  4214684851089403 ^2$$
Con el primo $$ 7 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 8 $$ y $$n=2 \times  2 ^2$$
Con el primo $$ 11 $$ y $$\alpha = 30 $$ se suma $$n= 19194342495775048050414684129181 $$ y $$n=2 \times  3097930155424348 ^2$$
Con el primo $$ 13 $$ y $$\alpha = 28 $$ se suma $$n= 16794843869550929233208663030981 $$ y $$n=2 \times  2897830556601863 ^2$$
Con el primo $$ 17 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 18 $$ y $$n=2 \times  3 ^2$$
Con el primo $$ 19 $$ y $$\alpha = 25 $$ se suma $$n= 98247412115381427844199033073860 $$ y $$n=2 \times  7008830577042843 ^2$$
Con el primo $$ 23 $$ y $$\alpha = 23 $$ se suma $$n= 21829580181659180763189352588320 $$ y $$n=2 \times  3303753939207578 ^2$$
Con el primo $$ 29 $$ y $$\alpha = 21 $$ se suma $$n= 5316158519395832229976377306330 $$ y $$n=2 \times  1630361695973601 ^2$$
Con el primo $$ 31 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 32 $$ y $$n=2 \times  4 ^2$$
Con el primo $$ 37 $$ y $$\alpha = 19 $$ se suma $$n= 642291212962809964630173716300 $$ y $$n=2 \times  566697102940720 ^2$$
Con el primo $$ 41 $$ y $$\alpha = 19 $$ se suma $$n= 4504194573910523237575746151620 $$ y $$n=2 \times  1500698932816060 ^2$$
Con el primo $$ 43 $$ y $$\alpha = 20 $$ se suma $$n= 478176552724478817165843735101001 $$ y $$n=2 \times  15462479631748570 ^2$$
Con el primo $$ 47 $$ y $$\alpha = 19 $$ se suma $$n= 60144971999181213248929304594400 $$ y $$n=2 \times  5483838619032348 ^2$$
Con el primo $$ 53 $$ y $$\alpha = 18 $$ se suma $$n= 11097832834124892930621135337183 $$ y $$n=2 \times  2355613808981100 ^2$$
Con el primo $$ 59 $$ y $$\alpha = 18 $$ se suma $$n= 76341418908412835325355686147061 $$ y $$n=2 \times  6178244852238087 ^2$$
Con el primo $$ 61 $$ y $$\alpha = 18 $$ se suma $$n= 139032270387890472660272230794679 $$ y $$n=2 \times  8337633668730309 ^2$$
Con el primo $$ 67 $$ y $$\alpha = 18 $$ se suma $$n= 751410597400064602523400427092397 $$ y $$n=2 \times  19383118910537392 ^2$$
Con el primo $$ 71 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 72 $$ y $$n=2 \times  6 ^2$$
Con el primo $$ 73 $$ y $$\alpha = 16 $$ se suma $$n= 659410905926390259528818985041 $$ y $$n=2 \times  574199837132679 ^2$$
Con el primo $$ 79 $$ y $$\alpha = 17 $$ se suma $$n= 184159039225394507465081677363920 $$ y $$n=2 \times  9595807397644934 ^2$$
Con el primo $$ 83 $$ y $$\alpha = 16 $$ se suma $$n= 5134683961136227944581750989921 $$ y $$n=2 \times  1602292726242029 ^2$$
Con el primo $$ 89 $$ y $$\alpha = 16 $$ se suma $$n= 15672830645919606167316365545681 $$ y $$n=2 \times  2799359805912738 ^2$$
Con el primo $$ 97 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 98 $$ y $$n=2 \times  7 ^2$$
Con el primo $$ 101 $$ y $$\alpha = 16 $$ se suma $$n= 118430443137293550572381186813617 $$ y $$n=2 \times  7695142725683961 ^2$$
Con el primo $$ 103 $$ y $$\alpha = 15 $$ se suma $$n= 1573241606959595605821622000960 $$ y $$n=2 \times  886916458004810 ^2$$
Con el primo $$ 107 $$ y $$\alpha = 16 $$ se suma $$n= 298001434996696772340986314384801 $$ y $$n=2 \times  12206585005575818 ^2$$
Con el primo $$ 109 $$ y $$\alpha = 16 $$ se suma $$n= 400706797255068758036954693985521 $$ y $$n=2 \times  14154624637465114 ^2$$
Con el primo $$ 113 $$ y $$\alpha = 16 $$ se suma $$n= 713042664757291269648381292290961 $$ y $$n=2 \times  18881772490384624 ^2$$
Con el primo $$ 127 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 128 $$ y $$n=2 \times  8 ^2$$
Con el primo $$ 131 $$ y $$\alpha = 15 $$ se suma $$n= 57862524567501709233543846899616 $$ y $$n=2 \times  5378778884073118 ^2$$
Con el primo $$ 137 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 826550892135213046195557194647 $$ y $$n=2 \times  642865029432778 ^2$$
Con el primo $$ 139 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 1012378509297502003316986487421 $$ y $$n=2 \times  711469784775679 ^2$$
Con el primo $$ 149 $$ y $$\alpha = 15 $$ se suma $$n= 398766419843380290860183949241200 $$ y $$n=2 \times  14120311962619316 ^2$$
Con el primo $$ 151 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 3225246780180121410732698378265 $$ y $$n=2 \times  1269891093791141 ^2$$
Con el primo $$ 157 $$ y $$\alpha = 15 $$ se suma $$n= 873513940234764774339650979818800 $$ y $$n=2 \times  20898731304014184 ^2$$
Con el primo $$ 163 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 9403706189492015729711097312213 $$ y $$n=2 \times  2168375681183039 ^2$$
Con el primo $$ 167 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 13201977224019466294077053568937 $$ y $$n=2 \times  2569238916879809 ^2$$
Con el primo $$ 173 $$ y $$\alpha = 15 $$ se suma $$n= 3742908437702492696896858864636080 $$ y $$n=2 \times  43260307660154784 ^2$$
Con el primo $$ 179 $$ y $$\alpha = 15 $$ se suma $$n= 6240630845811129032449766769611040 $$ y $$n=2 \times  55859783591646368 ^2$$
Con el primo $$ 181 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 40729222333872829973601828720915 $$ y $$n=2 \times  4512716606096201 ^2$$
Con el primo $$ 191 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 86446399137552460165366853110465 $$ y $$n=2 \times  6574435304174514 ^2$$
Con el primo $$ 193 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 100013449477965184816738633268943 $$ y $$n=2 \times  7071543306731749 ^2$$
Con el primo $$ 197 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 133271510814097167082682425601827 $$ y $$n=2 \times  8163072669470031 ^2$$
Con el primo $$ 199 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 200 $$ y $$n=2 \times  10 ^2$$
Con el primo $$ 211 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 1650954405273147786965028252524 $$ y $$n=2 \times  908557759658996 ^2$$
Con el primo $$ 223 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 3387779285624030266739704684064 $$ y $$n=2 \times  1301495156660990 ^2$$
Con el primo $$ 227 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 4268286487191950202309127532508 $$ y $$n=2 \times  1460870714196152 ^2$$
Con el primo $$ 229 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 1095462179065606404464350574599491 $$ y $$n=2 \times  23403655473724680 ^2$$
Con el primo $$ 233 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 1395888825138127656764821590184183 $$ y $$n=2 \times  26418637598654928 ^2$$
Con el primo $$ 239 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 1992468926837070019219142760708721 $$ y $$n=2 \times  31563182086388800 ^2$$
Con el primo $$ 241 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 242 $$ y $$n=2 \times  11 ^2$$
Con el primo $$ 251 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 15757673298096727061546913397764 $$ y $$n=2 \times  2806926548566664 ^2$$
Con el primo $$ 257 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 21420211827980042552076525132558 $$ y $$n=2 \times  3272629816216619 ^2$$
Con el primo $$ 263 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 28912070055490460369372749668024 $$ y $$n=2 \times  3802109286665131 ^2$$
Con el primo $$ 269 $$ y $$\alpha = 14 $$ se suma $$n= 10426760691686629222130597905431211 $$ y $$n=2 \times  72203741910259152 ^2$$
Con el primo $$ 271 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 42678221009305164174583488163184 $$ y $$n=2 \times  4619427508323145 ^2$$
Con el primo $$ 277 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 56729333979285614933625507785258 $$ y $$n=2 \times  5325848945439854 ^2$$
Con el primo $$ 281 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 68348729693690436782174814035094 $$ y $$n=2 \times  5845884436665270 ^2$$
Con el primo $$ 283 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 74948162375735638775403191039204 $$ y $$n=2 \times  6121607729009416 ^2$$
