[Richard R Richard]

Siguiendo  lo que se dice en este hilo. https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=87127.0
donde se habla del numero $$n>1$$ que hace que el mcd entre  $$(n^{a}+b,(n+1)^{a}+b)$$ sea distinto de 1
se me ocurrio probar que pasaba con distintos números primos $$a$$ y sumandos $$b$$ entre 0 y 9 en vez de 17 y 9
entiendo que si $$b$$ es cero entonces no hay ninguna posibilidad de hallar un $$MCD \neq 1$$
pero lo que me resultó curioso y no se por qué, seguro que tiene explicación, es que cuando $$b=1$$ siempre se halla el $$MCD \neq 1$$

$$(n^{a}+1,(n+1)^{a}+1)$$ para $$a$$ primo entre 0 y 2000 siempre tiene $$MCD\neq 1$$ Pero cual es la relación, no me la acuerdo, También he visto como cae posibilidad de tener un exponente bajo a medida que aumenta el valor del primo $$a$$Hasta $$p<2000$$ solo el 25 % de las combinaciones $$(a=p<2000,2\leq b\leq 9)$$ halla su MCD\neq1 antes de que $$n$$ alcance los 10000 , esto es que cuanto mas grande los número n menos posible es hallar MCD distinto de 1 , cuando la lógica debería ser distinta hay mas números primos posibles de ser divisores de $$n^a+b$$. Si $$p<100$$ solo el 55% halla el MCD antes del millones raro que con $$b=1$$ el 100% tenga el MCD antes del 1000 para $$p<2000$$

