[manooooh]

Hola!

Repasando un poco las integrales definidas, el ejercicio pide determinar el área de la región limitada por las curvas \( y=x^2+3 \) e \( y=-x^2+3 \) para \( x\in[-1,2] \).

Es un ejercicio rutinario.

Sean \( f(x)=x^2+3 \) y \( g(x)=-x^2+3 \)

Hallemos sus puntos de intersección:

\( f(x)=g(x)\implies x=0 \).

Ahora notemos que ambas funciones son continuas, luego podemos armar una tabla como la que sigue:

\(
\begin{array}{c|c|c}
(-1,0)&0&(0,2)\\\hline
f(-1/2)>g(-1/2)&\text{X}&f(1)>g(1)
\end{array}
 \)

Entonces en esos intervalos \( f \) es el techo y \( g \) el piso.

Por lo tanto:

\[ A=\int_{-1}^2(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^2(2x^2)\,\mathrm{d}x\implies\boxed{A=6}. \]

Así es cómo lo plantea el solucionario, pero al graficar las funciones veo que sucede que en la parte de la derecha hay una porción que está por debajo del eje \( x \):



Por lo que esa zona debería restarse, pero ¿por qué no se resta?

Gracias!!
Saludos

[Richard R Richard]

Hola, manooooh , el área que calculas es la definida entre las dos curvas $$f(x)-g(x)$$, nada tiene que ver el cero,  si fuera así es porque así habrías definido distinto los límites de integración, es decir habrías definido una integral de $$f(x)-g(x)$$  entre $$-1$$ y $$\sqrt3$$ , mas otra entre $$\sqrt3$$ y 2 de $$f(x)-0$$ 

Sean \( f(x)=x^2+3 \) y \( g(x)=-x^2+3 \)

Solo se restan las áreas cuando la curva inferior supera en alguna parte del dominio a la curva superior es decir por ejemplo si reemplazas $$g(x)$$ por $$h(x)$$ definida como $$h(x)=g(x)+Cte$$ , donde $$Cte>0$$ hay intersección en dos puntos de las curva y el aporte del área encerrada allí te resultara negativa,verás que puedes dividir la integral en tres partes, dos serán positivas y la que tiene las curvas invertidas en orden te resultará negativa.

Ejemplo
Plantea \( f(x)=x^2+3 \) y \( h(x)=-x^2+4 \)  es decir $$Cte=1$$ y observa que se intersectan las curva en  $$x_{i1}=-1/\color{red}\sqrt2\color{black}$$ y $$x_{i2}=1/\color{red}\sqrt2\color{black}$$,  si partes entres la integral  una entre $$(-1,-1/\color{red}\sqrt2\color{black} )$$ , luego entre  $$(-1/\color{red}\sqrt2\color{black},1/\color{red}\sqrt2\color{black})$$ y también $$(1/\color{red}\sqrt2\color{black}, 2)$$ , verás que la segunda resuelta negativa.  La integral total es la suma de las tres integrales. Solo  habrá aporte positivo al área cuando $$f(x)>h(x)$$

[manooooh]

Hola

el área que calculas es la definida entre las dos curvas $$f(x)-g(x)$$,

Entiendo.

nada tiene que ver el cero,  si fuera así es porque así habrías definido los límites de integración, es decir habrías definido una integral de $$f(x)-g(x)$$  entre $$-1$$ y $$\sqrt3$$ , mas otra entre $$\sqrt3$$ y 2 de $$f(x)-0$$ 

No entiendo:

1) El punto de intersección nos ayuda a saber analíticamente si puede haber cambio de las funciones techo y piso, porque antes o después de ese punto pueden haberse cambiado. ¿Estás de acuerdo con esto?

2) Si te refieres a que puse "X" en esa parte de la tabla, sí, podría haberlo sacado. Es decir haber trabajado sólo con los dos intervalos.

3) No entiendo de dónde sale \( \sqrt3 \).