Con el primo $$ 293 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 1370972024368393931172479700 $$ y $$n=2 \times  26181787795798 ^2$$
Con el primo $$ 307 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 215881700427951712029537324663308 $$ y $$n=2 \times  10389458610244128 ^2$$
Con el primo $$ 311 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 255436969171851843499338513519624 $$ y $$n=2 \times  11301260309625910 ^2$$
Con el primo $$ 313 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 277629832859413417672446249129974 $$ y $$n=2 \times  11781974216136560 ^2$$
Con el primo $$ 317 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 327448185673204482163711552313058 $$ y $$n=2 \times  12795471575389562 ^2$$
Con el primo $$ 331 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 574219548001351270876666786926644 $$ y $$n=2 \times  16944313913542668 ^2$$
Con el primo $$ 337 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 338 $$ y $$n=2 \times  13 ^2$$
Con el primo $$ 347 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 8808005936990129637824751240 $$ y $$n=2 \times  66362662457854 ^2$$
Con el primo $$ 349 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 1142817108851465081970934585232450 $$ y $$n=2 \times  23904153497368036 ^2$$
Con el primo $$ 353 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 1325266475317225682294024387833134 $$ y $$n=2 \times  25741663459431148 ^2$$
Con el primo $$ 359 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 4595627344491802627811990263441 $$ y $$n=2 \times  1515854106517478 ^2$$
Con el primo $$ 367 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 2197069595815424056836854805409808 $$ y $$n=2 \times  33144151790439772 ^2$$
Con el primo $$ 373 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 2712568445566420458118415922147914 $$ y $$n=2 \times  36827764292490120 ^2$$
Con el primo $$ 379 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 3337775632158646992570993301929860 $$ y $$n=2 \times  40852023402511208 ^2$$
Con el primo $$ 383 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 3825775420777496629876616815807104 $$ y $$n=2 \times  43736571772245120 ^2$$
Con el primo $$ 389 $$ y $$\alpha = 13 $$ se suma $$n= 4682337271415203967325471336673530 $$ y $$n=2 \times  48385624267003128 ^2$$
Con el primo $$ 397 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 15366727926360888685355234503381 $$ y $$n=2 \times  2771888158490606 ^2$$
Con el primo $$ 401 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 17330729856682067140833005791213 $$ y $$n=2 \times  2943699191211805 ^2$$
Con el primo $$ 409 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 21965588382208070190871596274141 $$ y $$n=2 \times  3314029901962871 ^2$$
Con el primo $$ 419 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 29349858837627303432366741347881 $$ y $$n=2 \times  3830787049525678 ^2$$
Con el primo $$ 421 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 31075487861920080985946426123173 $$ y $$n=2 \times  3941794506434860 ^2$$
Con el primo $$ 431 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 41184714195482039674534362089953 $$ y $$n=2 \times  4537880242772061 ^2$$
Con el primo $$ 433 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 43537040693760475878178995700141 $$ y $$n=2 \times  4665674693640807 ^2$$
Con el primo $$ 439 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 51352861990092207483102971766961 $$ y $$n=2 \times  5067191628017052 ^2$$
Con el primo $$ 443 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 57256681250334895461128852415001 $$ y $$n=2 \times  5350545824975939 ^2$$
Con el primo $$ 449 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 450 $$ y $$n=2 \times  15 ^2$$
Con el primo $$ 457 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 83165989340583983588438971314301 $$ y $$n=2 \times  6448487781665713 ^2$$
Con el primo $$ 461 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 92332415741477904266304652113493 $$ y $$n=2 \times  6794571941685433 ^2$$
Con el primo $$ 463 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 97254769229649388610969005074721 $$ y $$n=2 \times  6973333823561345 ^2$$
Con el primo $$ 467 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 107828491776666708676230992000521 $$ y $$n=2 \times  7342632081776490 ^2$$
Con el primo $$ 479 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 146195423531127751617671278691521 $$ y $$n=2 \times  8549719981704891 ^2$$
Con el primo $$ 487 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 366194034654594035254385245680 $$ y $$n=2 \times  427898372662595 ^2$$
Con el primo $$ 491 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 196726704822632505483798951011833 $$ y $$n=2 \times  9917830025328940 ^2$$
Con el primo $$ 499 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 238823880335532953268421883997001 $$ y $$n=2 \times  10927577049271558 ^2$$
Con el primo $$ 503 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 262833118874175231462982613690161 $$ y $$n=2 \times  11463706182430166 ^2$$
Con el primo $$ 509 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 303017323686227273114433601335541 $$ y $$n=2 \times  12308885483386124 ^2$$
Con el primo $$ 521 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 769217818655979455901704002332 $$ y $$n=2 \times  620168452380472 ^2$$
Con el primo $$ 523 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 419615432591841292207105375277881 $$ y $$n=2 \times  14484740808724216 ^2$$
Con el primo $$ 541 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 629753640212288213887631135319733 $$ y $$n=2 \times  17744768809599750 ^2$$
Con el primo $$ 547 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 718857154786230007202556484432681 $$ y $$n=2 \times  18958601672937668 ^2$$
Con el primo $$ 557 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 893393412150511036465984831684501 $$ y $$n=2 \times  21135200639578880 ^2$$
Con el primo $$ 563 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 1804531313508491219520310991640 $$ y $$n=2 \times  949876653442038 ^2$$
Con el primo $$ 569 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 1153748441610988582855314338317981 $$ y $$n=2 \times  24018206028042444 ^2$$
Con el primo $$ 571 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 1203357174273454144901711914030873 $$ y $$n=2 \times  24529137513103208 ^2$$
Con el primo $$ 577 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 578 $$ y $$n=2 \times  17 ^2$$
Con el primo $$ 587 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 1676477388292663368431096648658361 $$ y $$n=2 \times  28952352134953244 ^2$$
Con el primo $$ 593 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 3193997807238332960049284400300 $$ y $$n=2 \times  1263724219764410 ^2$$
Con el primo $$ 599 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 2137211523055234680829245012956401 $$ y $$n=2 \times  32689535963785372 ^2$$
Con el primo $$ 601 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 2224420483719218358499109743006813 $$ y $$n=2 \times  33349816219277868 ^2$$
Con el primo $$ 607 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 2505995921304826923903040501809601 $$ y $$n=2 \times  35397711234660548 ^2$$
Con el primo $$ 613 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 4600174138162652633406954598740 $$ y $$n=2 \times  1516603794364674 ^2$$
Con el primo $$ 617 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 3048782340960992816353533136661821 $$ y $$n=2 \times  39043452338138552 ^2$$
Con el primo $$ 619 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 5120346051423502725988728831720 $$ y $$n=2 \times  1600054069621321 ^2$$