Spoiler

a= 2 , b= 1  , n= 2  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5
a= 3 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7
a= 5 , b= 1  , n= 6  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 11
a= 7 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 29
a= 11 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 23
a= 13 , b= 1  , n= 6  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 53
a= 17 , b= 1  , n= 14  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 137
a= 19 , b= 1  , n= 37  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 191
a= 23 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 47
a= 29 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 59
a= 31 , b= 1  , n= 52  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5953
a= 37 , b= 1  , n= 26  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 223
a= 41 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 83
a= 43 , b= 1  , n= 24  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 173
a= 47 , b= 1  , n= 32  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 283
a= 53 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 107
a= 59 , b= 1  , n= 230  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 709
a= 61 , b= 1  , n= 44  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 367
a= 67 , b= 1  , n= 55  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 269
a= 71 , b= 1  , n= 34  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 853
a= 73 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 293
a= 79 , b= 1  , n= 6  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 317
a= 83 , b= 1  , n= 2  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 499
a= 89 , b= 1  , n= 6  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 179
a= 97 , b= 1  , n= 19  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 389
a= 101 , b= 1  , n= 18  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 809
a= 103 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1237
a= 107 , b= 1  , n= 2  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 643
a= 109 , b= 1  , n= 201  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1091
a= 113 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 227
a= 127 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 509
a= 131 , b= 1  , n= 14  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 263
a= 137 , b= 1  , n= 11  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2030341
a= 139 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 557
a= 149 , b= 1  , n= 12  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2683
a= 151 , b= 1  , n= 11  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 907
a= 157 , b= 1  , n= 43  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1571
a= 163 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 653
a= 167 , b= 1  , n= 215  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2339
a= 173 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 347
a= 179 , b= 1  , n= 13  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 359
a= 181 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1087
a= 191 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 383
a= 193 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10037
a= 197 , b= 1  , n= 163  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 22853
a= 199 , b= 1  , n= 24  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 797
a= 211 , b= 1  , n= 62  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4643
a= 223 , b= 1  , n= 204  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2677
a= 227 , b= 1  , n= 16  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 83537
a= 229 , b= 1  , n= 134  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 6871
a= 233 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 467
a= 239 , b= 1  , n= 37  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 479
a= 241 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1447
a= 251 , b= 1  , n= 19  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 503
a= 257 , b= 1  , n= 20  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1543
a= 263 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 119929
a= 269 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 8609
a= 271 , b= 1  , n= 13  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2711
a= 277 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1109
a= 281 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 563
a= 283 , b= 1  , n= 31  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1699
a= 293 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 587
a= 307 , b= 1  , n= 3  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7369
a= 311 , b= 1  , n= 40  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3733
a= 313 , b= 1  , n= 41  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1879
a= 317 , b= 1  , n= 136  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 8243
a= 331 , b= 1  , n= 21  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1987
a= 337 , b= 1  , n= 72  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3371
a= 347 , b= 1  , n= 27  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2083
a= 349 , b= 1  , n= 98  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3491
a= 353 , b= 1  , n= 124  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4943
a= 359 , b= 1  , n= 22  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 719
a= 367 , b= 1  , n= 2  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2203
a= 373 , b= 1  , n= 24  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1493
a= 379 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4549
a= 383 , b= 1  , n= 26  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4597
a= 389 , b= 1  , n= 26  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 9337
a= 397 , b= 1  , n= 64  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 14293
a= 401 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3209
a= 409 , b= 1  , n= 17  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4091
a= 419 , b= 1  , n= 33  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 839
a= 421 , b= 1  , n= 43  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4211
a= 431 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 863
a= 433 , b= 1  , n= 3  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5197
a= 439 , b= 1  , n= 355  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4391
a= 443 , b= 1  , n= 12  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2659
a= 449 , b= 1  , n= 19  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 35023
a= 457 , b= 1  , n= 199  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 21937
a= 461 , b= 1  , n= 27  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2767
a= 463 , b= 1  , n= 18  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 85193
a= 467 , b= 1  , n= 13  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2803
a= 479 , b= 1  , n= 31  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3833
a= 487 , b= 1  , n= 19  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1949
a= 491 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 983
a= 499 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1997
a= 503 , b= 1  , n= 7  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3019
a= 509 , b= 1  , n= 6  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1019
a= 521 , b= 1  , n= 676  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 41681
a= 523 , b= 1  , n= 29  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 6277
a= 541 , b= 1  , n= 13  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 19477
a= 547 , b= 1  , n= 106  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5471
a= 557 , b= 1  , n= 67  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3343
a= 563 , b= 1  , n= 75  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 121609
a= 569 , b= 1  , n= 2  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10243
a= 571 , b= 1  , n= 127  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 9137
a= 577 , b= 1  , n= 37  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3463
a= 587 , b= 1  , n= 27  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10567
a= 593 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1187
a= 599 , b= 1  , n= 61  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 8387
a= 601 , b= 1  , n= 3  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7213
a= 607 , b= 1  , n= 17  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3643
a= 613 , b= 1  , n= 17  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 6131
a= 617 , b= 1  , n= 61  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4937
a= 619 , b= 1  , n= 25  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2477
a= 631 , b= 1  , n= 104  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7573
a= 641 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1283
a= 643 , b= 1  , n= 16  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10289
a= 647 , b= 1  , n= 138  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 9059
a= 653 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1307
a= 659 , b= 1  , n= 45  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 11863
a= 661 , b= 1  , n= 7  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 27763
a= 673 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2693
a= 677 , b= 1  , n= 48  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 16249
a= 683 , b= 1  , n= 7  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4099
a= 691 , b= 1  , n= 39  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 8293
a= 701 , b= 1  , n= 189  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 22433
a= 709 , b= 1  , n= 22  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2837
a= 719 , b= 1  , n= 21  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1439
a= 727 , b= 1  , n= 7  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4363
a= 733 , b= 1  , n= 83  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7331
a= 739 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2957
a= 743 , b= 1  , n= 19  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1487
a= 751 , b= 1  , n= 33  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 9013
a= 757 , b= 1  , n= 7  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 18169
a= 761 , b= 1  , n= 3  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 82189
a= 769 , b= 1  , n= 91  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7691
a= 773 , b= 1  , n= 36  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 9277
a= 787 , b= 1  , n= 11  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4723
a= 797 , b= 1  , n= 29  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 23911
a= 809 , b= 1  , n= 6  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1619
a= 811 , b= 1  , n= 61  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 9733
a= 821 , b= 1  , n= 28  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 14779
a= 823 , b= 1  , n= 303  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 8231
a= 827 , b= 1  , n= 130  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 272911
a= 829 , b= 1  , n= 20  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 9949
a= 839 , b= 1  , n= 206  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 25171
a= 853 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3413
a= 857 , b= 1  , n= 86  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 15427
a= 859 , b= 1  , n= 102  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 41233
a= 863 , b= 1  , n= 14  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5179
a= 877 , b= 1  , n= 200  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 15787
a= 881 , b= 1  , n= 103  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 22907
a= 883 , b= 1  , n= 3  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10597
a= 887 , b= 1  , n= 2  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5323
a= 907 , b= 1  , n= 7  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5443