Plantea \( f(x)=x^2+3 \) y \( h(x)=-x^2+4 \)  es decir $$Cte=1$$ y observa que se intersectan las curva en  $$x_{i1}=-1/2$$ y $$x_{i2}=1/2$$, si partes entres la integral  una entre $$(-1,-1/2 )$$ , luego entre  $$(-1/2,1/2)$$ y también $$(1/2, 2)$$ , verás que la segunda resuelta negativa.  La integral total es la suma de las tres integrales. Solo  habrá aporte positivo al área cuando $$f(x)>h(x)$$

Creo que serían $$x_{i1}=-1/\sqrt2$$ y $$x_{i2}=1/\sqrt2$$. En ese caso el área quedaría:

\[ A=\color{red}\int_{-1}^{-1/\sqrt2}(f(x)-\color{orange}\mathbf{h}\color{red}(x))\,\mathrm dx\color{black}+\color{blue}\int_{-1/\sqrt2}^{1/\sqrt2}(\color{orange}\mathbf{h}\color{blue}(x)-f(x))\,\mathrm dx\color{black}+\color{green}\int_{1/\sqrt2}^2(f(x)-\color{orange}\mathbf{h}\color{green}(x))\,\mathrm dx\color{black}. \]

¿Lo véis bien?

Saludos

P.D. Me di cuenta que calcular \( f(x)=g(x) \) es equivalente a hallar los ceros de \( f(x)-g(x) \), por lo que aquí entra en juego el orden de multiplicidad de las raíces, por lo que quisiera consultar si en realidad el análisis del cambio de "techo" y "piso" no sería necesario calcular un punto en cada intervalo. Si no que sólo se calcula para el primer intervalo, luego si el orden de multiplicidad de la siguiente raíz es par no habrá cambio, mientras que si es impar sí; y así sucesivamente para cada intervalo. Es más directo hacerlo de esta manera. ¿Es correcto?

CORREGIDO

[Richard R Richard]

1) El punto de intersección nos ayuda a saber analíticamente si puede haber cambio de las funciones techo y piso, porque antes o después de ese punto pueden haberse cambiado. ¿Estás de acuerdo con esto?

  Si de acuerdo

2) Si te refieres a que puse "X" en esa parte de la tabla, sí, podría haberlo sacado. Es decir haber trabajado sólo con los dos intervalos.

x=0 es un solo punto no afecta al resultado de la integral

3) No entiendo de dónde sale \( \sqrt3 \).

Es el valor de $$x$$ cuando $$g(x)=0$$ sabiendo que $$x>0$$

Creo que serían $$x_{i1}=-1/\sqrt2$$ y $$x_{i2}=1/\sqrt2$$. En ese caso el área quedaría:

\[ A=\color{red}\int_{-1}^{-1/\sqrt2}(f(x)-g(x))\,\mathrm dx\color{black}+\color{blue}\int_{-1/\sqrt2}^{1/\sqrt2}(g(x)-f(x))\,\mathrm dx\color{black}+\color{green}\int_{1/\sqrt2}^2(f(x)-g(x))\,\mathrm dx. \]

Tienes razón mire mal wolfram esos son los punto de intersección , calcula la integral en azul y  verás que el resultado es negativo,  esa área resta al total   

P.D. Me di cuenta que calcular \( f(x)=g(x) \) es equivalente a hallar los ceros de \( f(x)-g(x) \),

Claro

por lo que aquí entra en juego el orden de multiplicidad de las raíces, por lo que quisiera consultar si en realidad el análisis del cambio de "techo" y "piso" no sería necesario calcular un punto en cada intervalo. Si no que sólo se calcula para el primer intervalo, luego si el orden de multiplicidad de la siguiente raíz es par no habrá cambio, mientras que si es impar sí; y así sucesivamente para cada intervalo. Es más directo hacerlo de esta manera. ¿Es correcto?

No estoy tan seguro en el caso que haya raíces dobles como es el asunto, pero quizá u caso mas simple te de una idea mejor

Resuelve el mismo problema con
$$f(x)=\sin (x) +2$$ 
$$g(x)=1$$ en el intervalo $$[0,2\pi]$$

y luego con

$$f(x)=\sin (x) +1$$ 
$$g(x)=1$$ en el intervalo $$[0,2\pi]$$

Allí verás que lo que suma o resta área, es la posición de la curva piso respecto de la curva techo o viceversa, y no el eje de abscisas como marcaste en tu gráfico. Lo que sucede es que cuando aprendes a calcular áreas lo haces debajo de una única  función  pero en realidad lo haces con la interseccion de la curva $$g(x)=y=0$$ en un determinado intervalo.