Con el primo $$ 631 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 6324289784590180092010062944592 $$ y $$n=2 \times  1778242079216182 ^2$$
Con el primo $$ 641 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 4819194003126683735090002774475533 $$ y $$n=2 \times  49087646119602656 ^2$$
Con el primo $$ 643 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 5002736399322454070215301405332201 $$ y $$n=2 \times  50013680125154032 ^2$$
Con el primo $$ 647 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 648 $$ y $$n=2 \times  18 ^2$$
Con el primo $$ 653 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 6020378010934767565280364965583061 $$ y $$n=2 \times  54865189377850360 ^2$$
Con el primo $$ 659 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 10195278213692964855288092655960 $$ y $$n=2 \times  2257795187089937 ^2$$
Con el primo $$ 661 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 6967468882336420361152538754193093 $$ y $$n=2 \times  59023168681190016 ^2$$
Con el primo $$ 673 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 8646225575434361037441762938520781 $$ y $$n=2 \times  65750382414988128 ^2$$
Con el primo $$ 677 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 13712521713508860105555974680020 $$ y $$n=2 \times  2618446267685176 ^2$$
Con el primo $$ 683 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 15109986263505243009516099199080 $$ y $$n=2 \times  2748634775984729 ^2$$
Con el primo $$ 691 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 17174633484102863745894664662552 $$ y $$n=2 \times  2930412384298741 ^2$$
Con el primo $$ 701 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 14100554566988321308501374085194613 $$ y $$n=2 \times  83965929301676640 ^2$$
Con el primo $$ 709 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 16157263201705316569785928208618341 $$ y $$n=2 \times  89881208274325392 ^2$$
Con el primo $$ 719 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 19113980153521440837454644690658081 $$ y $$n=2 \times  97759859230466992 ^2$$
Con el primo $$ 727 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 30024536351225196846194743570320 $$ y $$n=2 \times  3874566837159039 ^2$$
Con el primo $$ 733 $$ y $$\alpha = 12 $$ se suma $$n= 24090210189415989006248766054725941 $$ y $$n=2 \times  109750194053167824 ^2$$
Con el primo $$ 739 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 35948179278890948527244694256440 $$ y $$n=2 \times  4239586022177811 ^2$$
Con el primo $$ 743 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 38147129163874475879024623215600 $$ y $$n=2 \times  4367329227564283 ^2$$
Con el primo $$ 751 $$ y $$\alpha = 10 $$ se suma $$n= 57144974552556070147124103761 $$ y $$n=2 \times  169033982607871 ^2$$
Con el primo $$ 757 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 46841280460049910639824122595700 $$ y $$n=2 \times  4839487599945366 ^2$$
Con el primo $$ 761 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 49636630099570111612521988562172 $$ y $$n=2 \times  4981798375063472 ^2$$
Con el primo $$ 769 $$ y $$\alpha = 10 $$ se suma $$n= 72414997126743642443646608651 $$ y $$n=2 \times  190282680671079 ^2$$
Con el primo $$ 773 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 58957169712109505110419651111060 $$ y $$n=2 \times  5429418463892312 ^2$$
Con el primo $$ 787 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 71824769721727295192565586875480 $$ y $$n=2 \times  5992694290622845 ^2$$
Con el primo $$ 797 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 82525238669046607501038381167940 $$ y $$n=2 \times  6423598628068484 ^2$$
Con el primo $$ 809 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 97268204361607629279678250816860 $$ y $$n=2 \times  6973815467934595 ^2$$
Con el primo $$ 811 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 99945957199285840791729792410472 $$ y $$n=2 \times  7069156852103574 ^2$$
Con el primo $$ 821 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 114367870056582563028002033862132 $$ y $$n=2 \times  7562006018794965 ^2$$
Con el primo $$ 823 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 117469793418789692891448648734160 $$ y $$n=2 \times  7663869565004016 ^2$$
Con el primo $$ 827 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 123904211222784528367728910270920 $$ y $$n=2 \times  7870965989724023 ^2$$
Con el primo $$ 829 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 127240108222242352849324553902980 $$ y $$n=2 \times  7976218033073142 ^2$$
Con el primo $$ 839 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 145177566142498931585912900117040 $$ y $$n=2 \times  8519905109286691 ^2$$
Con el primo $$ 853 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 174160145654104396826960039994420 $$ y $$n=2 \times  9331670419975846 ^2$$
Con el primo $$ 857 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 183356410521808917437583192954300 $$ y $$n=2 \times  9574873642033322 ^2$$
Con el primo $$ 859 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 188118140899155624714455916737160 $$ y $$n=2 \times  9698405562234332 ^2$$
Con el primo $$ 863 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 197980438926979328313676758834240 $$ y $$n=2 \times  9949382868474288 ^2$$
Con el primo $$ 877 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 236314850389350200596432938581220 $$ y $$n=2 \times  10870024157961890 ^2$$
Con el primo $$ 881 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 882 $$ y $$n=2 \times  21 ^2$$
Con el primo $$ 883 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 254718130047061893928821406755480 $$ y $$n=2 \times  11285347359453804 ^2$$
Con el primo $$ 887 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 267700829004523374434859986272080 $$ y $$n=2 \times  11569373989212280 ^2$$
Con el primo $$ 907 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 342104862484445628186419200818600 $$ y $$n=2 \times  13078701435625130 ^2$$
Con el primo $$ 911 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 359070007983506748144481885407072 $$ y $$n=2 \times  13399067280663732 ^2$$
Con el primo $$ 919 $$ y $$\alpha = 10 $$ se suma $$n= 430157940377949731194178595401 $$ y $$n=2 \times  463766072701502 ^2$$
Con el primo $$ 929 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 445287590031899120112974742773580 $$ y $$n=2 \times  14921253131555324 ^2$$
Con el primo $$ 937 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 489327069934033883336450834380380 $$ y $$n=2 \times  15641724168614434 ^2$$
Con el primo $$ 941 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 512799540702001548553970359454052 $$ y $$n=2 \times  16012487950065748 ^2$$
Con el primo $$ 947 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 549931518886929222404969758626840 $$ y $$n=2 \times  16582091528014932 ^2$$
Con el primo $$ 953 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 589491923469252915757933974826620 $$ y $$n=2 \times  17168167104691940 ^2$$
Con el primo $$ 967 $$ y $$\alpha = 1 $$ se suma $$n= 968 $$ y $$n=2 \times  22 ^2$$
Con el primo $$ 971 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 724200840684841845565050750517032 $$ y $$n=2 \times  19028936395458916 ^2$$
Con el primo $$ 977 $$ y $$\alpha = 10 $$ se suma $$n= 793214022767771541397334146747 $$ y $$n=2 \times  629767426423347 ^2$$
Con el primo $$ 983 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 828954562474346812860878774113680 $$ y $$n=2 \times  20358715117540532 ^2$$
Con el primo $$ 991 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 906251334763107672400140303212352 $$ y $$n=2 \times  21286748633399932 ^2$$
Con el primo $$ 997 $$ y $$\alpha = 11 $$ se suma $$n= 968461947693991834477277746093140 $$ y $$n=2 \times  22005248779484316 ^2$$

