Hola, danizafa no tenía nada interesante en que colaborar sobre el tema, me he puesto un poco las pilas y analizar de nuevo este tema de los números perfectos
Spoiler
Sabemos que para un numero perfecto de debe cumplir $$\sigma(N)=2N$$ Ec1
y si para un perfecto sea impar se tiene que que ser de la forma $$N=p_1^{4k+1}M^2$$ con $$M$$ una productoria de primos diferentes de $$p_1$$ y de 2 claro. Cada uno de esos $$p_i$$ que componen $$M$$ debe estar elevado a un exponente mayor o igual a 1 por lo que N su puede expresar como $$N=p_1^{4k+1}\left[\prod\limits_{i=2}^k p_i^{e_i}\right]^2=p_1^{4k+1}\prod\limits_{i=2}^k p_i^{2e_i}$$
por otro lado la suma de sus múltiplos la obtenemos aplicando las propiedades de la función divisores de Descartes probada por Euler , como cada primo es coprimo con los demás
$$\sigma(N)=\sigma(p_1^{4k+1}\prod\limits_{i=2}^k p_i^{2e_i})=\sigma(p_1^{4k+1})\prod\limits_{i=2}^k\sigma(p_i^{2e_i})$$
podemos expresar la Ec1 como
$$\sigma(p_1^{4k+1})\prod\limits_{i=2}^k\sigma(p_i^{2e_i})=2\left(p_1^{4k+1}\prod\limits_{i=2}^k p_i^{2e_i}\right)$$
lo que nos permite algebraicamente trabajar la expresión pasando de terminos y obtener
$$\dfrac{\sigma(p_1^{4k+1})}{p_1^{4k+1}}\cdot \prod\limits_{i=2}^k \dfrac{\sigma(p_i^{2e_i})}{p_i^{2e_i}}=2$$
podemos profundizar en el desarrollo de cada función sigma
$$\dfrac{1}{p_1-1}\cdot\left(\sum\limits_{j=0}^{4k+1} p_1^{-j}\right)\cdot$$ $$ \prod\limits_{i=2}^k \left(\dfrac{1}{p_i-1}\cdot \left(\sum\limits_{j_i=0}^{2e_i} p_i^{-j_i}\right)\right)=2$$
Sabiendo que cada factor cumple
$$\lim\limits_{e_i\to\infty}\left(\sum\limits_{j=0}^{2e_i} p_i^{-j}\right) =1+\dfrac{1}{p_i-1}=\dfrac{p_i}{p_i-1}>1$$
y que cuando el exponente es mínimo $$e_i=1$$ dicho factor es $$(1+\dfrac{1}{p_i}+\dfrac{1}{p_i^2})>1$$
pero que siempre se puede demostrar que $$(1+\dfrac{1}{p_i}+\dfrac{1}{p_i^2})>\dfrac{p_i}{p_i-1}$$ es decir que con exponentes mas bajos cada factor contribuye mas a alcanzar a 2
esto es que algo $$(>1)\cdot(>1)\cdot(>1)\cdot...$$ eventualmente puede ser mayor a 2
Eligiendo cuidadosamente $$p_1$$ y los primeros $$p_i$$ siempre es posible estar por debajo de 2 y seguir incorporando primos , pero se ha demostrado que cualquier combinación de primos 3, 5 y 7 ya supera a 2 por lo tanto ningún número que contenga esos tres factores primos puede ser un número perfecto es decir ningún número múltiplo de $$(3.5.7=105)$$ , el mismo modo se pude jugar con los exponentes de otros primos a excluir otros múltiplos.
Con esta especie de limbo entre que valores de $$p_i$$ se puede estar por encima o por debajo de 2, he creado un algoritmo que busque tales combinaciones.
Y como siempre la respuesta es esquiva, cada chequeo elimina una combinación, excluye algunos candidatos, pero hay infinitos, así que no es más que otra forma refinada de prueba y error.