a= 911 , b= 1  , n= 30  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1823
a= 919 , b= 1  , n= 6  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3677
a= 929 , b= 1  , n= 32  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 46451
a= 937 , b= 1  , n= 27  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5623
a= 941 , b= 1  , n= 6  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 86573
a= 947 , b= 1  , n= 67  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5683
a= 953 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 1907
a= 967 , b= 1  , n= 8  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 232081
a= 971 , b= 1  , n= 29  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5827
a= 977 , b= 1  , n= 34  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 728843
a= 983 , b= 1  , n= 84  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 102233
a= 991 , b= 1  , n= 155  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 17839
a= 997 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3989
a= 1009 , b= 1  , n= 31  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10091
a= 1013 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2027
a= 1019 , b= 1  , n= 13  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2039
a= 1021 , b= 1  , n= 32  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10211
a= 1031 , b= 1  , n= 19  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2063
a= 1033 , b= 1  , n= 21  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4133
a= 1039 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4157
a= 1049 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2099
a= 1051 , b= 1  , n= 323  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 29429
a= 1061 , b= 1  , n= 11  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 6367
a= 1063 , b= 1  , n= 24  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4253
a= 1069 , b= 1  , n= 28  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10691
a= 1087 , b= 1  , n= 16  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 17393
a= 1091 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 13093
a= 1093 , b= 1  , n= 21  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4373
a= 1097 , b= 1  , n= 22  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 15359
a= 1103 , b= 1  , n= 14  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2207
a= 1109 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 13309
a= 1117 , b= 1  , n= 88  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 11171
a= 1123 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 40429
a= 1129 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 4517
a= 1151 , b= 1  , n= 26  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 6907
a= 1153 , b= 1  , n= 221  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 34591
a= 1163 , b= 1  , n= 386  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 188407
a= 1171 , b= 1  , n= 145  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7027
a= 1181 , b= 1  , n= 39  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 14173
a= 1187 , b= 1  , n= 17  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 16619
a= 1193 , b= 1  , n= 42  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7159
a= 1201 , b= 1  , n= 27  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7207
a= 1213 , b= 1  , n= 129  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 14557
a= 1217 , b= 1  , n= 28  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 90059
a= 1223 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2447
a= 1229 , b= 1  , n= 6  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2459
a= 1231 , b= 1  , n= 84  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 36931
a= 1237 , b= 1  , n= 106  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 19793
a= 1249 , b= 1  , n= 31  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 42467
a= 1259 , b= 1  , n= 124  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 17627
a= 1277 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 25541
a= 1279 , b= 1  , n= 43  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 43487
a= 1283 , b= 1  , n= 14  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7699
a= 1289 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2579
a= 1291 , b= 1  , n= 27  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 15493
a= 1297 , b= 1  , n= 6  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5189
a= 1301 , b= 1  , n= 33  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 26021
a= 1303 , b= 1  , n= 216  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 54727
a= 1307 , b= 1  , n= 110  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10457
a= 1319 , b= 1  , n= 211  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 55399
a= 1321 , b= 1  , n= 107  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7927
a= 1327 , b= 1  , n= 2  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7963
a= 1361 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 8167
a= 1367 , b= 1  , n= 70  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10937
a= 1373 , b= 1  , n= 475  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 345997
a= 1381 , b= 1  , n= 21  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 8287
a= 1399 , b= 1  , n= 27  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 25183
a= 1409 , b= 1  , n= 10  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2819
a= 1423 , b= 1  , n= 12  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 8539
a= 1427 , b= 1  , n= 43  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 8563
a= 1429 , b= 1  , n= 14  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5717
a= 1433 , b= 1  , n= 26  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 8599
a= 1439 , b= 1  , n= 11  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 25903
a= 1447 , b= 1  , n= 252  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 34729
a= 1451 , b= 1  , n= 2  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 8707
a= 1453 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 5813
a= 1459 , b= 1  , n= 18  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 303473
a= 1471 , b= 1  , n= 63  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 52957
a= 1481 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 26332181
a= 1483 , b= 1  , n= 76  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 14831
a= 1487 , b= 1  , n= 8  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 321193
a= 1489 , b= 1  , n= 94  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 80407
a= 1493 , b= 1  , n= 82  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 20903
a= 1499 , b= 1  , n= 37  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2999
a= 1511 , b= 1  , n= 7  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 9067
a= 1523 , b= 1  , n= 31  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 45691
a= 1531 , b= 1  , n= 26  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 9187
a= 1543 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 6173
a= 1549 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 6197
a= 1553 , b= 1  , n= 17  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 37273
a= 1559 , b= 1  , n= 32  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 12473
a= 1567 , b= 1  , n= 15  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 25073
a= 1571 , b= 1  , n= 174  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 12569
a= 1579 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 6317
a= 1583 , b= 1  , n= 30  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3167
a= 1597 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 6389
a= 1601 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 12809
a= 1607 , b= 1  , n= 7  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 9643
a= 1609 , b= 1  , n= 32  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 16091
a= 1613 , b= 1  , n= 26  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 9679
a= 1619 , b= 1  , n= 64  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 12953
a= 1621 , b= 1  , n= 2  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 29179
a= 1627 , b= 1  , n= 63  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 45557
a= 1637 , b= 1  , n= 253  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 680993
a= 1657 , b= 1  , n= 100  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 39769
a= 1663 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 6653
a= 1667 , b= 1  , n= 56  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 13337
a= 1669 , b= 1  , n= 63  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 20029
a= 1693 , b= 1  , n= 27  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10159
a= 1697 , b= 1  , n= 14  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 13577
a= 1699 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 20389
a= 1709 , b= 1  , n= 270  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 30763
a= 1721 , b= 1  , n= 242  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 82609
a= 1723 , b= 1  , n= 176  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 653175517
a= 1733 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3467
a= 1741 , b= 1  , n= 382  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 38303
a= 1747 , b= 1  , n= 110  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 27953
a= 1753 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7013
a= 1759 , b= 1  , n= 12  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 31663
a= 1777 , b= 1  , n= 34  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7109
a= 1783 , b= 1  , n= 147  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 42793
a= 1787 , b= 1  , n= 11  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10723
a= 1789 , b= 1  , n= 31  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 17891
a= 1801 , b= 1  , n= 74  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 21613
a= 1811 , b= 1  , n= 4  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 14489
a= 1823 , b= 1  , n= 13  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10939
a= 1831 , b= 1  , n= 7  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 10987
a= 1847 , b= 1  , n= 11  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 33247
a= 1861 , b= 1  , n= 75  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 78163
a= 1867 , b= 1  , n= 63  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 44809
a= 1871 , b= 1  , n= 28  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 22453
a= 1873 , b= 1  , n= 6  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 11239
a= 1877 , b= 1  , n= 243  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 56311
a= 1879 , b= 1  , n= 9  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 7517
a= 1889 , b= 1  , n= 13  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 22669
a= 1901 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3803
a= 1907 , b= 1  , n= 85  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 11443
a= 1913 , b= 1  , n= 94  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 49739
a= 1931 , b= 1  , n= 3  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 23173
a= 1933 , b= 1  , n= 128  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 278353
a= 1949 , b= 1  , n= 181  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 35083
a= 1951 , b= 1  , n= 404  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 42923
a= 1973 , b= 1  , n= 5  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 3947
a= 1979 , b= 1  , n= 129  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 94993
a= 1987 , b= 1  , n= 2  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 11923
a= 1993 , b= 1  , n= 43  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 23917
a= 1997 , b= 1  , n= 72  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 111833a= 1999 , b= 1  , n= 68  , mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 35983