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No se cual es la idea tras esto y si de algún modo invalida el resto del planteo , pero puede ser una objeción que recibas ,la posibilidad de que sea el doble de un cuadrado perfecto existe.

[danizafa]

Hola cito parte del documento

observamos que es imposible que $$ \sigma(p^\alpha)$$ sea igual al doble de un cuadrado perfecto, ni que se
ajuste a la igualdad anterior con un M2 arbitrario.

Hola, Danizafa eso no es cierto o yo lo interpreto mal la frase

  $$\sigma(3^{66}) =46354731573948918542880962705293$$  que al dividirlo por $$2$$ y hacerle raíz cuadrada da  $$4814287671813397$$
y sería el primero de muchos que he encontrado



No se cual es la idea tras esto y si de algún modo invalida el resto del planteo , pero puede ser una objeción que recibas ,la posibilidad de que sea el doble de un cuadrado perfecto existe.

Hola Richard,
gracias por eso. Es un trabajo duro el que hiciste.

Pero el tema es que $$3^{66}$$ es un cuadrado perfecto. Por lo que si tomás esa potencia prima, la deberías incluir dentro de $$M^2$$.

No quise ahondar en la expresión que da Euler porque es engorroso, Descartes propone la forma:

$$N=p \cdot{M^2}$$

Y Euler va más allá, diciendo que debía ser:

$$N=p^{4k+1}\cdot{M^2}$$ con $$p=4n+1$$ primo. Acá hay una primera idea, solo uno de los números puede estar elevado a una potencia impar. Si más de un exponente es impar, habrá mas de un factor en el producto que sea par, lo que da lugar a más de una división entre 2. Por ejemplo: si hay 2 exponentes pares, $$\sigma(n)$$ es divisible por 4.

Esto es lo que permite que la función sigma tenga una única contribución par, todas las demás deben ser impares. Todas ellas, estás incluídas en el término $$M^2$$.

Entonces:

$$p$$: Número primo de la forma $$4n+1$$
$$M^2$$: producto de cuadrados perfectos, esto incluye a todos los primos elevados a un exponente par. Pues: $$a^{2b}=(a^{b})^2$$. Entonces todo número elevado a una potencia par, es un cuadrado perfecto.

La condición sobre $$p^{4k+1}$$ tiene que ver con el hecho de los exponentes que no cumplen esa forma siempre dan lugar.

Si vos intentas trabajar con este factor, vas a ver lo que probablemente Euler observó, si el exponente es 3, la suma de los divisores es divisible, al menos, por 4. Y esto se extiende también a la base. Las limitaciones acá son muy fuertes.


Pero luego hay otras limitaciones.

Por un lado el rango: Los factores no pueden ser arbitrariamente distantes, tené en cuenta que luego tenes que comparar una suma con un producto.

Por otro lado, que es en lo que quise centrar la demostración es que:

$$2n = 2\cdot{n}$$

Esto parece algo trivial, y quizás los es. Pero allí se cierra todo el misterio. $$2$$ y $$n$$ son coprimos, ya que $$n$$ es impar.

Luego, por los números de Bell podríamos calcular cuantas formas de escribir $$2n$$ como producto tenemos, esto nos cuenta todas las posibles agrupaciones de los factores primos.

Entonces, si $$2n$$ estás compuesto por $$2, p_1, p_2, p_3$$, podemos saber cuantas combinaciones distintas podemos usar para escribir ese número. Lo mismo podemos hacer con $$n$$.

Pero tené en cuenta que ninguna de esas combinaciones va a incluir un factor primo distinto a los que forman este número, y quizás es acá cuando cito al Teorema Fundamental de la Aritmética y me dicen que no tiene nada que ver, pero realmente si, si querés incluir un factor primo distinto estás escribiendo otro número.

Volviendo al ejemplo, el número de Bell nos dice cuántas particiones o formas de expresar productos tenemos:

$$B_4=15$$

Esto significa que hay 15 particiones posibles, o 15 formas de agrupar el conjunto de factores de $$2n$$ en conjuntos no vacíos.

Entonces, teniendo en cuenta que tiene un factor más que $$n$$, que es el $$2$$. Trataremos de expresarlo de una de las formas:

Si:

\( \sigma(n) = 2n\)

Entonces $$\sigma(n)$$ debe coincidir con una de las 15 maneras que puede expresarse $$2n$$. Pero si observamos, sabemos como es la manera que buscamos, tiene tantos subconjuntos como factores tiene $$n$$. Por lo tanto, podemos ver de cuantas maneras podemos expresarlo en 3 bloques multiplicativos, y acá usamos los números de Stirling de segundo orden:

$$S(4,3)=6$$

Ya sabemos que hay 6 posibles formas de hacerlo.

Pero si tenemos en cuenta que \( \sigma(p_i)>3\) para todo \( p_i>2\), sabemos que el dos no queda aislado en la expresión que buscamos, por lo tanto las formas de escribir $$2n$$ como un producto con 3 factores, se redujeron a 3. No importa acá si tenés 100 o 1000 factores, solo podés escribirlo de esa misma cantidad de formas.

Además como $$n$$ está (y debe estarlo) expresado como Producto primo, esto es aplicable a la función sigma, ya que de lo contrario pierde su propiedad multiplicativa, que solo aplica cuando los números en cuestión son coprimos.

Entonces:

\( \sigma(n)=2n\)

 \( \sigma(p_1)\cdot{\sigma(p_2)}\cdot{\sigma(p_3)}=2\cdot{n}\)

 \( \sigma(p_1)\cdot{\sigma(p_2)}\cdot{\sigma(p_3)}=2\cdot{p_1}\cdot{p_2}\cdot{p_3}\)

Ningun \( \sigma(p_i)=2\)

Además $$2$$ es indivisible en este momento, puesto que si quisieramos ponderarlo entre los otros factores, no obtendriamos un resultado entero. El único entero menor es el 1, pero 1 es el neutro multiplicativo, así que no podemos usarlo.

