[Richard R Richard]

Hola

Si $$A_1$$ es el área por encima del 0 y $$A_2$$ es el área debajo del cero, el área total es $$A=A_1+A_2$$

En ese caso $$A_1=\int_{-1}^{\sqrt3}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x + \int_{\sqrt3}^2(f(x)-0)\,\mathrm{d}x$$

y $$A_2=\int_{\sqrt3}^2(0-g(x))\,\mathrm{d}x$$

Perfecto, creo que lo entiendo.

Otro ejercicio para ver si lo entendí:

Si nos pidieran hallar el área de la función \( f(x)=x \) entre \( -2 \) y \( -1 \), ¿faltaría el dato "con el eje de abscisas" o se sobreentiende?

Obviamente es un trapecio. ¿Con integrales el área se calcula así?:

\[ A=\int_{-2}^{-1}(0-x)\,\mathrm dx=\frac32 \]

Saludos

Yo lo veo correcto. Te falta el dato sobre donde estan los otros 2 vértices del trapecio , la idea es que sea el eje de abscisas o $$y=0$$, y es claro que resultan $$(-2,0)$$ y $$(-1,0)$$. 

Si mantienes un cierto orden

-que el límite de integración inferior sea menor al límite superior ,
-y que la curva superior o techo $$f(x)$$ se mantiene por encima de la inferior $$g(x)$$ o piso, en todo el intervalo entonces la integral de $$f(x)-g(x)$$ resultará positiva  no importa en qué cuadrante estén los vértices o intersecciones.
-si en el intervalo hay intersecciones adicionales, la integral la divides en todos los subintervalos , puedes calcular la integral de cada subintervalo, las que resultan negativas, no cumplieron con ese orden...

En definitiva si sumas el módulo de la integral de cada subintervalo calculas el área total encerrada entre curvas.

Otro ejemplo
Si calculas $$\int_{0}^{\pi}(\sin x) dx=2$$ Ec1

pero si ahora duplicas el intervalo

$$\int_{0}^{2\pi}(\sin x) dx=0$$ Ec2 cuando esperabas que resulte 4

para que te resulte eso, haces

$$\int_{0}^{\pi}(\sin x-\overbrace{0}^{piso}) dx+\int_{\pi}^{2\pi}(\overbrace{0}^{techo}-\sin x) dx=2+2=4$$

o lo que es lo mismo

$$\big |\int_{0}^{\pi}(\sin x-0) dx\big|+\big|\int_{\pi}^{2\pi}(\sin x) dx\big|=|2|+|-2|=4$$

Si tu quieres saber cual es valor promedio de la función seno para cada ciclo $$(K+0,K+2\pi)$$ que resulte un valor de cero es lo correcto, es decir la Ec2, puesto que lo que hay por encima y por debajo son áreas iguales y se compensan, pero si la idea es calcular el área encerrada por las funciones, estas siempre deben sumar y no restar, por eso es importante ver donde se cruzan y cual va por encima o por debajo en cada intervalo o sumar el módulo del área de cada sub intervalo. 
Pero observa que yo use la función seno que está centrada en el cero, pero este ejercicio es similar al que te he posteado antes y no estaba centrada en cero,  lo que determina el área son las funciones f y g , no el cero , usaras cero cuando por defecto no se indique.

[ani_pascual]

Hola:

...
\[ A_2=\int_{\sqrt3}^2(0-g(x))\,\mathrm{d}x=2\sqrt3-\frac{10}3\approx0.1308 \]
...

Creo que en la expresión de \( A_2 \) has omitido el término \( \displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2f(x)\,dx \), que es necesario para que se cumpla que \( A=A_1+A_2 \)
 
Saludos

[Richard R Richard]

Hola:

...
\[ A_2=\int_{\sqrt3}^2(0-g(x))\,\mathrm{d}x=2\sqrt3-\frac{10}3\approx0.1308 \]
...

Creo que en la expresión de \( A_2 \) has omitido el término \( \displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2f(x)\,dx \), que es necesario para que se cumpla que \( A=A_1+A_2 \)
 
Saludos

Hola esa parte del área esta incluida en $$A_1$$
$$A_1$$ es el área por arriba de $$y=0$$ y $$A_2$$ el área por debajo.

[ani_pascual]

Hola:

...
Hola esa parte del área esta incluida en $$A_1$$
$$A_1$$ es el área por arriba de $$y=0$$ y $$A_2$$ el área por debajo.

En este mensaje aparece cómo  he definido  \( A_1 \)  y \( A_2 \): 
Ahí se ve bien que el término \( \displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2f(x)\,dx \) está incluído en \( A_2 \), no en \( A_1:=\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}f(x)-g(x)\,dx \)
Saludos

[manooooh]

Hola

Yo lo veo correcto. Te falta el dato sobre donde estan los otros 2 vértices del trapecio , la idea es que sea el eje de abscisas o $$y=0$$, y es claro que resultan $$(-2,0)$$ y $$(-1,0)$$. 