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

 Dices que para \( b=1 \), los mcd distintos de \( 1 \) aparecen radicalmente más pronto que para otros valores, ¿no?.

 Cuando tenga tiempo miro a ver si se me ocurre un motivo para que sea un caso con un comportamiento diferente a los demás.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola

 Dices que para \( b=1 \), los mcd distintos de \( 1 \) aparecen radicalmente más pronto que para otros valores, ¿no?.

 Cuando tenga tiempo miro a ver si se me ocurre un motivo para que sea un caso con un comportamiento diferente a los demás.

Saludos.

Si exactamente eso, hasta ese número todos verifican, esto es tienen un $$n$$ pequeño para cualquier  exponente primo. no es una relación  algebraica sino todos tendrían el mismo exponente, así  que si no hay relación,  es de esperar  que alguno pase $$n$$ el millon (limite que me auto impuse para buscar),  pero fíjate es lo opuesto a lo que vine a mirar  cual mantienen el mcd =1 para más n, por supuesto  (17,9) verifican pasar el millón.
Como    llegaron a un $$n$$ tan grande, ya no me pregunto  como verificaron qué alguno de sus factores sea común, o verificaron si son primos o coprimos, computacionalmente son accesibles, tales números,  lo que no es posible por tiempo es hacerlo probando 1x1, hasta ese número,  tiene que haber truco,    para saber que es el primer $$n$$ que lo cumple.

[Richard R Richard]

Actualizo, vengo calculando el $$MCD(n^{a}+1,(n+1)^{1}+b)$$
Es extraño que con exponentes elevados ya como

$$a= 37189$$ , $$b= 1$$  , $$n= 2905$$  , $$mcd(n^a+b;(n+1)^a+b)= 2603231$$ , el maximo $$n= 2905$$

el máximo de iteraciones necesarias para hallar el MCD distinto de 1 sea con el entero $$n=2905$$  hasta ahora,

sin embargo cuando $$b=2$$  con $$a=29$$  ya $$n$$ supera el millón  $$1080982$$ para ser preciso, unas 300 veces mas grande que lo que vengo calculando y con $$a$$ aún muy pequeño
con $$b=3$$ ya se supera el millón con $$a=7$$  para dar $$n= 1159823$$
y con $$b=4$$ tambien con $$a=7$$  ya alcance los 100 millones y aun no hay forma de tener el MCD distinto de 1
no he calculado los exactos para mas casos solo se
que con estas duplas  \( n \) debe superar el millón
\( (a,b)=(11,5) \)
\( (a,b)=(11,6) \)
\( (a,b)=(29,7) \)
\( (a,b)=(5,8) \)
\( (a,b)=(17,9) \)  que ya sabemos lo que da y me trajo a explorar.
Ahora el tema detrás de esto es que si para algunos no se cumple nunca para otros parece que sí siempre, lo mas lógico es pensar que siempre es posible hallar el MCD para un $$n$$ finito,(sin importar cuan grande sea) y el caso $$b=0$$ sea el demostrado imposible por no tener múltiplos comunes para ningún $$n$$.