Entonces como ves, las formas de expresar $$2n$$ como un producto con la misma cantidad de subconjuntos de factores como factores primos de $$n$$, donde ninguno sea $$<3$$, es exactamente la cantidad de factores primos de $$n$$.

Como $$n$$ no puede expresarse usando ningún factor primo distinto de los de su factorización prima, y como 2 no puede distribuirse entre los factores, vemos claramente que tiene cumplirse una cadena de factores similar a la de los los números amigables, solo que teniendo en cuenta todos los divisores de cada factor primo.

Y el factor con exponente impar, que es el único cuyos divisores sumados dan un número par, debe sumar exactamente el doble del menor factor primo cuadrado.

Esta condición es extremadamente restrictiva.

además, el límite que te mencionaba:

Tengamos en cuenta los factores de $$n$$:

$$2<p_1<p_2<p_3<n<2n$$

Entonces:

$$2<\sigma(p_1),\sigma(p_2),\sigma(p_3)<2n$$

Y teniendo la limitación de esribir $$2n$$ como $$2\cdot{n}$$, podemos concluir que se tiene que cumplir esa cadena, además como $$sigma(p_i)>p_i$$, mientras menos factores tengas, más posibilidades tenes de encontrar que se cumpla. Pero vuelvo a decir, no vas a encontrar un número cuadrado que sume con sus divisores otro número cuadrado.

El que si tiene que cumplir lo del doble, es el factor con exponente impar, que como bien lo mostraste puede llegar a pasar. Pero creo que debes checar algo (supongo que te jugo mal la computadora):

$$\sigma(3^{66})=46354731573948918542880962705293$$ que es un número impar, por lo tanto no se como lo dividiste por 2 obteniendo como resultado un número entero.



$$4814287671813397^2=23177365786974458539118388679609$$

$$23177365786974458539118388679609\cdot{2}=46354731573948917078236777359218$$

$$\sigma(3^{66})\neq46354731573948917078236777359218$$

Los otros no me voy a fijar, son muy grandes.



Pero fijate en lo importante: Los factores que forman a $$2n$$ están condicionados a los de $$n$$. por lo tanto, los sigma de cada factor, debe corresponderse con alguno de los de $$n$$ mismo, siguiento el orden de menor a mayor... Sino no podés expresar $$2n$$, por lo tanto, la igualdad es imposible.

Agrego:

No se cual es la idea tras esto y si de algún modo invalida el resto del planteo , pero puede ser una objeción que recibas ,la posibilidad de que sea el doble de un cuadrado perfecto existe.

Lo bueno es que exista, de hecho, fijate que en todos los números perfectos pares (a excepción del 6):

$$\sigma(M_p)=2\cdot{a^2}$$

Es decir, no es que quiera decir que es imposible que pase... Es una condición necesaria que esto pase...

Si vamos a la forma resumida, con 2 factores, debería darse que:

$$\sigma(p^{4k+1})=2M^2$$

Por lo tanto:

$$\sigma(M^2)=p^{4k+1}$$

Esto se observa en todos los números perfectos pares.

Entonces, si tenés un factor cuyos divisores aportan el factor par, este debe estar ligado a otro factor, ya que si lo ligamos a si mismo, tendríamos un número perfecto.

Debe haber otro factor sigma que aporte el factor $$p^{4k+1}$$ si nos ponemos a tratar de encontrar la relación, llegariamos a la conclusión que debe ser el mayor factor dentro de $$M^2$$, y entonces, todos los demás deberían aportar el factor que les sigue en la cadena creciente.

No puede haber ningun factor, primo o compuesto, que no pueda factorizarse unicamente en estos factores primos.



Pero tenés razón... Escribí "observamos que es imposible..." y quizás esto trae un problema. Pero es que de verdad es imposible. El problema surge que muchos calculos los estudié con la forma $$p^{4k+1}$$ con $$p=4n+1$$, luego cuando redacte el artículo me fui por resumir muchas cosas, ya que más allá de que aprendí muchas cosas sobre números perfectos, función sigma y tau, divisores y un monton de cosas, no quería caer en lo del año pasado, que terminaba llendome por las ramas.



Por ejemplo, un número perfecto tiene índice de abundancia 2. esto es:

$$\sigma(n)/n=2$$

Luego, hay algunos números que tienen índice de abundancia:

$$\sigma(n)/n=3$$

Por ejemplo: 120, 672, 523776

Estos son los únicos 3 números con índice de abundancia 3 hasta $$10^7$$

Todos son pares, y además tienen muchísimos factores primos pequeños.

$$\sigma(120)=360$$

$$\sigma(672)=2016$$

$$\sigma(523776)=1571328$$

¿Qué tiene que ver esto con los números perfectos impares?

Si existiera un número perfecto impar $$n$$, entonces el número $$2n$$ tendría indice de abundancia 3.

Demostración:

Sea $$n$$ un número perfecto impar. Entonces $$\sigma(n)=2n$$:

Entonces analizamos el numero $$2n$$, como $$n$$ es impar, entonces $$2$$ y $$n$$ son coprimos, por lo tanto:

$$\sigma(2n)=\sigma(2)\cdot{\sigma(n)}$$

$$\sigma(2n)=3\cdot{2n}$$

$$\sigma(2n)=6n$$

Entonces, el índice de abundancia de $$2n$$ es:

$$\sigma(2n)/2n=6n/2n=3$$


Entonces ahí tenés una idea de donde podría aparecer un número perfecto impar. Solo buscá un número con índice de abundancia 3, si lo dividis por 2 y te da un número impar, este debería ser perfecto.

Saludos! Me voy a seguir yendo por las ramas.

Abrazo!

[Luis Fuentes]

Hola

 Tu intento de prueba no está bien.

 Escribes:

\( \sigma(n)=\displaystyle\prod_{i=1}^k\sigma(p_i^{a_i})=\displaystyle\prod_{i=1}^k\left(\dfrac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}\right) \)

 y luego dices que al igualarse a \( 2n \), éste tiene que descomponerse en \( k \) factores. Pero luego el conteo y discusión que haces de las formas de hacer esa descomposición está mal.

 Esos \( k \) factores podrían combinar diferentes factores primos, provinientes de diferentes \( \sigma(p_i^{a_i}) \)

 Por ejemplo si \( n=3^3\cdot 5 \) entonces:

\( \sigma(n)=\sigma(3^3)\sigma(5)=45\cdot 15=2^3\cdot 5\cdot 3\cdot 2=2^4\cdot 5\cdot 3 \)

 Y en realidad hay \( 5\cdot 2\cdot 2=20 \) formas distintas de expresarlo como producto de dos divisores. Y en esos dos divisores puden combinarse primos que vengan de \( \sigma(3^3) \) ó de \( \sigma(5) \)

 La afirmación que haces después sobre "particiones válidas" es difusa. No veo que se deduzca que necesariamente para algún factor:

\( \sigma(p_i ^{a_i})=2p_i^{a_i} \)

 A la hora de ponerte en ejemplos, ten en cuenta que nadie va a poder ponerte un ejemplo donde efectivamente haya un número perfecto impar (porque casi seguro que no los hay); entonces no se trata de que tu digas: ese ejemplo no vale por esto, y esto, y des una razón ad hoc para ese ejemplo concreto.

