[Luis Fuentes]

Hola

 Frecuentemente, estudiantes que toman contacto por primera vez con el rigor en las matemáticas se muestran escépticos ante la necesidad de probar formalmente propiedades que parecen "a simple vista" ciertas, incluso obvias.

 También es usual que aficionados a las matemáticas que tratan de atacar problemas famosos, confundan una demostración con una simple colección de ejemplos.

 En este hilo quiero mostrar algunas propiedades que, aparentemente pueden parecer ciertas porque se cumplen para muchos casos particulares, pero realmente no se cumplen.

Pondré un par de ejemplos concretos y daré algunos enlaces a colecciones que ilustran la misma idea. Cualquier otra aportación es bienvenida.

 1. El polinomio de Euler. Es el polinomio \( p(n)=n^2+n+41 \). Uno puede ver que para los valores de \( n \) comprendidos entre \( 0 \) y \( 39 \) siempre devuelve un número primo. Uno podría conjeturar por tanto que SIEMPRE va a dar un número primo. Pero... obviamente no es así. Para \( n=40 \) se tiene que \( p(40) \) NO es primo.

 2. Para cada \( n \) natural definimos los números \( a=n^{17}+9 \) y \( b=(n+1)^{17}+9 \). Podemos estudiar si son primos entre si; si vamos dando valores a \( n \), \( 1,2,3,4,\ldots,100, \) podemos ver que siempre resultan coprimos (su único divisor común es el uno). Y si seguimos \( 100,101,\ldots \), miles de miles de millones,... ¡siguen dando coprimos!. La propiedad parece obvia: \( n^{17}+9 \) y \( (n+1)^{17}+9 \) son primos entre si para cualquier natural \( n \)... Pues ¡no!. El primer fallo aparece para (¿alquien quiere intentar encontralo?  ):

Spoiler

\( n=8424432925592889329288197322308900672459420460792433 \)

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 Enlaces con más ejemplos en la misma línea:

http://math.stackexchange.com/questions/514/conjectures-that-have-been-disproved-with-extremely-large-counterexamples?lq=1

http://math.stackexchange.com/questions/111440/examples-of-apparent-patterns-that-eventually-fail/128711

http://gaussianos.com/una-creencia-no-es-una-demostracion/

Saludos.



He separado en otro hilo algunos comentarios al respecto de éste de Victor Luis, porque creo que se alejan de la intención con la que fue creado.