Si variamos $$b$$ mas alla de 9 llegaremos a que $$b=(n^2+n)^a$$ y si o si habrá un $$MCD \neq 1$$ para cualquier par de consecutivos a partir de $$n$$

Así que mi apuesta es que tarde o temprano cualquier dupla tiene su MCD distinto de 1 si $$b\neq 0$$ para algún exponente $$a$$ con algún $$n$$..  ahora solo queda demostrarlo...

Acá es donde viene la pregunta que siempre me hago , que motivación se necesita para demostrar algo que a ti ya te perece seguro.... voy a leer algo de matemática modular me parece que es abordable  desde ese punto de vista.
 
existe $$b$$ que lo demuestra para cualquier par de variables $$(n,a)$$
lo que hay que demostrar es

existe $$n$$ que lo cualquier par $$(a,b)$$ $$b\neq0$$
creo que sera lo mismo si existe $$a$$ en función de $$n$$ tal que $$MCD(a,b)\neq1$$   

[Luis Fuentes]

Hola

 Cuando tenga más tiempo a ver si puedo mirar todo esto con más calma. Pero:

Como    llegaron a un $$n$$ tan grande, ya no me pregunto  como verificaron qué alguno de sus factores sea común, o verificaron si son primos o coprimos, computacionalmente son accesibles, tales números,  lo que no es posible por tiempo es hacerlo probando 1x1, hasta ese número,  tiene que haber truco,    para saber que es el primer $$n$$ que lo cumple.

 En este artículo:

P. E. Frenkel; J.f Pelikán; On the greatest common divisor of the value of two polynomials.
The American Mathematical Monthly, Vol. 124, No. 5 (May 2017), pp. 446-450 (5 pages)

 Se prueba que si la resultante de dos polinomios con coeficientes enteros \( f(x),g(x) \) (que es un número) es libre de cuadrados entonces los únicos valores posibles de \( gcd(f(n),g(n)) \) son divisores de dicha resultante. Y además que todos esos valores aparecen para algún \( n \).

 Sin entrar en detalles:

- Calcular la resultante de dos polinomios de grados \( a,b \) es un determinante de orden \( a+b \). El ordenador lo hace al instante. Para los polinomios \( n^{17}+9,(n+1)^{17}+9 \) es:

 \( P=8936582237915716659950962253358945635793453256935559 \)

- Comprobar si es primo y/o factorizarlo (depende un poco del número). En este caso me lo hizo al instante. Es primo.

- Entonces los posibles valores del GCD son o el 1 (y son coprimos) o \( P \). Un valor \( n \) donde el CGD sea \( P \) es una solución del sistema de congruencias:

\( n^{17}+9=0 \) mód \( P \)
\( (n+1)^{17}+9=0 \) mód \( P \)

 Hay unas técnicas para resolver de manera óptima este tipo de ecuaciones de congruencias basadas en el pequeño Teorema de Fermat y alguna cosa más. La cosa es que están implementadas en software matemático que, de nuevo, lo hace al instante y da como solución:

\( n=8424432925592889329288197322308900672459420460792433 \)

En Wolfram Mathematica el código es:

Código: [Seleccionar]

Resultant[(x)^17 + 9, (x + 1)^17 + 9, x];

FactorInteger[8936582237915716659950962253358945635793453256935559];

Solve[{n^17 + 9 == 0, (n + 1) ^17 + 9 == 0}, Modulus -> 8936582237915716659950962253358945635793453256935559]
y como te dije lleva un segundo.

Saludos.

[Richard R Richard]

Gracias , Luis, por el interés.

He buscado lo mismo en Python sin éxito.

Anduve jugando con Wolfram

- Comprobar si es primo y/o factorizarlo (depende un poco del número). En este caso me lo hizo al instante. Es primo.

Reemplacé \( b=9 \) por el \( b=1 \), calcule la resultante  me dio de muchas cifras 37007295445873520405974435690486750278679 y resulto compuesto, entre sus factores está el \( 137 \) pero no es el mas pequeño

Pero yo obtuve con \( a= 17 \), \( b= 1  \) , \( n= 14 \)  , \( mcd(n^a+b,(n+1)^a+b)= 137 \)

Entonces cuando hay factores  el gcd es mucho menor y sino es \( P \), sino no entiendo porque $$P\neq 137$$...