 Se trata de dar argumentos generales y precisos, concretos que permitan sustentar las afirmaciones que haces.

 De nuevo en la segunda parte cometes el mismo error o si prefieres supones algo que no está justificado o es gratuito.

 De:

\(  \sigma(n)=\sigma(p^\alpha)\sigma(M^2)=2p^{\alpha}M^2 \)

 Pareces deducir que necesariamente tendría que darse que:

\( \sigma(p^\alpha)=2M^2 \) ó \( \sigma(p^\alpha)=M^2 \)

 Pero a priori no tendría porque ser así. \( \sigma(p^\alpha) \) podría ser simplemente algún divisor de \( 2M^2 \).

 También afirmas que no es posible que "se ajuste" a la igualdad anterior. Pero eso es una afirmación imprecisa y no demostrada (de hecho es imposible demostrarla si antes no se precisa que se quiere decir  ). Y no valen indicios, o cosas que empíricamente parece muy difícil que ocurran.

Saludos.

[Richard R Richard]

Evidentemente sin tener en cuenta  a p=2 se tiene $$\sigma(p^{par})=impar\neq 2\cdot M^2$$ algo hice mal voy a revisar el sumatorio,  lo hice de 2 maneras  diferentes y al coincidir , posteé. Si invertí el tiempo en programar es porque estoy convencido de que la frase a secas no se cumple , por ejemplo  sencillo

$$\sigma(7^{1})=8=2\cdot 2^2$$

Se que la idea de fondo solo debe tener un primo solo a exponente impar, y esta muestra no ejemplifia para el caso pero sí  por la frase, así  que con tiempo reviso lo hecho.

Saludos

[danizafa]

Hola Luis, cómo estás??
Gracias por tratar de entenderme! Voy a tratar de explicar lo que hago respondiendo a tus ideas.

Primero te digo que el intento de demostración está bien.

Escribes:

\( \sigma(n)=\displaystyle\prod_{i=1}^k\sigma(p_i^{a_i})=\displaystyle\prod_{i=1}^k\left(\dfrac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}\right) \)

y luego dices que al igualarse a \( 2n \), éste tiene que descomponerse en \( k \) factores. Pero luego el conteo y discusión que haces de las formas de hacer esa descomposición está mal.

Esos \( k \) factores podrían combinar diferentes factores primos, provinientes de diferentes \( \sigma(p_i^{a_i}) \)

Por ejemplo si \( n=3^3\cdot 5 \) entonces:

\( \sigma(n)=\sigma(3^3)\sigma(5)=45\cdot 15=2^3\cdot 5\cdot 3\cdot 2=2^4\cdot 5\cdot 3 \)

No entiendo porque dices que el conteo y las formas de hacer la descomposición está mal. El cálculo de la cantidad de formas en que podés expresar $$2n$$ es exactamente la cantidad de factores de $$n$$. Ya que no lo podés expresar de manera que el 2 quede aislado debido a que $$\sigma(p_i)>2$$

Vos estás observando la descomposición de $$\sigma(n)$$, yo además de ello miro la descomposición de $$2n$$. Y es que si $$n$$ es un número perfecto, entonces $$\sigma(n)=2n$$. A partir de esta ecuación es que parte la idea: ¿De cuántas formas podemos expresar $$2n$$?, ¿y de cuántas formas podemos organizar como producto con tantos factores?

Sabemos que $$n$$ es impar, por lo tanto $$n$$ y $$2$$ son coprimos. Entonces $$2n$$ tiene un factor más que $$n$$, que es el $$2$$.

El 2 es indivisible en este contexto, porque tambien es primo y es menor que todos los demás. Entonces ningún factor divide a 2.

También sabemos que todos los factores de $$n$$ son impares, por lo tanto 2 no divide a ninguno de los otros factores.

$$n$$ solo puede expresarse como productos de diversas formas, pero solo con sus factores primos, no puede haber factores distintos.

Cuando escribis:

$$\sigma(n)=\sigma(a)\cdot{\sigma(b)}\cdot{\sigma(c)}$$

podés obtener cualquier número, eso no lo discuto. Pero si $$n$$ es perfecto, significa que esa expresión se acomoda a una de las expresiones en que podés expresar $$2n$$. Tené en cuenta que estas expresiones dadas por $$B_i$$ son las únicas en que un número puede escribirse como producto. Si no se acomoda a esto, es que los números no son el mismo.

Si incluís un factor primo que no pertence a $$n$$, ya no podés formar $$2n$$ lo que significa que la igualdad es imposible. Con lo que estarías confirmando que está bien la demostración.

Por ejemplo si \( n=3^3\cdot 5 \) entonces:

\( \sigma(n)=\sigma(3^3)\sigma(5)=45\cdot 15=2^3\cdot 5\cdot 3\cdot 2=2^4\cdot 5\cdot 3 \)

 Y en realidad hay \( 5\cdot 2\cdot 2=20 \) formas distintas de expresarlo como producto de dos divisores. Y en esos dos divisores puden combinarse primos que vengan de \( \sigma(3^3) \) ó de \( \sigma(5) \)

Esta parte la entiendo perfectamente, tomas a cada primo como un factor posible, entonces el número de Bell sería mucho mayor. Luego, analizas $$2n$$ y podés concluir lo mismo, y cuando calculas el Stirling de 2 orden, llegas a la misma conclusión, tenés $$k$$ formas de acomodar los factores, solo que $$k$$ ahora es cada factor separado sin importar cuantas veces se repita. Pero para que $$\sigma(n)$$ sea multiplicativa, los factores deben estar agrupados.

En tu ejemplo:

$$\sigma(3^3\cdot{5})=\sigma(3^3)\cdot{\sigma(5)}=40\cdot{6}=240$$

$$n=3^3\cdot{5}=27\cdot{5}=135$$

Claramente sabemos que no va a ser un número perfecto. Pero no podes calcular las sigma de cada 3 individualmente:

$$\sigma(3^3\cdot{5})=\sigma(3)\cdot{\sigma(3)}\cdot{\sigma(3)}\cdot{\sigma(5)}=4\cdot{4}\cdot{4}\cdot{6}=384$$

Ahora, es correcto que podés expresarlo de muchas maneras más si tomas a cada factor como una posibilidad distinta. En tu ejemplo:

$$3^3$$ podría expresarse de $$B_3=5$$ maneras distintas:

$$3^3$$ ; $$3\cdot{3}\cdot{3}$$ ; $$3^2\cdot{3}$$ ; $$3\cdot{3^2}$$ ; $$3\cdot{3^2}$$

Con lo que me pregunto: ¿Realmente son 5 maneras distintas? En realidad no, solo hay 3 maneras distintas:

si adicionas el 5, deberían ser 52 maneras, no 20 como estas poniendo, pero de nuevo ¿Realmente son 52?. De todas maneras la función sigma te obliga a agrupar las potencias. Con esto, sabes que que no podés tener factores menores a esas agrupaciones.