Hola Richard, si, la respuesta es muy esquiva analizandola desde esta perspectiva. Mirando el índice de abundancia como lo estás proponiendo podemos llegar a algunas conclusiones:
$$I(p_i^n)=\dfrac{\sigma(p_i^n)}{p_i^n}=\dfrac{1}{p_i^n}\cdot{(1+p_i+p_i^2+\ldots+p_i^n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{1}{p_i^k}$$
Tal como expresaste, cuando n tiende a infinito llegamos a:
$$\dfrac{p_i}{p_i-1}$$
Esto es interesante, porque acá podemos que esto representa una cota superior para un primo. Por ejemplo:
$$I(5)=\dfrac{\sigma(5)}{5}=\dfrac{6}{5}=1.2$$
Pero si 5 lo elevamos a la n, y n es cada vez más grande:
$$I(5^n)=\dfrac{\sigma(5^n)}{5^n}=\dfrac{p}{p-1}=\dfrac{5}{5-1}=\dfrac{5}{4}=1.25$$
Esto es
$$\dfrac{p+1}{p}<I(p^n)<\dfrac{p}{p-1}$$
Ahora pasa algo curioso con el 2 y los primos de Mersenne:
Para las potencias de dos siempre se va a dar que:
$$I(2^n)=\dfrac{2^{n+1}-1}{2^n}$$
Y para los primos de Mersenne, aplicaría los mismo que vimos para todos los primos:
$$\dfrac{2^{n}}{2^n-1}<I(2^n-1)<\dfrac{2^{n}-1}{2^n-2}$$
En los números perfectos pares se da que:
$$I(2^{p-1})\cdot{I(2^p-1)}=\dfrac{2^{p}-1}{2^{p-1}}\cdot{\dfrac{2^{p}}{2^p-1}}=2$$
Acá podemos operar de 2 maneras, eliminamos el $$-1$$ **de la potencia** del denominador o bajamos el exponente $$p$$ del numerador, da lo mismo:
$$\dfrac{2^{p}-1}{2^{p-1}}\cdot{\dfrac{2^{p}}{2^p-1}}\cdot{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{2}$$
$$\dfrac{2^{p}-1}{2^{p}}\cdot{\dfrac{2^{p}}{2^p-1}}=1$$
o
$$\dfrac{2^{p}-1}{2^{p-1}}\cdot{\dfrac{2^{p-1}}{2^p-1}}=1$$
Acá se ve clara la relación:
$$\dfrac{\sigma(2^{p-1})}{2^{p-1}}=\dfrac{2^{p}-1}{2^{p-1}}$$
$$\dfrac{\sigma(2^{p}-1)}{2^{p}-1}=\dfrac{2^{p}}{2^{p}-1}=2\cdot{\dfrac{2^{p-1}}{2^{p}-1}}$$
De aquí sale mi idea de que hay una relación en todos los números perfectos pares, donde *$$\sigma(M_p)=2\cdot{2^{p-1}}$$, mientras que $$\sigma(2^{p-1})=M_p$$
Ahora, volviendo a la contribución que vos decis, esta debe ser exacta,
las contribuciones de las potencias de 2 son:
$$\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{4};\dfrac{15}{8};\dfrac{31}{16};\dfrac{63}{32};\dfrac{127}{64};\ldots$$
Los números de Mersenne (bajo el absurdo de que todos fueran primos):
$$\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{7};\dfrac{16}{15};\dfrac{32}{31};\dfrac{64}{63};\dfrac{128}{127};\ldots$$
Y al realizar los productos, se cancelarian la suma de divisores de la potencia de 2 en el numerador, con el número de Mersenne en el denominador. Y tendríamos:
$$\dfrac{4}{2};\dfrac{8}{4};\dfrac{16}{8};\dfrac{32}{16};\dfrac{64}{32};\dfrac{128}{64};\ldots$$
Y todos resultarían en 2. Y es que en el límite, el índice de abundancia es:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(I(2^n)\right) =2$$ y $$\lim\limits_{n\to\infty}\left(I(p^n)\right) =1$$
Aunque el producto debe ser exacto.
Por ejemplo: $$I(2^2)=1.75$$ mientras que $$I(7)=1.142857...$$, y si multiplicamos obtenemos 2.
Saludos!
*Corrijo: $$\sigma(M_p)=2^{p-1}$$, quise poner $$\sigma(M_p)=2\cdot{2^{p-1}}$$ (modificado arriba)