Que pasa si una raíz de cada polinomio es exactamente igual a una del otro, entiendo que la resultante es cero, pero que consecuencia trae.

¿Frenkel es el mismo de ZFC?
Entonces , creo entender  que si $$b\neq 0$$ siempre existe $$n$$  primo tal que   $$mcd(n^a+b,(n+1)^a+b)\neq1$$, es decir no es conjetura , está demostrado, no es algo abierto como  Goldbach.

Que quiero decir que con mi rudimentaria prueba 1x1 alguna vez iba a encontrar el ejemplo.

Y creo entender a que te referías que a cada $$n$$ tengo probabilidad $$6/\pi^2$$ de ser coprimos entonces sería poco probable de hallar el ejemplo para $$n$$ muy grandes...

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias , Luis, por el interés.

He buscado lo mismo en Python sin éxito.

La ventaja de Python es que tiene librerías con casi todo ya progamado. No lo manejo en profundidad pero la IA si ayuda mucho en esto 

Con este programa le puedes mete \( a,b \) y te calcula y factoriza la resultante de \( x^a+b,(x+1)^a+b \).

Código: [Seleccionar]

import sympy
import time

def calculate_resultant_and_factor(a: int, b: int):
    """
    Calcula el resultante de los polinomios x^a + b y (x+1)^a + b,
    y luego factoriza el resultado en números primos.

        a (int): El exponente para los polinomios (debe ser > 0).
        b (int): El término constante para los polinomios.

    Devuelve:
        tuple: Una tupla conteniendo el resultante (int) y su
               factorización (dict).
    """
    if not isinstance(a, int) or not isinstance(b, int) or a <= 0:
        raise ValueError("Ambos 'a' y 'b' deben ser enteros, y 'a' debe ser positivo.")

    # 1. Definir la variable simbólica y los polinomios
    x = sympy.symbols('x')
    p1 = x**a + b
    p2 = (x + 1)**a + b

    # 2. Calcular el resultante de manera óptima con SymPy
    # sympy.resultant usa algoritmos eficientes como la secuencia de
    # pseudoresto subresultante, mucho mejor que calcular un determinante.
    resultant_value = sympy.resultant(p1, p2, x)

    # 3. Factorizar el resultante en primos
    # sympy.factorint es altamente optimizado para enteros grandes.
    prime_factors = sympy.factorint(resultant_value)

    return resultant_value, prime_factors

def format_factorization(factors: dict) -> str:
    """Formatea el diccionario de factores en una cadena legible."""
    if not factors:
        return "No tiene factores primos (es 0, 1 o -1)."
    return " * ".join([f"{p}^{e}" if e > 1 else str(p) for p, e in factors.items()])

if __name__ == "__main__":
    print("--- Calculadora de Resultante y Factorización Prima ---")
    while True:
        try:
            # Pedir los enteros al usuario
            a_input = int(input("Introduce el valor del entero a (exponente, >0): "))
            b_input = int(input("Introduce el valor del entero b (término constante): "))

            # Medir el tiempo de computación
            start_time = time.perf_counter()

            # Realizar el cálculo
            resultante, factores = calculate_resultant_and_factor(a_input, b_input)

            end_time = time.perf_counter()
            computation_time = end_time - start_time

            print("\n--- Resultados ---")
            print(f"Polinomio 1: P(x) = x^{a_input} + {b_input}")
            print(f"Polinomio 2: Q(x) = (x+1)^{a_input} + {b_input}")
            print("-" * 20)
            # Imprimir el resultante
            print(f"Resultante: {resultante}")

            # Imprimir la factorización
            print(f"Factorización: {format_factorization(factores)}")
           
            # Imprimir el tiempo
            print(f"\nTiempo de computación: {computation_time:.6f} segundos.")

        except ValueError as e:
            print(f"\nError: Entrada no válida. {e}. Por favor, inténtalo de nuevo.")
        except Exception as e:
            print(f"\nOcurrió un error inesperado: {e}")

        # Preguntar si el usuario quiere continuar
        continuar = input("\n¿Deseas realizar otro cálculo? (s/n): ").lower()
        if continuar != 's':
            break


Reemplacé \( b=9 \) por el \( b=1 \), calcule la resultante  me dio de muchas cifras 37007295445873520405974435690486750278679 y resulto compuesto, entre sus factores está el \( 137 \) pero no es el mas pequeño

Pero yo obtuve con \( a= 17 \), \( b= 1  \) , \( n= 14 \)  , \( mcd(n^a+b,(n+1)^a+b)= 137 \)

Entonces cuando hay factores  el gcd es mucho menor y sino es \( P \), sino no entiendo porque $$P\neq 137$$...