En tu ejemplo, creo que tratás de decomponer el resultado, pero no estoy seguro de lo que estás haciendo

\( \sigma(n)=\sigma(3^3)\sigma(5)=45\cdot 15=2^3\cdot 5\cdot 3\cdot 2=2^4\cdot 5\cdot 3 \)

$$\sigma(3^3)=1+3+9+27=40$$
$$\sigma(5)=1+5=6$$
$$\sigma(3^3\cdot{5})=\sigma(3^3)\cdot{\sigma(5)}=40\cdot{6}=240$$

$$240=2^4\cdot{3}\cdot{5}$$

Pero de nuevo, como dijiste no podés darme un ejemplo de número perfecto impar, por lo tanto, yo tampoco puedo mostrarte un número perfecto impar.

Lo que si sabemos es que si

$$n=p_1\cdot{p_2}\cdot{\ldots}\cdot{p_k}$$

Entonces

$$2n=2\cdot{p_1}\cdot{p_2}\cdot{\ldots}\cdot{p_k}$$

Por lo tanto, para armar $$2n$$ como producto, solo podés usar esa lista de factores primos, ninguno más y ninguno menos que los factores de:

$$n\cup{2}$$

Y como $$\sigma(p_i)$$ siempre es coprimo de $$p_i$$ tenés que encontrar una combinación que ocupe solo esos factores, trata de distribuirlos como quieras, pero matemáticamente es imposible.

Y veamos con tu ejemplo:

$$\sigma(3^3)\cdot{\sigma(5)}=40\cdot{6}=240$$

Lo factoricemos:

$$240=2^4\cdot{3}\cdot{5}$$

Tu número era:

$$n=3^3\cdot{5}$$

Y:

$$2n=2\cdot{3^3}\cdot{5}$$

Acá podés acomodar 1 factor $$2$$, un $$3$$ y el $$5$$.

Pero los otros factores son diferentes de los de $$2n$$, por lo tanto no puede ser igual.

$$\sigma(n)=\sigma(p^{4k+1})\cdot{\sigma(M^2)}$$

donde:

$$M^2=m_1^2\cdot{m_2^2}\cdot{\ldots}\cdot{m_k^2}$$

Entonces descompongamos así:

$$n=p^{4k+1}\cdot{m_1^2}\cdot{m_2^2}\cdot{\ldots}\cdot{m_k^2}$$

$$\sigma(n)=\sigma(p^{4k+1})\cdot{\sigma(m_1^2)}\cdot{\sigma(m_2^2)}\cdot{\sigma(\ldots)}\cdot{\sigma(m_k^2)}$$

Y $$2n=p^{4k+1}\cdot{m_1^2}\cdot{m_2^2}\cdot{\ldots}\cdot{m_k^2}\cdot{2}$$

Cada factor, con una sola excepción, en la ecuación de la función sigma debe ajustarse a uno de la expresión $$2n$$, la excepción es la que se iguala a $$2\cdot{m_x}$$. Para que:

$$\sigma(n)=2n$$

Todos los factores en la ecuación $$\sigma(n)=\ldots$$ deben ser los mismos factores que $$n\cup{2}$$, ordenados como gustes. Si tenés en esa ecuación un factor coprimo de $$2n$$, perdiste, la igualdad no se cumple. Y dado que $$\sigma(p)$$ y $$p$$ son coprimos, es una condición necesaria que se cumpla esa cadena que yo digo.

Pero a priori no tendría porque ser así. \( \sigma(p^\alpha) \) podría ser simplemente algún divisor de \( 2M^2 \).

Y, ¿cuáles serían los divisores de \( 2M^2 \)? 

Cuando puse eso, dije vamos al caso resumido, en que \( 2M^2 \) tiene un solo factor primo. Pero la relación es necesaria, existe una única expresión de $$2n$$ como factorización prima, esto no lo digo yo, creo que sale de algo que es un teorema o algo así. Entonces si querés formar un número como producto, tenés que usar los mismos factores primos y en la misma cantidad. Por lo que, al acomodarlo como productos de las funciones $$\sigma()$$ si no lográs la igualdad, estas confirmando lo que digo.


Puede que haya usado términos que no fueron adecuados:
"particiones válidas" como formas en que puedo expresar $$2n$$ compatible con $$\sigma(n)$$.
"se ajuste a la igualdad anterior". Pido perdón, creí que era claro, si no es igual es distinto...

[danizafa]

Evidentemente sin tener en cuenta  a p=2 se tiene $$\sigma(p^{par})=impar\neq 2\cdot M^2$$ algo hice mal voy a revisar el sumatorio,  lo hice de 2 maneras  diferentes y al coincidir , posteé. Si invertí el tiempo en programar es porque estoy convencido de que la frase a secas no se cumple , por ejemplo  sencillo

$$\sigma(7^{1})=8=2\cdot 2^2$$

Se que la idea de fondo solo debe tener un primo solo a exponente impar, y esta muestra no ejemplifia para el caso pero sí  por la frase, así  que con tiempo reviso lo hecho.

Saludos

Si Richard, con eso me dejaste mal. Arruiné todo por agregar eso que ni siquiera lo iba a poner. Además yo mismo incluí el 7, solo que no pensaba que el exponente sea 1, pues una de las condiciones que se estudia es que ninguna potencia esta elevada a la 1.

En los primos de Mersenne de hecho se cumple. Y en un montón de primos a la 1, tal cual listaste...

Pero los números que pusiste elevados, ninguno de ellos da lo que dicen. Por ejemplo tenés uno en la lista que termina con 8, y su cuadrado con 00.

Me gustan las herramientas que veo que te programas, yo hago lo mismo.

Ahora hice una para buscar los factores de los números de Mersenne grandes. Calcula los factores de números inmensos. Por ejemplo, estos son los 3 más altos que tengo:

$$2^{513986939}=1027973879\cdot{xxx}$$
$$2^{513986411}=1027972823\cdot{xxx}$$
$$2^{513985943}=1027971887\cdot{xxx}$$

Pero bueno, la dificultad que tiene, es que yo paso números primos como filtro y me calcula, según un parámetro, el factor primo, y el exponente de la potencia.

Le voy pasando filtros hasta $$857318729$$, me encantaría que me dé los factores de todos seguidos, ya hubiera podido calcular un primo de mersenne...

[Luis Fuentes]

Hola

En tu ejemplo, creo que tratás de decomponer el resultado, pero no estoy seguro de lo que estás haciendo

\( \sigma(n)=\sigma(3^3)\sigma(5)=45\cdot 15=2^3\cdot 5\cdot 3\cdot 2=2^4\cdot 5\cdot 3 \)

$$\sigma(3^3)=1+3+9+27=40$$
$$\sigma(5)=1+5=6$$
$$\sigma(3^3\cdot{5})=\sigma(3^3)\cdot{\sigma(5)}=40\cdot{6}=240$$

Es muy sencillo que digo. \( 240 \) como producto de dos factores puede expresase como:

\( 1\cdot 240 \)
\( 2\cdot 120 \)
\( 3\cdot 80 \)
\( 4\cdot 60 \)
\( 5\cdot 48 \)
\( 6\cdot 60 \)
\( 8\cdot 30 \)
\( 10\cdot 24 \)
\( 12\cdot 20 \)
\( 15\cdot 16 \)

DIEZ formas si no importa el orden y \( 20 \) (que es lo que había puesto) si importase el orden.