Si mantienes un cierto orden

-que el límite de integración inferior sea menor al límite superior ,
-y que la curva superior o techo $$f(x)$$ se mantiene por encima de la inferior $$g(x)$$ o piso, en todo el intervalo entonces la integral de $$f(x)-g(x)$$ resultará positiva  no importa en qué cuadrante estén los vértices o intersecciones.
-si en el intervalo hay intersecciones adicionales, la integral la divides en todos los subintervalos , puedes calcular la integral de cada subintervalo, las que resultan negativas, no cumplieron con ese orden...

En definitiva si sumas el módulo de la integral de cada subintervalo calculas el área total encerrada entre curvas.

Otro ejemplo
Si calculas $$\int_{0}^{\pi}(\sin x) dx=2$$ Ec1

pero si ahora duplicas el intervalo

$$\int_{0}^{2\pi}(\sin x) dx=0$$ Ec2 cuando esperabas que resulte 4

para que te resulte eso, haces

$$\int_{0}^{\pi}(\sin x-\overbrace{0}^{piso}) dx+\int_{\pi}^{2\pi}(\overbrace{0}^{techo}-\sin x) dx=2+2=4$$

o lo que es lo mismo

$$\big |\int_{0}^{\pi}(\sin x-0) dx\big|+\big|\int_{\pi}^{2\pi}(\sin x) dx\big|=|2|+|-2|=4$$

Si tu quieres saber cual es valor promedio de la función seno para cada ciclo $$(K+0,K+2\pi)$$ que resulte un valor de cero es lo correcto, es decir la Ec2, puesto que lo que hay por encima y por debajo son áreas iguales y se compensan, pero si la idea es calcular el área encerrada por las funciones, estas siempre deben sumar y no restar, por eso es importante ver donde se cruzan y cual va por encima o por debajo en cada intervalo o sumar el módulo del área de cada sub intervalo. 
Pero observa que yo use la función seno que está centrada en el cero, pero este ejercicio es similar al que te he posteado antes y no estaba centrada en cero,  lo que determina el área son las funciones f y g , no el cero , usaras cero cuando por defecto no se indique.

Muchas gracias por tan detallada explicación Richard!

Ahora que agregaste las barras de valor absoluto me queda la duda de que para calcular el área no debiera usarse:

\[ \int_a^b\lvert f(x)\rvert dx \]

en vez

\[ \left\lvert\int_a^bf(x)dx\right\rvert. \]

Esa sería mi última duda.

Creo que en la expresión de \( A_2 \) has omitido el término \( \displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2f(x)\,dx \), que es necesario para que se cumpla que \( A=A_1+A_2 \)

¡Tienes razón! No sé por qué me enfrasqué esa porción

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...

Ahora que agregaste las barras de valor absoluto me queda la duda de que para calcular el área no debiera usarse:

\[ \int_a^b\lvert f(x)\rvert dx \]

en vez

\[ \left\lvert\int_a^bf(x)dx\right\rvert. \]

Esa sería mi última duda.

Como la integral definida es negativa, para que coincida con el área se ha de tomar el valor absoluto.
En el intervalo \( [\pi, 2\pi] \) coinciden ambos valores, i.e. \( \left|\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx\right|=|-2|=2=\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}|\sin x|\,dx \), pero en general, es \( \left|\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\right|\leq \displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx \). Lo puedes comprobar en el caso \( \left|\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,dx\right|=0< 2=\displaystyle\int_0^{2\pi}|\sin x|\,dx \)

Saludos

[Richard R Richard]

Hola:

...
Hola esa parte del área esta incluida en $$A_1$$
$$A_1$$ es el área por arriba de $$y=0$$ y $$A_2$$ el área por debajo.

En este mensaje aparece cómo  he definido  \( A_1 \)  y \( A_2 \): 
Ahí se ve bien que el término \( \displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2f(x)\,dx \) está incluído en \( A_2 \), no en \( A_1:=\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}f(x)-g(x)\,dx \)
Saludos

Perdón, no me fije que eran distintas las definiciones.

Ahora que agregaste las barras de valor absoluto me queda la duda de que para calcular el área no debiera usarse:

\[ \int_a^b\lvert f(x)\rvert dx \]

en vez

\[ \left\lvert\int_a^bf(x)dx\right\rvert. \]

Esa sería mi última duda.

Coincido con Ani-pascual ,explicarlo mejor no puedo, ese ejemplo vale 1000 palabras.

En el intervalo \( [\pi, 2\pi] \) coinciden ambos valores, i.e. \( \left|\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx\right|=|-2|=2=\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}|\sin x|\,dx \), pero en general, es \( \left|\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\right|\leq \displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx \). Lo puedes comprobar en el caso \( \left|\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,dx\right|=0< 2=\displaystyle\int_0^{2\pi}|\sin x|\,dx \)

Saludos