Lo que dice el artículo es que:

- El gcd  de los dos polinomios evaluados en cualquier \( n \) obligatoriamente es un divisor de su resultante. En el caso que dices podría ser, dependiendo de \( n \) alguno de los muchos divisores que tiene \( 37007295445873520405974435690486750278679 \), \( 1,103,137,307... \) (en fin).

 Pero no es obligatorio que el divisor más pequeño aparezca para el \( n \) más pequeño. Si quieres saber para que \( n \) aparecen esos gcd tienes que, escogido uno \( d \) resolver el sistema de congruencias módulo \( d \):

\( n^{a}+b=0 \) mod \( d \)
\( (n+1)^{a}+b=0 \) mod \( d \)

 Esto se puede hacer con este programa:

Código: [Seleccionar]

import sympy
import time
from math import gcd

def solve_congruence_system(a: int, b: int, p: int):
    """
    Resuelve el sistema de congruencias x^a+b=0, (x+1)^a+b=0 (mod p)
    de manera óptima.

    Args:
        a (int): El exponente.
        b (int): El término constante.
        p (int): El módulo (debe ser un número primo).

    Returns:
        list: Una lista de soluciones para x.
    """
    # --- Validación de entradas ---
    if not isinstance(a, int) or not isinstance(b, int) or not isinstance(p, int):
        raise TypeError("a, b y p deben ser enteros.")
    if a <= 0 or p <= 1:
        raise ValueError("Se requiere a > 0 y p > 1.")
    if not sympy.isprime(p):
        # El método de raíz primitiva requiere un módulo primo.
        # Se podría usar fuerza bruta para p pequeños y no primos si se quisiera.
        raise ValueError("El módulo p debe ser un número primo para este método óptimo.")

    # Manejar el caso especial p=2
    if p == 2:
        solutions = []
        # Probar x=0 y x=1
        if (pow(0, a, 2) + b) % 2 == 0 and (pow(1, a, 2) + b) % 2 == 0:
            solutions.append(0)
        if (pow(1, a, 2) + b) % 2 == 0 and (pow(2, a, 2) + b) % 2 == 0:
            solutions.append(1)
        return sorted(list(set(solutions)))


    # --- Algoritmo Óptimo ---
   
    # 1. Encontrar una raíz primitiva de p. SymPy lo hace eficientemente.
    try:
        g = sympy.primitive_root(p)
    except Exception as e:
        raise RuntimeError(f"No se pudo encontrar una raíz primitiva para p={p}. Error: {e}")
       
    # 2. Calcular d = gcd(a, p-1)
    d = gcd(a, p - 1)

    # 3. Calcular las 'd' soluciones para y^a = 1 (mod p)
    solutions_x = []
    c_check = -b % p # El valor al que deben ser congruentes x^a y (x+1)^a
    step = (p - 1) // d
   
    for k in range(d):
        # y = g^(k * (p-1)/d) mod p
        y = pow(g, k * step, p)

        # 4. Deshacer el cambio de variable para encontrar x
        # y = 1 + x_inv  =>  x_inv = y - 1  => x = (y - 1)^(-1)
        if y == 1:
            # Si y=1, y-1=0, que no tiene inverso. Se descarta.
            continue
       
        try:
            # pow(base, -1, mod) es la forma eficiente de calcular el inverso modular
            x = pow(y - 1, -1, p)
        except ValueError:
            # No debería ocurrir si y != 1 y p es primo, pero es buena práctica.
            continue

        # 5. VERIFICACIÓN CRÍTICA
        # Comprobar si el x encontrado satisface la congruencia original.
        if pow(x, a, p) == c_check:
            solutions_x.append(x)
           
    return sorted(solutions_x)


if __name__ == "__main__":
    print("--- Solucionador de Sistema de Congruencias Modulares ---")
    while True:
        try:
            a_input = int(input("Introduce el valor del entero a (exponente > 0): "))
            b_input = int(input("Introduce el valor del entero b (término constante): "))
            p_input = int(input("Introduce el valor del módulo p (un número primo): "))

            start_time = time.perf_counter()
            soluciones = solve_congruence_system(a_input, b_input, p_input)
            end_time = time.perf_counter()
            computation_time = end_time - start_time
           
            print("\n--- Resultados ---")
            print(f"Resolviendo el sistema módulo {p_input}:")
            print(f"  x^{a_input} + {b_input} ≡ 0 (mod {p_input})")
            print(f"  (x+1)^{a_input} + {b_input} ≡ 0 (mod {p_input})")
            print("-" * 20)
           
            if soluciones:
                print(f"✅ Soluciones para x: {soluciones}")
            else:
                print("❌ No se encontraron soluciones para el sistema.")
               