Tu pones que debería de ser \( k(k+1)/2=2(2+1)/2=3 \) formas.

Lo que si sabemos es que si

$$n=p_1\cdot{p_2}\cdot{\ldots}\cdot{p_k}$$

Pero ahí no se si está suponiendo que los exponentes de los primos son uno: cosa que no tiene porque ser así.

O cuando escribes \( p_1 \) te refieres en realidad a \( p_1^{a_1} \) y así con lo demás. Y en ese caso la división de  todo eso en producto de \( k \) factores puede hacerse de muchas más formas combinando en cada factor diferentes primos.

$$\sigma(n)=\sigma(p^{4k+1})\cdot{\sigma(M^2)}$$

donde:

$$M^2=m_1^2\cdot{m_2^2}\cdot{\ldots}\cdot{m_k^2}$$

De nuevo aquí esos \( m_i \) pueden ser potencias de primos. Yo que se \( m_1=3^5 \) por decir algo.

Entonces de nuevo cuando dices esto:

Entonces descompongamos así:

$$n=p^{4k+1}\cdot{m_1^2}\cdot{m_2^2}\cdot{\ldots}\cdot{m_k^2}$$

$$\sigma(n)=\sigma(p^{4k+1})\cdot{\sigma(m_1^2)}\cdot{\sigma(m_2^2)}\cdot{\sigma(\ldots)}\cdot{\sigma(m_k^2)}$$

Y $$2n=p^{4k+1}\cdot{m_1^2}\cdot{m_2^2}\cdot{\ldots}\cdot{m_k^2}\cdot{2}$$

Cada factor, con una sola excepción, en la ecuación de la función sigma debe ajustarse a uno de la expresión $$2n$$, la excepción es la que se iguala a $$2\cdot{m_x}$$. Para que:

De nuevo parerces asociar necesariamente cada factor (que has escrito) de:

$$2n=p^{4k+1}\cdot{m_1^2}\cdot{m_2^2}\cdot{\ldots}\cdot{m_k^2}\cdot{2}$$

a uno de:

\( \sigma(p^{4k+1})\cdot{\sigma(m_1^2)}\cdot{\sigma(m_2^2)}\cdot{\sigma(\ldots)}\cdot{\sigma(m_k^2)} \)

Pero eso no tiene porque ser así. Unos factores pueden coger trocitos de otros.

En otras palabras es como si al escribir (lo pongo para dos factores pero tu lo extiendes aun encima a más).

\( a\cdot b=c\cdot d \)

pensases que necesariamente \( a=c \) ó \( a=d \) y \( b=c \) ó \( b=d \) y no tiene porque ser así. Por ejemplo:

\( 12\cdot 5=10\cdot 6 \)

Puede que haya usado términos que no fueron adecuados:
"particiones válidas" como formas en que puedo expresar $$2n$$ compatible con $$\sigma(n)$$.
"se ajuste a la igualdad anterior". Pido perdón, creí que era claro, si no es igual es distinto...

No se trata de que pidas perdón ni de que los términos no sean adecuados.

Tienen que ser precisos, de significado inequívoco, y rigurosamente demostrados.

Saludos.

P.D. Tengo tiempo bastante limitado estos días y no puedo prolongar mucho este debate. Desde mi punto de vista no hay ni una amago de demostración en nada de lo que haces. Puedes pensar que estoy equivocado. Fácil: escríbelo en inglés y mándalo a una revista. Es un documento muy corto que se revisará rápido: si estuviese bien lo publicarían encantados.

[danizafa]

P.D. Tengo tiempo bastante limitado estos días y no puedo prolongar mucho este debate. Desde mi punto de vista no hay ni una amago de demostración en nada de lo que haces. Puedes pensar que estoy equivocado. Fácil: escríbelo en inglés y mándalo a una revista. Es un documento muy corto que se revisará rápido: si estuviese bien lo publicarían encantados.

Voy a tratar, con las observaciones que me hicieron, trataré de mejorarlo.

$$12\cdot{5}=10\cdot{6}

$$60=2^2\cdot{3}\cdot{5}$$

Pero los trocitos que dices deben ser combinaciones de esos factores. Pero sabes que $$\sigma(2^2)>2^2$$; $$\sigma(3)=2^2$$; $$\sigma(5)=6$$

si vos quisieras que ese producto sea 120, por decir algo, Necesitarías que $$\sigma(2^2)=5$$, pues no podés usar factores distintos.

La idea es mandar a alguna revista, pero bueno, la ansiedad me pudo en cierto modo. Gracias de nuevo. Respeto tu opinión acerca de que ni siquiera hay un amago de demostración, y eso me sirve en cierto modo: Sé lo que quiero decir, no se si lo estoy diciendo bien, por lo tanto tu crítica me ayuda muchísimo.

[Richard R Richard]

Si Richard, con eso me dejaste mal. Arruiné todo por agregar eso que ni siquiera lo iba a poner. Además yo mismo incluí el 7, solo que no pensaba que el exponente sea 1, pues una de las condiciones que se estudia es que ninguna potencia esta elevada a la 1.

A veces   con números pequeños el programa verifica y funciona y con grandes me hace cualquier sandez, algo que modifico y creo que no va a pasar nada , luego si pasa con números grandes, verificar es difícil, pero la verdad que a ojo no revise nada. Por la tarde con mas tiempo veré encuentro el entuerto.


Respecto a tu trabajo no le entre todavía de lleno hasta el final, lo leí, pero pco análisis hice, solo vi eso que me chirrió y me puse a comprobarlo.


Edito

Spoiler

Ahora si me verifica siempre para los primosa de exponente 1
Con el primo $$ 7 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 8 $$ y $$n=2 x  2 ^2$$
Con el primo $$ 17 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 18 $$ y $$n=2 x  3 ^2$$
Con el primo $$ 31 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 32 $$ y $$n=2 x  4 ^2$$
Con el primo $$ 71 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 72 $$ y $$n=2 x  6 ^2$$
Con el primo $$ 97 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 98 $$ y $$n=2 x  7 ^2$$
Con el primo $$ 127 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 128 $$ y $$n=2 x  8 ^2$$
Con el primo $$ 199 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 200 $$ y $$n=2 x  10 ^2$$
Con el primo $$ 241 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 242 $$ y $$n=2 x  11 ^2$$
Con el primo $$ 337 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 338 $$ y $$n=2 x  13 ^2$$
Con el primo $$ 449 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 450 $$ y $$n=2 x  15 ^2$$
Con el primo $$ 577 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 578 $$ y $$n=2 x  17 ^2$$
Con el primo $$ 647 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 648 $$ y $$n=2 x  18 ^2$$
Con el primo $$ 881 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 882 $$ y $$n=2 x  21 ^2$$
Con el primo $$ 967 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 968 $$ y $$n=2 x  22 ^2$$
Con el primo $$ 1151 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 1152 $$ y $$n=2 x  24 ^2$$
Con el primo $$ 1249 $$ y $$alpha = 1 $$ se suma $$n= 1250 $$ y $$n=2 x  25 ^2$$

[cerrar]

Saludos