[manooooh]

Hola

Tienes razón mire mal wolfram esos son los punto de intersección , calcula la integral en azul y  verás que el resultado es negativo,  esa área resta al total   

¡No! Justamente hacemos el esquema para que el área no nos quede negativa.

Creo que tenemos una confusión y es que yo llamé \( g(x) \) cuando en realidad la que estamos analizando es \( h(x)=-x^2+4 \), por lo que la integral azul es:

\[ \int_{-1/\sqrt2}^{1/\sqrt2}(g(x)-f(x))\,\mathrm dx=\int_{-1/\sqrt2}^{1/\sqrt2}(-x^2+4-x^2-3)\,\mathrm dx=\int_{-1/\sqrt2}^{1/\sqrt2}(-2x^2+1)\,\mathrm dx=\dots=\frac{2\sqrt2}{3}. \]

Ya lo corregí en mi mensaje.

Allí verás que lo que suma o resta área, es la posición de la curva piso respecto de la curva techo o viceversa, y no el eje de abscisas como marcaste en tu gráfico. Lo que sucede es que cuando aprendes a calcular áreas lo haces debajo de una única  función  pero en realidad lo haces con la interseccion de la curva $$g(x)=y=0$$ en un determinado intervalo.

Ahh, o sea pasa lo mismo con:

\( p(x)=x^2-2 \)
\( q(x)=-x^2 \)

en \( [-1,1] \)

Allí la región se encuentra por debajo del eje \( x \), pero si nos piden el ÁREA entonces hacemos "techo menos piso" y nos queda la integral positiva, ¿es eso?

Saludos

[Richard R Richard]

Ahh, o sea pasa lo mismo con:

\( p(x)=x^2-2 \)
\( q(x)=-x^2 \)

en \( [-1,1] \)

Allí la región se encuentra por debajo del eje \( x \), pero si nos piden el ÁREA entonces hacemos "techo menos piso" y nos queda la integral positiva, ¿es eso?

Saludos

Claro, sucede lo mismo, cuando piden el área encerrada, tienes que sumarlos, si en alguna parte del intervalo el piso es superior al techo debes invertir el signo para que la integral sume. Lo mismo es invertir los límites de integración en ese intervalo.


Ahora bien en algunos casos sigue siendo  de utililidad no invertir el signo y que la integral en ese intervalo reste del total. Ej al calcular el valor promedio de una funcion sinusoide, pero por lo visto ya te dirán cuando lo usaras y será bastante  intuitivo.

[ani_pascual]

Hola:

...
Por lo que esa zona debería restarse, pero ¿por qué no se resta?
...

Por complementar...
Observa que en \( [-1,\sqrt{3}] \) es \( 0\leq g\leq f \) con lo que ahí, el área encerrada entre las gráficas de ambas funciones es claramente \( A_1=\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}f(x)-g(x)\,dx \).
En \( [\sqrt{3},2] \), el área se puede expresar como \( A_2=\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2f(x)\,dx +\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2-g(x)\,dx =\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2f(x)-g(x)\,dx \). En definitiva, el área total es \( A=A_1+A_2=\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}f(x)-g(x)\,dx +\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2f(x)-g(x)\,dx =\\\displaystyle\int_{-1}^2f(x)-g(x)\,dx  \)
Saludos

[manooooh]

Hola, gracias ani_pascual!

Por complementar...
Observa que en \( [-1,\sqrt{3}] \) es \( 0\leq g\leq f \) con lo que ahí, el área encerrada entre las gráficas de ambas funciones es claramente \( A_1=\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}f(x)-g(x)\,dx \).
En \( [\sqrt{3},2] \), el área se puede expresar como \( A_2=\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2f(x)\,dx +\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2-g(x)\,dx =\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2f(x)-g(x)\,dx \). En definitiva, el área total es \( A=A_1+A_2=\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}f(x)-g(x)\,dx +\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2f(x)-g(x)\,dx =\\\displaystyle\int_{-1}^2f(x)-g(x)\,dx  \)

Claro, mi duda con \( A_2 \) es si ahora el área a calcular no es:



En ese caso el techo es \( y=0 \) y el piso \( y=g(x) \):

\[ A_2=\int_{\sqrt3}^2(0-g(x))\,\mathrm{d}x=2\sqrt3-\frac{10}3\approx0.1308 \]

El área total supongo que dará distinto. Agrego: sí, da distinto:

\[ A=\int_{-1}^{\sqrt3}(f(x)-g(x))\,\mathrm{dx}+\int_{\sqrt3}^2(0-g(x))\,\mathrm{d}x=\left(\frac23+2\sqrt3\right)+\left(2\sqrt3-\frac{10}3\right)\approx10.9\neq6. \]

¿¿Entonces por qué en \( x\in[\sqrt3,2] \) mi "techo" (\( y=0 \)) es distinto al tuyo (\( y=f(x) \))??

Saludos

EDITADO

[Richard R Richard]

\[ A=\int_{-1}^2(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^2(2x^2)\,\mathrm{d}x\implies\boxed{A=6}. \]

Hola, el resultado es correcto.

Si $$A_1$$ es el área por encima del 0 y $$A_2$$ es el área debajo del cero, el área total es $$A=A_1+A_2$$

En ese caso $$A_1=\int_{-1}^{\sqrt3}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x + \int_{\sqrt3}^2(f(x)-0)\,\mathrm{d}x$$

y $$A_2=\int_{\sqrt3}^2(0-g(x))\,\mathrm{d}x$$


recuerda estos tips

• $$\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x-\int\limits_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x$$
• Si  $$f(x)>h(x)>g(x) \forall x\in[a,b]$$ entonces  $$\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int\limits_{a}^{b}(f(x)-h(x))\,\mathrm{d}x+\int\limits_{a}^{b}(h(x)-g(x))\,\mathrm{d}x$$  presta especial atención a que $$h(x)$$ puede ser por ejemplo $$h(x)=0$$ , pero no por eso la segunda área será negativa ,   un área es negativa cuando recorres el intervalo en sentido inverso o cuando la función piso es mayor que la función techo, es decir

                $$\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=-\int\limits_{b}^{a}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=-\int\limits_{a}^{b}(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x$$

• Además como una integral es un sumatorio siempre la puedes dividir en diferentes intervalos  según tu conveniencia y luego sumar apelando a la propiedad asociativa de la suma

               si $$a<c<b$$ entonces $$\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int\limits_{a}^{c}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x+\int\limits_{c}^{b}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x$$

Por eso puedes hacer 

$$A=A_1=A_2=\int_{-1}^{\sqrt3}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x + \int_{\sqrt3}^2(f(x)-0)\,\mathrm{d}x+\int_{\sqrt3}^2(0-g(x))\,\mathrm{d}x=$$

$$=\int_{-1}^{\sqrt3}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x + \int_{\sqrt3}^2(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^2(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x$$

Entonces  el cero no tiene nada que ver en este cálculo de áreas.

Cuando te decían que calcules el área debajo de una función $$f(x)$$ tu hacías la integral hasta el eje de abscisas

$$A=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$$ que es lo mismo que

$$A=\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x$$ implícitamente está definido $$g(x)=0$$ por eso ahora cuando el área está por debajo de cero crees que debes restar y no es así, solo restas si $$techo=f(x)<g(x)=piso$$ en este problema piso no es cero.

[manooooh]

Hola

Si $$A_1$$ es el área por encima del 0 y $$A_2$$ es el área debajo del cero, el área total es $$A=A_1+A_2$$

En ese caso $$A_1=\int_{-1}^{\sqrt3}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x + \int_{\sqrt3}^2(f(x)-0)\,\mathrm{d}x$$

y $$A_2=\int_{\sqrt3}^2(0-g(x))\,\mathrm{d}x$$

Perfecto, creo que lo entiendo.

Otro ejercicio para ver si lo entendí:

Si nos pidieran hallar el área de la función \( f(x)=x \) entre \( -2 \) y \( -1 \), ¿faltaría el dato "con el eje de abscisas" o se sobreentiende?

Obviamente es un trapecio. ¿Con integrales el área se calcula así?:

\[ A=\int_{-2}^{-1}(0-x)\,\mathrm dx=\frac32 \]

Saludos