            print(f"\n⏱️  Tiempo de computación: {computation_time:.6f} segundos.")

        except (ValueError, TypeError) as e:
            print(f"\nError: {e}. Por favor, inténtalo de nuevo.")
       
        continuar = input("\n¿Deseas realizar otro cálculo? (s/n): ").lower()
        if continuar != 's':
            break
 En tu caso si lo haces por ejemplo para \( d=103 \), es decir, resolvemos:

\( n^{17}+1=0 \) mod \( 103 \)
\( (n+1)^{17}+1=0 \) mod \( 103 \)

 Se obtiene \( n=89,94 \); es decir el exponente más bajo para el cuál el gcd es \( 103 \) es \( n=89 \).

 Y si lo haces por ejemplo para \( d=137 \), es decir, resolvemos:

\( n^{17}+1=0 \) mod \( 137 \)
\( (n+1)^{17}+1=0 \) mod \( 137 \)

 Se obtiene \( n=14, 63, 64, 77 \); es decir el exponente más bajo para el cuál el gcd es \( 137 \) es \( n=14 \).

Que pasa si una raíz de cada polinomio es exactamente igual a una del otro, entiendo que la resultante es cero, pero que consecuencia trae.

 En ese caso los polinomios tendrían algún factor común. Es decir \( p(n)=p_1(n)h(n) \) y \( q(n)=q_1(n)h(n) \) para algún polinomio \( h(n) \) y por tanto el gcd siempre es al menos múltiplo de \( h(n) \). Esto nunca va a ocurrir con parejas de la forma \( n^a+1 \) y \( (n+1)^a+1 \) que son coprimos como polinomios.

¿Frenkel es el mismo de ZFC?

 No, para nada. El de ZFC ya murió hace 60 años.

Entonces , creo entender  que si $$b\neq 0$$ siempre existe $$n$$  primo tal que   $$mcd(n^a+b,(n+1)^a+b)\neq1$$, es decir no es conjetura , está demostrado, no es algo abierto como  Goldbach.

En el artículo se prueba que si la resultante de esos dos polinomios no tiene factores primos con exponente mayor que \( 1 \) en su factorización, entonces si, siempre existe \( n \) (no tiene porqué ser primo) tal que \( mcd(n^a+b,(n+1)^a+b)=d \) para cualquier \( d \) divisor de la resultante. En particular siempre existe \( n \) para los cuales el gcd NO es uno.

Si me ciño al artículo ese, quedaría parcialmente abierto el caso en el que los polinomios tienen una resultante con exponentes mayores que uno en su factorización; algo dice el trabajo al respecto, pero tengo que mirarlo con más calma.

Y creo entender a que te referías que a cada $$n$$ tengo probabilidad $$6/\pi^2$$ de ser coprimos entonces sería poco probable de hallar el ejemplo para $$n$$ muy grandes...

Si.

Saludos.

[Richard R Richard]

La ventaja de Python es que tiene librerías con casi todo ya progamado. No lo manejo en profundidad pero la IA si ayuda mucho en esto 

Gracias,Luis, yo busque con Google, y simpre te recomienda un librería de hecho sympy la tengo instalada , pero no me dío el resultado.

- El gcd  de los dos polinomios evaluados en cualquier \( n \) obligatoriamente es un divisor de su resultante.

Ahora entiendo algo...     

En particular siempre existe \( n \) para los cuales el gcd NO es uno.

OK,por eso decía antes en el hilo que no era tratar de resolver la conjetura buscar $$n$$ y que resulte tan grande, sino que ya se sabía que el $$n$$ finito existe, solo que buscarlo de a uno por uno es una tarea ineficiente conocido el procedimiento inmediato.

Dicho de otro modo con un $$b$$ constante y $$a$$ primo siempre es posible obtener un   \( mcd(n^a+b,(n+1)^a+b)\neq 1 \) para algún $$n$$ finito.

En el programa cuando dice que "No tiene factores primos (es 0, 1 o -1)" quiere decir que los polinomios son coprimos , para todo $$n$$,  ¿no?

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

En el programa cuando dice que "No tiene factores primos (es 0, 1 o -1)" quiere decir que los polinomios son coprimos , para todo $$n$$,  ¿no?

Si es \( 1 \) ó \( -1 \) si. Si es cero querría decir justo lo contrario que los dos polinomios tiene un factor común como polinomio, y por tanto un factor común para todo \( n \) (salvo quizá para un número finito de valores de \( n \)).

De todas formas, si no me equivoco, resultante cero NO va a ocurrir para los dos polinomios con los que trabajamos en este caso:

\( n^a+b \) y \( (n+1)^a+b \)

Saludos.